二學歷概率統(tǒng)計總復習

1、二學歷概率統(tǒng)計總復習一隨機事件與概率一、隨機事件及其運算1、隨機試驗與隨機事件2、隨機事件之間的關系及其運算事件的包含與相等，事件的和(并)，事件的積（交），事件的差，互不相容事件，對立事件二、古典概型及概率1、古典概型及概率三、加法公式與乘法公式1. 概率的加法公式 2. 概率的乘法公式 條件概率 乘法公式四、事件的獨立性 事件的獨立性 貝努利概型（獨立試驗概型）二隨機變量及分布一、離散型隨機變量及其分布1離散型隨機變量的概率分布2. 幾個常用的離散型概率分布 二點分布（“01”分布）如果隨機應量的分布列為表5310pq其中，則稱服從以為參數(shù)的二點分布，記作B(1、p)。二項分布若離散型隨機

2、變量的分布列為(5-16)則稱服從參數(shù)為n，p的二項分布）（n次獨立試驗概型），記作B(n，p)泊松分布如果離散型隨機變量的發(fā)布為(5-17)則稱服從以為參數(shù)的泊松分布，記作P()當如果趨一個常數(shù)，則有即當很大時可用泊松分布來近似計算服從二項分布的的概率，其誤差不大。3. 離散型隨機變量的分布函數(shù)定義5.8 設是一個隨機變量，稱函數(shù) （）(5-18)為隨機變量的分布函數(shù)，記作或。利用概率的性質可以證明，分布函數(shù)具有以下性質：1 是一個非減的函數(shù)。 即若 ，則； 2 ，在任意一點處都右連續(xù)，即。另外，還有如下公式 若離散型隨機變量的分布列為表56根據(jù)定義5.8它的分布函數(shù)為簡寫為這里的和式是對于

3、小于的一切對應的概率和。三、連續(xù)型隨機變量及其分布1. 概率密度函數(shù)定義5.9 設為連續(xù)型隨機變量，如果存在非負函數(shù)，使在任一區(qū)間,內取值的概率都有(5-19)就叫做的概率密度函數(shù)(簡稱為密度函數(shù))。記為。概率密度函數(shù)需滿足以下條件： 即密度函數(shù)是非負的； 顯然，對于連續(xù)隨機變量，但時有故 2. 連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)根據(jù)定義5.9對于連續(xù)型隨機變量，其分布函數(shù)為，則且但在處連續(xù)時。3幾個常見的連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)1均勻分布如果連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)為稱服從區(qū)間上的均勻分布，記為均勻分布的分布函數(shù)(5-21)2正態(tài)分布如果連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)為(5-22)其中為任意實數(shù)，則稱服

4、從以，為參數(shù)的正態(tài)分布，記作。圖5-13由圖513可見，曲線具有下列特點： 曲線位于軸的上方，且以軸為水平漸近線。 曲線關于參數(shù)對稱 當時，達到最大值 曲線與軸轉成的面積為1。 曲線在處有拐點，拐點坐標為，參數(shù)決定正態(tài)曲線所在的位置，如圖5-14所示。圖5-14 圖5-15參數(shù)決定正態(tài)曲線的扁平，小圖像狹高，大圖像扁平，如圖5-15所示。正態(tài)分布函數(shù)服從正態(tài)分布的隨機變量的分布函數(shù)為(5-23)當，時，則稱隨機變量服從標準正態(tài)分布，記為，其密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為 見圖5-16圖5-16 圖5-17由標準正態(tài)分布的密度函數(shù)可知曲線關于軸對稱且對稱區(qū)間概率相等。即：如圖5-17所示第三節(jié)隨機變量

5、的數(shù)字特征一、隨機變量的數(shù)學期望及其性質1. 離散型隨機變量的數(shù)學期望定義5.10 設離散型隨機變量的分布列為下表59：表5-9則稱 為的數(shù)學期望（或均值）記為2連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望定義5.11 如果連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)為，則稱 稱為的數(shù)學期望。3數(shù)學期望的性質隨機變量的數(shù)學期望有下列性質： 常數(shù)的數(shù)學期望等于該常數(shù)，即(5-26) 常數(shù)與隨機變量乘積的數(shù)學期望等于該常數(shù)與隨機變量數(shù)學期望的積，即(5-27) 兩個隨機變量和的數(shù)學期望等于它們的數(shù)學期望的和，即(5-28) 兩個相互獨立的隨機變量乘積的數(shù)學期望等于它們的數(shù)學期望的乘積，即(5-29)二、隨機變量的方差及性質定義5.1

6、2 設 是一個隨機變量，稱為的方差。稱為隨機變量的標準差或均方差，記作，即如果是離散型隨機變量且分布列為，則(5-30)果是連續(xù)型隨機變量，且概率密度函數(shù)為，則(5-31)由定義可見，方差是隨機變量所取之值與的距離平方的平均值。因此，方差小說明隨機變量所取的值比較集中，方差大說明隨機變量所取之值比較分散。隨機變量的方差具有以下性質 常數(shù)的方差等于零(5-32) 常數(shù)與隨機變量乘積的方差等于該常數(shù)的平方與隨機變量方差的乘積，即(5-33) 兩個相互獨立的隨機變量之和的方差等于這兩個隨機變量方差的和，即(5-34)（證明略）方差的常用公式(5-35)為了使用方便，我們把常用的隨機變量的概率分布及其

7、數(shù)字特征列表如下：名 稱概 率 分 布參 數(shù) 范 圍均 值方 差兩點分布二項分布泊松分布均勻分布正態(tài)分布標準正態(tài)分布01第四節(jié) 統(tǒng)計推斷一、基本概念1總體、樣本與統(tǒng)計量在數(shù)理統(tǒng)計中把研究對象的全體稱為總體（或母體），而組成總體的每一個元素稱為個體。由總體中隨機抽取的個體組成的集合稱為一個樣本，樣本中所含個體的數(shù)目稱為樣本容量。要求樣本具有： 必須是隨機抽樣，而且每一個個體被抽到的機會均等； 每次抽取的樣本是相互獨立的，并具有相同的概率分布。滿足以上兩條的樣本稱為簡單隨機樣本。為較好的推斷（估計）總體的某特性，對隨機抽取的樣本要進行“加工”和“提煉”，把我們所關心的信息集中起來，針對不同問題構造

8、出不含未知參數(shù)的樣本的某種函數(shù)。這種函數(shù)在統(tǒng)計中稱為統(tǒng)計量，顯然也是隨機變量。常用統(tǒng)計量：樣本均值(5-36)樣本方差(5-37)樣本均方差(5-38)樣本均值的分布設，是的樣本，則 或 二、參數(shù)估計參數(shù)估計就是用樣本的統(tǒng)計量估計總體參數(shù)，我們稱它為估計量，其具體值稱為估計值。參數(shù)估計通常分為點估計和區(qū)間估計兩種1. 評價估計量的優(yōu)良性準則因為樣本的統(tǒng)計量是隨機變量，所以估計量也是是隨機變量。對于不同的樣本它會得到不同的估計量，那么怎樣評判哪一個估計量更好呢？標準通常采用以下三個準則： 無偏性 若估計量的數(shù)學期望等于未知參數(shù)的真值，即，則稱是的無偏估計。 有效性 若與都是的無偏估計量，而得方差

9、小于的方差，即，則稱較是的有效估計量。2. 點估計從總體中抽取一個樣本，用這組樣本觀測值來估計總體參數(shù)的值，這種估計方法稱為參數(shù)的點估計（也稱定值估計）。在實際工作中，常常用樣本均值估計總體均值，用樣本方差來估計總體的方差。例4 某廠生產一批零件，現(xiàn)要查驗零件的直徑，從產品中隨機選取12只，測得直徑（單位：毫米）分別為：13.30 13.38 13.42 13.43 13.36 13.4813.54 13.34 13.34 13.47 13.44 13.50設零件的直徑總體服從正態(tài)分布，試估計和的值。解 用樣本的平均直徑和樣本方差來估計總體的和，將樣本值分別代入得因此總體均值的估計值為13.4

10、2（毫米），總體方差的估計值為0.0054（毫米）2。用點估計法來估計總體的參數(shù)方法簡單，但由于樣本的隨機性，估計值會因樣本的不同而不同，甚至會有很大的差異。3. 區(qū)間估計設是總體分布中的未知參數(shù)，是取自總體的樣本，構造兩個統(tǒng)計量和，使得包含未知參數(shù)區(qū)間的概率為，即(5-41)這樣的估計方法稱為區(qū)間估計。區(qū)間叫置信區(qū)間，及分別叫置信區(qū)間的上下限，如圖5-22所示。叫置信系數(shù)，也叫置信概率或置信度，而是事先給定的一個小正數(shù)，它是指參數(shù)估計不準確的概率，通常取值0.01，0.05，0.10等。(5-9)式的意義是反復抽樣多次（每次樣本容量都相等），每組樣本觀測值確定一個區(qū)間，在這樣多的區(qū)間中，包含

11、真值的約占，不包含真值的僅占左右。圖5-22區(qū)間估計較點估計的優(yōu)點：既反映了估計結果的精確度又表明了這個估計結果的可靠程度。 正態(tài)總體均值區(qū)間估計 已知方差，求均值的置信區(qū)間。設總體，為的一個隨機樣本，可選用變量求參數(shù)的置信區(qū)間。由正態(tài)分布表可知，對給定的，存在一個臨界值，使即 或 這時參數(shù)的置信區(qū)間為，(5-42)例如時，查正態(tài)分布表可得于是有上式表明包含在區(qū)間，內的概率為0.95。例5 從生產的一批燈管中，抽了十支進行壽命試驗，得數(shù)據(jù)如下（單位：小時）：1300 1210 1050 1260 10401200 1120 1120 1080 1130 估計燈管的平均使用壽命； 燈管壽命服從正

12、態(tài)分布，試求平均壽命的置信區(qū)間。解 由于已知，求的置信區(qū)間，可使用變量，查正態(tài)分布表可得而， 根據(jù)(5-10)式可得所求的燈管平均使用壽命均值的置信區(qū)間（1149.05, 1152.95）,置信度為95%. 未知，求均值的置信區(qū)間。由于未知，在變量中既含有待估參數(shù)外，還含有未知參數(shù)，因此不能用變量，但是的良好估計量，故可用代替中的，這就是前面所講的變量，因此在未知時，估計參數(shù)的置信區(qū)間可選用變量。對給定的置信度，存在一個臨界值使即由分布表，對給定的及自由度出臨界值，解出的置信區(qū)間，得于是參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間，(5-43)其中例6一家保險公司想要估計在過去的一年里投保人的平均理賠額。隨機地選

13、取了36個投保人作為一個隨機樣本，觀測樣本均值是元，觀測樣本標準離差是元。試求以99%的置信度估計去年一年里投保人平均理賠額。解 由題知： ， ， 置信水平為99%，則，自由度為,查分布表求臨界值 代入(7-11)式得，=所以去年一年里投保人平均理賠額為置信度為99%的置信區(qū)間為. 習題五1指出下列事件的包含關系（1）表示“某圓柱形產品的長度合格”，表示“某圓柱形產品合格”（2）表示“擊中飛機”，表示“擊落飛機”。2在一次射擊中，設表示“命中2至4環(huán)”，表示“命中3至5環(huán)”，表示“命中5至7環(huán)”，試表述下列事件：（1），（2），（3），（4），（5）3設甲、乙兩地根據(jù)多年的氣象記錄，知道一年中

14、雨天的比例甲地占20%,乙地占18%，兩地同時下雨占12%,求已知在乙地下雨的條件下甲地下雨的概率。4電路由電池A與兩個并聯(lián)的電池B及C串聯(lián)而成，設電池A、B、C損壞的概率分別是，求電路發(fā)生間斷的概率。5從5雙不同鞋號任意取4只，4只鞋子中至少有2只鞋子配成一雙的概率是多少？6袋中有18個白球，2個紅球，從中隨機地接連取出3個球，取后不放回，試求第三個球是紅球的概率。7書架上任意排放著8本書，求某3本書放在一起的概率。8某鐵路調車場，有12股道，停放8列車，求恰有緊靠在一起的4股道無車的概率。9十個考簽中，四個難簽。三個人參加抽簽（不放回），甲先，乙次，丙最后。記、分別表示甲、乙、丙各抽到難簽

15、，求：。10某家電商場購進一批彩色電視機，經檢驗發(fā)現(xiàn)，外殼有損壞的占，顯像管有缺陷的有，其他部分發(fā)現(xiàn)有問題道的有，外殼和顯像管都有問題的有，顯像管和其他部分都有問題的有0.4%，外殼和其他部分都有問題的有，三者都有問題的有，若從中任取一件，問至少有一種問題的概率是多少？11兩個射手彼此獨立射擊同一目標，射甲射手射中的概率為，乙射手射中概率為，求目標被射中的概率。12珠算一級3名學生，每次核算票據(jù)無誤的概率都為，現(xiàn)3人同時核算同一批票據(jù)，求至少有兩人無誤的概率。13一個電路中安裝有甲、乙兩根保險絲，當電流強度超過一定值時，甲燒斷的概率，乙燒斷的概率為，兩根保險絲同時燒斷的概率為，問至少燒斷一根保

16、險絲的概率是多少？14若A地區(qū)訂日報占60%，訂晚報占30%，不訂報的占25%，試求兩種報都訂的概率。15某地區(qū)鮮花代理商供應本地區(qū)100家零售花店的鮮花，每一家零售花店預定下一天鮮花的概率互不依賴，且都等于，求一天中恰有4家花店訂貨的概率。16某高校計算機專業(yè)招收在職研究生80名，這些學生中有20名有兩年工作經歷，15名有三年工作經歷，25名有四年工作經歷，其他20名有五年或五年以上的工作經歷。假設隨機抽取一名學生 這名學生中至少有四年工作經驗的概率為多少？ 假設我們已知這名學生至少有三年工作經歷，那么這名學生至少有四年工作經歷的概率為多少？17三名同學今年參加高考，根據(jù)歷次?？汲煽兎治?，能

17、考上重點大學的概率分別為0.85，0.75，0.80。試求 三位同學都能考上重點大學的概率。 三位同學都考不上重點大學的概率。18A廣告公司是某地區(qū)較知名的廣告公司，一個人看到A廣告公司廣告的概率為。假設從這個地區(qū)的人口中隨機選擇6人，（1）這些人中至少4人看到這個廣告公司廣告的概率；（2）這些人中最多2看到該公司廣告的概率。19設的分布列為表52001求20某地居民年齡（歲）的密度函數(shù)為求 系數(shù)； 該地區(qū)居民的平均年齡； 小于平均年齡的人數(shù)與大于平均年齡的人數(shù)各占人口百分比是多少？21根據(jù)資料分析，某基金每年投資收益率的概率分布為下表521投資收益率91011121314130.060.16

18、0.210.270.150.110.4試求 該基金年收益率至少是13%的概率； 年收益率的概率分布； 年收益率的期望值、方差是多少？22無線電發(fā)出的信號被另一電臺收到的概率為，信號每隔5秒鐘拍發(fā)一次，直到收到對方的回答信號為止，發(fā)出信號與收到信號之間至少需經過16秒鐘的時間，求在雙方建立聯(lián)系之前，已拍發(fā)的呼喚號的平均次數(shù)。23某工廠有4輛汽車，假設每輛車在一年內至多只發(fā)生一次損失，且各自相互獨立，且有相同的損失概率，試求這個廠在一年內汽車損失次數(shù)的概率分布及均值。25建筑工地購進一批鋼筋，經測試抗壓指標及概率分布為表5-22，試求，這批建筑鋼筋的平均抗壓指標。表5-22抗壓指標1201251301351400.20.30.250.150.126一位農場主的作物因缺水而快要枯萎了，他必須決定是否進行灌溉。如他進行灌溉，或者天下雨的話，作物帶來的利潤是1000元，