方陣的行列式

1、1.3 1.3 方陣的行列式方陣的行列式（一）（一） 1. 二階行列式二階行列式 二、三階行列式二、三階行列式表示代數(shù)和表示代數(shù)和a a112212121212aaaa即即定義定義 22211211,aaaa排成二行二列，排成二行二列，a a12212121a a稱為二階行列式稱為二階行列式. .1112aa2212aa用符號(hào)用符號(hào)1234 例例cossinsincos 12305 例例 2 10本節(jié)涉及的數(shù)，本節(jié)涉及的數(shù)， 均為域均為域 中的數(shù)中的數(shù).F1122a a把把4 4個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)jia用符號(hào)用符號(hào)表示代數(shù)和表示代數(shù)和定義定義 排成三行排成三行111123aaa221223aaa3313

2、23aaa123231a a a121233a a a122331a a a123132a a a122133a a a121332a a a稱為三階行列式稱為三階行列式. .112211231231233233aaaaaaaaa213132321例例 6 6 6 27 8 1 182. 2. 三階行列式三階行列式把把9 9個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)(1,2,3;1,2,3)ji 三列三列, ,定義四階定義四階以及四階以上的行列式以及四階以上的行列式.即用歸納的方法即用歸納的方法利用三階行列式利用三階行列式 定義四階行列式定義四階行列式;利用四階行列式利用四階行列式定義五階行列式定義五階行列式;假設(shè)假設(shè) 階行列

3、式已定義，階行列式已定義，n 1然后定義然后定義 階行列式階行列式.n10101aabb 例例2()a 2()b 221ab1 定義定義 余下的元素余下的元素的的余子式余子式，,jjniijijiniijijinnn jn jnnaaaaaaaaaaaaaaaa11111111 1111111 111111111() 1ijijM 的的代數(shù)余子式。代數(shù)余子式。ija設(shè)設(shè) ijAa 是數(shù)域是數(shù)域 上的上的 階矩陣階矩陣.Fn所在的第所在的第 行行i和第和第 列，列，j構(gòu)成的構(gòu)成的n-1n-1階行列式階行列式, ,稱為稱為 中中Aija 元素元素記為記為 ijM稱為稱為 中中Aija 元素元素ij

4、M ija劃去劃去 中元素中元素AijA aaaAaaaaaa 111213212223313233A22M 22A32M 32aa1113aa1113aa3133 M32() 3 21aa2123M22() 2 21例如例如 aaaAaaaaaa 111213212223313233例如例如aaaaaaaaAaaaaaaaa11121314212223243132333441424344M 13 aaa212224343231aaa444241aaa 1 31（）M13A13A32aaa111314aaa212324aaa414344M32 3 21（） aaaaaaaaAaaaaaaaa1

5、1121314212223243132333441424344M 32考慮三階行列式考慮三階行列式aaa231213aaa213213aaa221313aaa232113aaa223113aaa212313a A1111 a A1212 a A1313Ma1111Ma2121Ma3131a11aa2223aa3233aa2123aa3133aa2122aa3132a11()a a2233a a2332a12()a13()a a2133a a2331a a2132a a2231aaaaaaaaa212311112132332233 a12 a13aaaaaaaaa2123111121323322

6、33Aa1111 a A1212a A1313aaaaaaaaa212311112132332233Aa1111a A1212 a A1313可以證明，可以證明，Aa1212a A2222 a A2323a A3131 a A3232 a A3333對(duì)任意三階行列式，有對(duì)任意三階行列式，有定義定義 四階行列式為四階行列式為aaaaaaaaaaaaaaaa31323334111213212223244142443144Aa1111a A1212 a A1313a A1414可以證明，可以證明，對(duì)任意四階行列式，有對(duì)任意四階行列式，有aaaaaaaaaaaaaaaa3132333411121321

7、2223244142443144Aa1111a A1212 a A1313a A1414Aa1212a A2222 a A2323a A3131 a A3232a A3333a A2424a A3434Aa1414 a A3232a A3333 a A3434從而有從而有aaaaaaaaaaaaaaaa11121314212223243132333441424344iia A11iia A22iia A33iia A44(, , , )i 1 2 3 4假設(shè)假設(shè) 階行列式已定義，階行列式已定義，n 1定義定義 階行列式為階行列式為nAa1111a A1212 a A1313nna A11.可以

8、證明，可以證明，a A1111a A1212 a A1313nna A11.Aa1212a A2222a A2323nnaA22. nna A11nna A22nna A33nnnna A.312122233211123331231123.nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa定義定義1.8階行列式定義為階行列式定義為n1231112131123.iiiinnnnnnnaaaaaaaaaaaaiia A11iia A22iia A33inina A.(1,2, )in此行列式也記為此行列式也記為ija一階行列式定義為：一階行列式定義為：aa 當(dāng)n=1n=1時(shí)，時(shí)，33, 注意：注意：

9、如如55 此定義與此定義與 無關(guān)無關(guān).i不要將不要將1 1階行列式與絕對(duì)值混淆。階行列式與絕對(duì)值混淆。iijja A1jn不要將行列式與矩陣混淆。不要將行列式與矩陣混淆。行列式也等于行列式也等于可以證明，可以證明，其任一列的元素其任一列的元素與其與其代數(shù)余子式的乘積之和：代數(shù)余子式的乘積之和：.jjnjaaa12 )( 列列jjja A11jja A 22.njnja A (, , )jn 1 2 A150 列列第第5A 252 2( 2) = =10A10A1111 10( 10) =20A=20A1111= -340= -340 5312017252023100014000350例例M 2

10、52 5312 0231 00140035 231 01 4035A252A350A450 A550A115 A210 A310A410A112 A210 A310= =10M10M111111=20M1435 20 例例 M 131= =1 15 5= =1515M 232M 4312 23 31 14 4A232它們的余子式依次為它們的余子式依次為 第3列第3列A330A431 求求D=?D=?1, 2, 0, 15, 3,7, 4 已知四階行列式已知四階行列式D D 中第三列元素依次為中第三列元素依次為解解D 1201D131A.nnnnnaaaaaaaaaa11121312223233

11、3000000例例a A 1111a M 1111.nnnnaaaaaa22232333000a 11a 11a A2211a a 1122.nnnnaaaaaa33343444000.nna a aa 112233上三角行列式的值上三角行列式的值等于主對(duì)角等于主對(duì)角線線上元素的乘積。上元素的乘積。210A 310A 10nA.矩陣與行列式的區(qū)別矩陣與行列式的區(qū)別: :1. 1. 矩陣是一個(gè)矩陣是一個(gè)表表，12341234= =2 22. 2. 矩陣作為一個(gè)表，矩陣作為一個(gè)表， 行列式行列式164203是一個(gè)是一個(gè)2 23 3矩陣矩陣164203其行數(shù)與列數(shù)可以不同其行數(shù)與列數(shù)可以不同. .(

12、 (即矩陣可以是即矩陣可以是“長(zhǎng)方形長(zhǎng)方形”的的) )其行數(shù)與其行數(shù)與( (即行列式一定是即行列式一定是“正方形正方形”的的) )2 行列式是一個(gè)行列式是一個(gè)數(shù)數(shù)。列數(shù)列數(shù)必須相同必須相同. .是由是由n n2 2個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)決定的一個(gè)代數(shù)和，決定的一個(gè)代數(shù)和，設(shè)設(shè) 是是 階方陣，階方陣，Ann nnnnnnnaaaaaaAaaa111212122212.Adet 4321A如如由由A A 的元素構(gòu)成的的元素構(gòu)成的n n階行列式階行列式, ,稱為稱為矩陣矩陣A A的行列式的行列式，nnnnnnaaaaaaaaa111212122212.2 記為記為det AA或或det A A E 1001det

13、EE 10012 11A1234矩陣的乘法有性質(zhì)：矩陣的乘法有性質(zhì)：ABA B 4321A如如B 0121A B AB 012148AB A B設(shè)設(shè)A A1 1,A,A2 2, ,A Ak k均為均為n n 階方陣，階方陣，kA AA12.2 21234372824 4 kA AA12.123401214387det()detdetABABkA AA12.det() kAAA12detdet.det則則三三、 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1 由性質(zhì)由性質(zhì)1,1,如如 1243 11它的列也具有它的列也具有1243利用行列式的性質(zhì)利用行列式的性質(zhì), ,可以簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算?？梢院?jiǎn)化行列式

14、的計(jì)算。行列式和其轉(zhuǎn)置行列式行列式和其轉(zhuǎn)置行列式即即detdetTAA TAA nnnnnnaaaaaaaaa111212122212naaa11121naaa21222.nnnnaaa12行列式的行具有的性質(zhì)，行列式的行具有的性質(zhì)，同樣的性質(zhì)。同樣的性質(zhì)。 11的值的值相等相等. .例例111213122232333000000nnnnnaaaaaaaDaaaTD 即：即：1122nna aa1112131naaaa222320naaa33300naa.000nna1122nna aa都等于主對(duì)角線上元素的乘積。都等于主對(duì)角線上元素的乘積。下三角行列式下三角行列式和上三角行列式的值和上三角行

15、列式的值D 交換行列式的兩行交換行列式的兩行11121211122nnnnniisnissnaaaaaDaaaaaaa11121112nnnnnaaaDaaaDD 1例如例如 23452 212sssnaaa12iiinaaa4523235242行列式變號(hào)行列式變號(hào). .性質(zhì)性質(zhì)2 2 （ 行）行） i( ( 行行) )s（ 行）行） i( ( 行行) )s或或兩列兩列, ,12111212121nnnnnnnbbaaabbbaabDa 如果行列式有兩行如果行列式有兩行則行列式的值為零則行列式的值為零. .11121112nnnnnaaaDaaa12nbbb12nbbbDD 1DD0推論推論元

16、素元素相同，相同，（ 行）行） i( ( 行行) )s（ 行）行） i( ( 行行) )s（或兩列）（或兩列） 的對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng) 用數(shù)用數(shù)k k乘行列式的某一行乘行列式的某一行( (列列),),ijDa 則則niiinnnnnaaaDaaaaakkak1112111212niiinnnnnaaaaaaaaa111211212Dkjnjnnnjnnaaaaaakaakak111121221.jnjnnnjnnaaaaakaaaa111121221.等于以數(shù)等于以數(shù)k k性質(zhì)性質(zhì)3 3即如果設(shè)即如果設(shè)k此行列式此行列式. .證證niiinnnnnaaaaaakkakaa111211212iiAka11

17、iika A22inina Ak.iiAk a11iia A22inina A.niiinnnnnaaaaaaaaa111211212kniiinnnnnaaaaaakkakaa111211212niiinnnnnaaaaaaaaa111211212jnjnnnjnnaaaaaakaakak111121221.jnjnnnjnnaaaaakaaaa111121221.k如果行列式某行如果行列式某行則可以將公因子則可以將公因子有公因子有公因子, ,( (或某列或某列) )的所有的所有元素元素提到行列式外面提到行列式外面. .推論推論 如果行列式某行如果行列式某行( (或某列或某列) )的所有的所

18、有元素為零元素為零,則此行列式的值為零則此行列式的值為零. .nnnnnnnaaaaaabbkbkbbbk12121112112nnnnnnnbbbaaabbaaab11121121212= 0= 0 如果行列式有兩行如果行列式有兩行( (列列) )則此行列式的值為零則此行列式的值為零. .推論推論2 2k0131523156如如1520133152= 0= 0（ 行）行） i( ( 行行) )s（ 行）行） i( ( 行行) )s成比例成比例, ,的對(duì)應(yīng)元素的對(duì)應(yīng)元素kA?nnnnnnaaaaaaaaa111212122212.A 設(shè)設(shè)A A為為n n 階矩陣階矩陣nnnnnnaaaaaaa

19、aakkkkkkkkk111212122212.kA Ak?kA nnnnnnaaaaakkkkkaaaakkkk111212122212.nnnnnnaaaaaaaaa111212122212.nknAkkAnAk性質(zhì)性質(zhì)4 4 11112221211nnniiiinniinnaaaDacbbcbaca121112112ninnnniinbaaaaaabb121112112nnnniiinncaccaaaaa( ( 行行) )i( ( 行行) )i證證111()iiicbA11112221211nnniiiinniinnaaaDacbbcbaca222()iiicbA.()innniibcA

20、iiAb11(iib A22ininAb.)iiAc11(iiAc22ininAc.)121112112ninnnniinbaaaaaabb121112112nnnniiinncaccaaaaa例如例如112233213015ababab213015213015123aaa123bbb1112212122221112abbababa11121222aaaa11122122bbbb21212222abab21212222abab1112aa1112bb1112aa1112aa2122aa2122bb1112bb2122aa1112bb2122bb1211112111222iiinnniiinin

21、ninniadccaaaaadbcbdb121112112niiinnnnnbbaabaaaa121112112nnnniiinnccacaaaaa121112112nnnniiinndaddaaaaa推論推論（ 行）行） i（ 行行) ) i將行列式某一行（列）將行列式某一行（列）11121122112iiinsssnnnnnnaaaaaaaaaaaa加到另一行加到另一行（列）（列）性質(zhì)性質(zhì)5 5 行列式的值不變。行列式的值不變。snnnnnssniiinaaaaaaaaaaaa121112112121ska2skasnka同乘以數(shù)同乘以數(shù)k k后，后，i( ( 行行) )s( ( 行行)

22、)的所有元素的所有元素的對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)元素上，元素上，證證12111211122iiisssnnnnnnnaaaaaaaaaaaa1ska2skasnka111211122nnsnsnnsnaaaaaaaaa111121212nsssnnnnnaaaaaaaaa12.iiinaaa1ska2skasnak.11121211212.nnnnsssnniiinaaaaaaaaaaaai( ( 行行) )s( ( 行行) )i( ( 行行) )s( ( 行行) )D 2512371459274612例例 2512 12061103 2100 () 2 113210 30013310 126 113210

23、 131A230A 330A 430A13A 13M 113A 113M ()3 ()03 9 () 2() 1nnnnniiinsssnaaaaaaDaaaaaa 11122111221iia A 11iAa1ia A 2 ina Aiia A 22inina A s1s2 定理定理1.1 1.1 D 和另一行和另一行的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式is 時(shí)，時(shí)，iiinnnnnnaaaaaaaaa111211212iiinaaa12行列式的某一行行列式的某一行( (列列) )的元素的元素( (列列) )對(duì)應(yīng)元素對(duì)應(yīng)元素i( ( 行行) )s( ( 行行) )i( ( 行行) )s( ( 行行) )

24、sn 0 0s1 ?s2sn = 0 = 0的乘積之和等于零的乘積之和等于零. .nttjjntnjnnnnaaaaaaaaaaaa11121112122 列列j 列列tjta A 11jta A 22ntnja A jt 時(shí)，時(shí)， 0sia A 11sia A 22 sinna A is 時(shí)時(shí)is 時(shí)時(shí)ija0jta A 11jta A 22ntnja A jt 時(shí)時(shí)jt 時(shí)時(shí)ija0iiinnnsssnnnnaaaaaaaaaaaa11122111221定理定理1.2nnnn 1100000220000111321例例( (第第2,3,2,3,n,n列加到第列加到第1 1列列) )nnnn

25、 11000022000113211(1)2n nA()1112n nA (1)2n nn 1( 1)22)1( nn000210A 10nA(1)2n n100.00220.00033.00000nn1 1( 1)( 2) (1)nn(1)!()1112n nM ,nn 1232222222222222242222222例例求求 12222211A()!n 22 1011002.10000.n 0001221M 2222. . . .0100. . . .0020. . . .2000n. . . . . .( 1) .00.0稱為稱為n n階的范德蒙階的范德蒙(Vandermonde(Va

26、ndermonde) )行列式。行列式。行列式行列式.1111.naaaa123.naaaa2222123.nnnnnaaaa1111123 用數(shù)學(xué)歸納法證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：nnnnnnnaaaaaaaaaaaa123222212311111231111()()()()()nnaaaaaaaaaa 234111111()()()()nnaaaaaaaa 2231242()()()nnaaaaaa 41333()nnaa 1ijaa()nij1 結(jié)論成立結(jié)論成立. .設(shè)對(duì)設(shè)對(duì)n-1n-1階的范德蒙行列式結(jié)論成立階的范德蒙行列式結(jié)論成立. .aa 21時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)3 naaaaaa1232221

27、23111()()aa aa aa 2231131110)(1a 0()aa a 221()aa a 331)(1a aaa 1231110()aa 21()aa 31A 11()()aaa aaaaaaa 1113223312()aa21a21a31()()2113aaaa結(jié)論成立結(jié)論成立. .()aa 311211aa證證2n 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),()32aa 1111.nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 12322221233333123222212311111231111 0)(1a 0()naaa 2212()naaa 2313()nnnaaa 21)(1a ()naaa 3212()naaa 3313()nnnaaa 31)(1a )(1a )(1a )(1a )(1a )(1a 0()aa a 221()aa a 331()nna aa 1.0()aa 21()aa 31()naa 1.()()()()()()()()()nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaa aa aa aaaaaaaaaaaaaaaaaa 2322333332233