解讀小學數(shù)學課標十個核心概念

1、解讀小學數(shù)學核心概念首先,核心概念是課程目標的支點,起著溝通課程目標與具體數(shù)學內(nèi)容之間聯(lián)系的作用。我們知道,課程標準設計了知識技能數(shù)學思考問題解決情感態(tài)度四個方面的培養(yǎng)目標,同時選擇編排了大量的數(shù)學知識。如數(shù)的知識、運算的知識、圖形的知識、測量的知識、統(tǒng)計和概率的知識、解決問題的知識等。在中小學數(shù)學課程這個結(jié)構(gòu)里,核心概念介于課程目標與眾多具體數(shù)學內(nèi)容之間,是課程目標的落腳點。課程目標通過有關(guān)的核心概念得到比較清楚的描述,也通過相關(guān)核心概念的教學和形成得以實現(xiàn)。如,課程標準關(guān)于數(shù)學思考方面的培養(yǎng)目標是如下表述的,這樣的敘述指出了數(shù)學思考的培養(yǎng)應該往什么方向去落實,也使數(shù)學思考的培養(yǎng)目標具有可行

2、性和可操作性。-建立數(shù)感、符號意識和空間觀念,初步形成幾何直觀和運算能力,發(fā)展形象思維與抽象思維。-體會統(tǒng)計方法的意義,發(fā)展數(shù)據(jù)分析意識,感受隨機現(xiàn)象。-在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數(shù)學活動中,發(fā)展合情推理和演繹推理的能力,清晰地表達自己的想法。-學會獨立思考,體會數(shù)學的基本思想和思維方式。其次,核心概念起著統(tǒng)領眾多具體數(shù)學內(nèi)容,導向其教育價值的作用。課程標準提出的核心概念,有些和數(shù)與代數(shù)領域的內(nèi)容聯(lián)系密切,有些和圖形與幾何領域的內(nèi)容聯(lián)系密切,有些和統(tǒng)計與概率領域的聯(lián)系密切,有些和綜合與實踐領域的內(nèi)容聯(lián)系密切。圍繞每一個核心概念都有許多具體的數(shù)學內(nèi)容,通過這些數(shù)學內(nèi)容的教學才能在學

3、生頭腦里形成核心概念。使學生形成必要的核心概念是數(shù)學教學的重要任務,也是有效的數(shù)學教學的歸宿。核心概念起著統(tǒng)領具體數(shù)學內(nèi)容及其教學的作用,使眾多數(shù)學知識之間不是隔裂的,每個數(shù)學知識不是孤立的,而是相互聯(lián)系、相互作用、相互影響的。課程標準提出核心概念,一方面指出了某個核心概念需要哪些數(shù)學知識,另方面指出了這些數(shù)學知識的教學應該形成核心概念,成為學生的意識與能力。如數(shù)感主要和數(shù)與代數(shù)領域里的數(shù)的認識數(shù)的運算以及數(shù)量關(guān)系有著聯(lián)系,課程標準指出:數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果估計等方面的感悟。學生的數(shù)感是他們認數(shù)學習和計算學習中的智慧結(jié)晶,是他們經(jīng)常接觸并領悟常見數(shù)量關(guān)系的經(jīng)驗升化。數(shù)感

4、的形成使數(shù)的知識、運算的知識、數(shù)量關(guān)系的知識轉(zhuǎn)化成個體的數(shù)學素養(yǎng)。小學生的數(shù)感主要表現(xiàn)在:能夠用數(shù)刻畫客觀對象的量的多少或大小,能夠估計客觀對象有多大、有多少;能夠估計運算的結(jié)果大約是多少,能夠評價筆算或計算器計算結(jié)果的合理性;能夠用常見數(shù)量關(guān)系描述實際問題里的數(shù)學內(nèi)容,能夠體會到常見數(shù)量關(guān)系里的簡單函數(shù)關(guān)系。數(shù)感就這樣把與認數(shù)和計算有關(guān)的教學內(nèi)容有機組織起來了,教學數(shù)及其運算的知識應該歸結(jié)到培養(yǎng)和形成數(shù)感的上面。再如,課程標準指出符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律;知道使用符號可以進行運算和推理,得到的結(jié)論具有一般性。小學數(shù)學里有數(shù)字符號09,運算符號+、-、&#

5、215;、÷,關(guān)系符號>、<、=,字母符號h表示形體的高、s表示圖形的面積(有時表示路程、v表示立體的體積(有時表示速度,這些都是人們約定俗成、共同使用的符號。人們學習數(shù)學、應用數(shù)學時,還可以使用個體的符號。如用一橫、一豎或者一個表示一個物體,用字母A、B、C分別表示某些對象等。符號具有簡單明了、使用方便等優(yōu)點,學習數(shù)學離不開它。小學數(shù)學初步培養(yǎng)學生的符號意識,讓他們知道并使用人類已經(jīng)共同使用的一些符號,用符號表示運算律、求積公式、常見數(shù)量關(guān)系;鼓勵學生用自己設定的符號進行記錄,開展統(tǒng)計活動,不僅方便交流與表達,還體會到符號的價值。符號意識就這樣把用字母表示數(shù)(數(shù)量關(guān)系或

6、運算規(guī)律、對含有字母式子的運算、方程以及解決實際問題等數(shù)學內(nèi)容組織起來,有效解決眾多知識相互割裂、過于分散的現(xiàn)象,并且給于它們明確的教學方向。又如,空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形,根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體;想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系;描述圖形的運動和變化;依據(jù)語言的描述畫出圖形等?？臻g形式是數(shù)學的研究對象,客觀世界存在著各種各樣、大大小小的物體,物體在運動變化,物體之間有著相互聯(lián)系。這些內(nèi)容反映在人的頭腦里,形成的有關(guān)概念、模型,產(chǎn)生的想象、引發(fā)的形象思維,就是個體的空間觀念。小學數(shù)學教學許多基本的形體知識,學生應該形成初步的空間觀念。小學生的空間觀念一般表現(xiàn)為

7、:頭腦里有常見平面圖形和立體圖形的數(shù)學模型,知道這些形體的名稱、形狀、結(jié)構(gòu)特點,看到某個物體能夠想到其數(shù)學模型和數(shù)學名稱,想到某個模型或者聽到某個名稱,能夠在身邊找到相應的物體;從正面、側(cè)面和上面觀察某個簡單的物體,能夠用分別看到的圖形表示這個物體的形狀與結(jié)構(gòu);能夠想象出簡單幾何體的表面展開圖,能夠根據(jù)表面展開圖想象出幾何體;能夠把稍復雜的組合形體分解成若干簡單形體;能夠數(shù)學地描述物體的運動方式以及所在位置。可見,核心概念不是指某一個或某幾個具體的數(shù)學知識,而是許多相關(guān)數(shù)學知識的概括提升;核心概念不是另外教學的數(shù)學內(nèi)容,而是蘊涵在相關(guān)數(shù)學知識的教學之中的上位概念。正如課程標準修訂組核心成員、東

8、北師范大學教授馬云鵬所說的:核心概念體現(xiàn)數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)。核心概念本質(zhì)上體現(xiàn)了數(shù)學的基本思想,反映了數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)特征以及數(shù)學思維方式。數(shù)學內(nèi)容的四個方面都以10個核心概念中的一個或幾個為統(tǒng)領,學生對這些核心概念的體驗與把握,是對這些內(nèi)容的真正理解和掌握的標志。課程標準(實驗稿提出六個核心概念,分別是數(shù)感符號感空間觀念統(tǒng)計觀念應用意識推理能力。課程標準(2011提出十個核心概念,分別是數(shù)感符號意識運算能力空間觀念幾何直觀數(shù)據(jù)分析觀念模型思想推理能力應用意識創(chuàng)新意識。把課程標準修改前后的核心概念比一比,可以看到:新增加了四個運算能力幾何直觀模型思想創(chuàng)新意識;較大改動了三個數(shù)據(jù)分析意識推理能力應用意

9、識;另外三個數(shù)感符號意識空間觀念的修改不大。下面我們看一看新增加的和較大改動的七個核心概念。1.運算能力。運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學生理解運算的算理,尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。重視運算能力是我國小學數(shù)學教學的優(yōu)秀傳統(tǒng),我國學生的運算能力受到世界矚目。有關(guān)運算的知識主要是四則計算的意義、法則,四則混合運算順序,運算律和運算性質(zhì)等。有關(guān)運算教學的要求是學生獲得重要的計算知識,能夠正確、熟練、合理、靈活地應用運算知識,解決相應的問題,包括計算題和實際問題。進入新課程,數(shù)學教學的內(nèi)容發(fā)生了很大變化。增加了許多十分有意義的數(shù)學知識,如圖形的運動、

10、圖形的位置、數(shù)據(jù)統(tǒng)計活動、事件發(fā)生的可能性、探索規(guī)律和實踐活動等。有關(guān)計算的教學內(nèi)容也有很大變動,一是精簡了大數(shù)目的計算,整數(shù)加、減法一般不超過三位數(shù)的加或減,整數(shù)乘、除法只到三位數(shù)乘或除以兩位數(shù);二是重視口算、加強估算;三是使用計算器進行較繁瑣的計算。而且,用于計算教學的時間比過去少了。所以,培養(yǎng)學生的運算能力是數(shù)學教學面臨的一個課題。學生的運算能力一般表現(xiàn)為:能夠選擇恰當?shù)挠嬎阈问浇鉀Q問題,做到可以口算就口算,需要筆算就筆數(shù),不要精確得數(shù)就估算,遇到大數(shù)目的計算就使用計算器;追求計算結(jié)果正確,有及時檢驗得數(shù)的習慣,能夠采用合適的方法進行驗算并隨時糾正計算錯誤;有簡便運算的意識,能夠根據(jù)具體

11、情況,合理而靈活地利用運算律或運算性質(zhì),提高計算效率。課程標準重新提出運算能力,是對數(shù)學教學的要求。計算畢竟是數(shù)學內(nèi)容的一部分,是常用的數(shù)學活動之一,是學習和應用其它數(shù)學知識不可缺少的工具。既不能因為增加了許多其它數(shù)學內(nèi)容而忽視計算教學,也不能以傳統(tǒng)的計算教學來要求和衡量新課程的計算教學。學生的計算應該達到適當?shù)乃俣纫?。課程標準提出:20以內(nèi)加減法和表內(nèi)乘除法口算,810題/分;百以內(nèi)加減法和一位數(shù)乘除兩位數(shù)口算,34題/分;兩位數(shù)和三位數(shù)加減法筆算,23題/分;一位數(shù)乘除兩位數(shù)和三位數(shù)筆算,兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算,12題/分。這些速度要求,是大多數(shù)學生經(jīng)過適量練習就能夠達到的,不會耗費過量的教

12、學資源,而影響其它數(shù)學內(nèi)容的教學。這些速度要求,能夠基本滿足繼續(xù)學習數(shù)學和解決實際問題的需要。這些速度水平,一但形成,能夠維持,不會有過大的衰退。2. 幾何直觀。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象,有助于探索解決問題的思路,預測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學,在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。幾何直觀可以看成數(shù)形結(jié)合的手段與方法。數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學思想方法,指利用代數(shù)里的模型來抽象地表示幾何圖形的本質(zhì)內(nèi)容,利用幾何圖形來形象直觀地表示代數(shù)里的關(guān)系。數(shù)學是抽象的,兒童喜歡具體形象的思維,幾何直觀經(jīng)常能夠解決抽象與形象之間的矛盾。數(shù)

13、學教學往往會利用簡單的圖形來表示比較抽象的數(shù)學問題或數(shù)量關(guān)系,如用線段圖表示相差關(guān)系和倍數(shù)關(guān)系,用線段圖表示相遇問題的已知、未知和數(shù)量關(guān)系,用簡單圖形表示田地面積的變化等,這些都十分有助于學生理解題意、找到問題的解法。幾何直觀是人們理解復雜的數(shù)學問題,探索其解法的手段,是人們解決問題時經(jīng)常采用的策略。課程標準提出幾何直觀,不僅教師要充分利用這個手段教學數(shù)學知識,還應該培養(yǎng)學生自己運用幾何直觀的習慣和能力。要聯(lián)系實例讓學生體會什么是幾何直觀,感受幾何直觀對解決問題的積極作用;要指導學生畫圖,初步學會幾何直觀;要鼓勵學生經(jīng)常運用幾何直觀,逐步成為個體的解決問題策略之一。3. 模型思想模型思想的建立

14、是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括:從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題,用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律,求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學習有助于學生初步形成模型思想,提高學習數(shù)學的興趣和應用意識。模型是一種表達形式。數(shù)學模型表達的是客觀現(xiàn)象里的數(shù)學內(nèi)容,是對數(shù)學內(nèi)容的高度抽象與概括,最本質(zhì)且最簡練的表達。所以,人們還把數(shù)學定義為模式的科學。數(shù)學關(guān)系式或者數(shù)學圖像都是數(shù)學模型,如小學數(shù)學里的正比例關(guān)系就是用關(guān)系式=k(一定表示的;或者在直角坐標系里,用從原點(0點出發(fā)向右上方的射線表示。這些就是數(shù)學模型。弗賴登塔爾

15、指出:學習數(shù)學就是學習數(shù)學化。所謂數(shù)學化,是指從數(shù)學的角度看現(xiàn)象、用數(shù)學思維想問題,用數(shù)學方法解決和解釋問題,建立數(shù)學模型就是數(shù)學化。建立和求解模型的過程大致由三部分構(gòu)成:一是從具體對象里抽象出數(shù)學問題;二是用數(shù)學形式表示變化規(guī)律或各種關(guān)系;三是求出結(jié)果、解釋其意義。可見,建模過程是數(shù)學化過程,模型思想有助于學習數(shù)學,有利于發(fā)展數(shù)學思維,數(shù)學教學應該重視模型思想的培養(yǎng)。小學數(shù)學里稱得上數(shù)學模型的不是很多,但含有模型思想的數(shù)學內(nèi)容卻不少。如從每小時行駛的千米數(shù)×行駛的小時數(shù)=一共行駛的千米數(shù)每分鐘走的米數(shù)×走的分鐘數(shù)=一共走的米數(shù)等具體的數(shù)量關(guān)系式,概括出速度×時間

16、=路程,再用字母公式s=vt表示,這個過程里就有模型思想。又如從大量事實概括出交換兩個加數(shù)的位置,和不變,并用字母式子a+b=b+a表示這條運算律,也是富有模型思想的過程。再如方程就是數(shù)學模型,列方程解決實際問題就是建立模型、應用模型的活動。小學數(shù)學培養(yǎng)模型思想,不一定要學生寫出十分規(guī)范的關(guān)系式或畫出十分規(guī)范的圖像。讓他們用自己的語言或喜歡的其它方式表示發(fā)現(xiàn)的數(shù)學規(guī)律、認識的數(shù)學現(xiàn)象,都能促進模型思想的發(fā)展。4.創(chuàng)新意識。創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學教育的基本任務,應體現(xiàn)在數(shù)學教與學的過程之中。學生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎;獨立思考、學會思考是創(chuàng)新的核心;歸納概括得到猜想和規(guī)律,并加以驗證,

17、是創(chuàng)新的重要方法。創(chuàng)新意識的培養(yǎng)應該從義務教育階段做起,貫穿數(shù)學教育的始終。歷史告訴我們,創(chuàng)新精神對于振興中華民族是十分重要的。民族的創(chuàng)新精神,源于其每一個成員的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。創(chuàng)新在不同范疇有不同內(nèi)容。創(chuàng)新的狹義含義是指創(chuàng)造出人類從未有的、完全嶄新的成果,包括新的理論、新的作品、新的工藝、新的方法等,這些創(chuàng)新是對全人類的貢獻。創(chuàng)新的廣義含義是指某個群體或某個人創(chuàng)造出對自己而言的的新認識、新發(fā)現(xiàn)。如果說,對于全人類的創(chuàng)新經(jīng)常是科學家、發(fā)明家和少數(shù)優(yōu)秀人才的成就,那么屬于個體的創(chuàng)新則是每一個人的可作可為。而科學家、發(fā)明家的創(chuàng)新能力,也是在個體的、初步的創(chuàng)新意識基礎上發(fā)展出來的。所以,培養(yǎng)學生

18、的創(chuàng)新意識,既直接關(guān)系到每一個學生的精神面貌,也間接關(guān)系著若干年以后的人類新創(chuàng)造。在現(xiàn)有的數(shù)學教學中培養(yǎng)創(chuàng)新意識,要改變教與學的方式。使一些數(shù)學內(nèi)容的教學,由教師傳授變?yōu)閷W生探索。鼓勵學生猜想、驗證;實驗、發(fā)現(xiàn);質(zhì)疑、探索;合作、交流。經(jīng)常在教師的引導和組織下發(fā)現(xiàn)新知識、建構(gòu)新認識,他們的創(chuàng)新意識就得到了應有的培養(yǎng)。5. 數(shù)據(jù)分析觀念。數(shù)據(jù)分析觀念包括:了解在現(xiàn)實生活中有許多問題應當先做調(diào)查研究,收集數(shù)據(jù),通過分析做出判斷,體會數(shù)據(jù)中蘊涵著信息;了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法,需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法;通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機性,一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同,另一方

19、面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。進入新課程以來,小學數(shù)學的統(tǒng)計教學發(fā)生了很大的變化。從過去以制作統(tǒng)計圖表為主要教學內(nèi)容,變成以統(tǒng)計活動為主要教學內(nèi)容。提出數(shù)據(jù)分析觀念要促進統(tǒng)計教學的進一步改革。首先,統(tǒng)計是人們認識現(xiàn)象、解決問題的一種重要方法。如,要了解一個單位的員工年齡結(jié)構(gòu)和文化程度結(jié)構(gòu),就可以就這兩個內(nèi)容進行統(tǒng)計;要了解物價的情況以及對人們生活的影響,需要進行有關(guān)的統(tǒng)計;要了解兒童的體質(zhì)狀況和生活方式的變化,也可以通過統(tǒng)計其次,統(tǒng)計總是圍繞數(shù)據(jù)而進行的,統(tǒng)計的主要活動是關(guān)于數(shù)據(jù)的活動,統(tǒng)計過程一般是收集和整理數(shù)據(jù)、分析和利用數(shù)據(jù)的過程。統(tǒng)計結(jié)果一方面有其客觀性,另方面有其局限性。所謂

20、統(tǒng)計結(jié)果的客觀性,是指數(shù)據(jù)都是真實的,一般是經(jīng)過調(diào)查得到的;統(tǒng)計結(jié)論是根據(jù)實實在在的數(shù)據(jù)得出的。人們常說沒有調(diào)查就沒有發(fā)言權(quán)用數(shù)據(jù)說明問題,都是肯定了數(shù)據(jù)的客觀性。所謂統(tǒng)計結(jié)果的局限性,是因為分析數(shù)據(jù)要在現(xiàn)實的背景下進行,同一組數(shù)據(jù),在不同的背景下會表達出不同的意思,引起人們不同的思考。如某所學校對教師的課堂教學水平進行了調(diào)查,隨堂聽課的優(yōu)課率15%、良好課50%、合格課25%、較差課10%。這組數(shù)據(jù)如果與該校過去的課堂教學水平比,可能看到有了明顯進步;如果與所在地區(qū)各學校的整體課堂教學水平比,可以看到該學校處于什么位置上;如果與其他高水平學校比,可以看出還存在的差距。這是同一組數(shù)據(jù)在不同背景

21、下,反映出不同的信息。離開了現(xiàn)實背景的數(shù)據(jù)并不能說明什么問題。另外,數(shù)據(jù)還是隨機的,需要有足夠的數(shù)據(jù)才能比較客觀地反映出事實或規(guī)律。如評價一位教師的課堂教學水平,如果只考察他的一堂課,往往會有片面性。如果考察幾堂甚至幾十堂課,得出的評價就會客觀一些;如果對這位教師教學各類知識的課堂分別進行充分的考察,得出的評價就更加可信。統(tǒng)計教學的目的在于培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)分析意識與能力,具體些說,一要學生關(guān)注數(shù)據(jù)、重視數(shù)據(jù),體會到數(shù)據(jù)不是枯燥的數(shù)字,而是蘊含著豐富的信息內(nèi)容;二要學生收集信息,通過整理獲得有用的數(shù)據(jù),并用適當?shù)慕y(tǒng)計圖表呈現(xiàn)數(shù)據(jù),直觀反映出數(shù)據(jù)特征;三要學生對數(shù)據(jù)進行深入的分析,用數(shù)據(jù)解釋事實、判

22、斷是非、預測未來。6. 推理能力。推理能力的發(fā)展應貫穿在整個數(shù)學學習過程中。推理是數(shù)學的基本思維方式,也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理,合情推理是從已有的事實出發(fā),憑借經(jīng)驗和直覺,通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果;演繹推理是從已有的事實(包括定義、公理、定理等和確定的規(guī)則(包括運算的定義、法則、順序等出發(fā),按照邏輯推理的法則證明和計算。在解決問題的過程中,兩種推理功能不同,相輔相成:合情推理用于探索思路,發(fā)現(xiàn)結(jié)論;演繹推理用于證明結(jié)論。從已有的判斷得出新判斷的思維形式叫做推理,推理是常用的思維形式,人們經(jīng)常通過推理,實現(xiàn)由此及彼的思考跨越。數(shù)學教育歷來很重視演

23、繹推理,因為它十分嚴密。演繹推理是從一般到特殊的推理,它根據(jù)已有的事實,按照邏輯的規(guī)則,得出新的結(jié)論。例如,前面提到的六年級(上冊教科書里的分數(shù)乘整數(shù)×3的算法就是通過演繹推理得出的。從個別例題得出分數(shù)乘整數(shù)的計算法則以后,再進行其它的分數(shù)乘整數(shù),只要按照法則進行。這時,按已有法則進行同類計算,可以看作演繹推理。再如,認識運算律以后的簡便運算,其思考是按照因為所以進行的,也是演繹推理。數(shù)學教育應該培養(yǎng)學生的演繹推理能力,也確實有著許多培養(yǎng)機會。推理不只是演繹推理,合情推理也很常見,主要有歸納推理、類比推理。歸納推理是從特殊到一般的推理,它根據(jù)部分實際例子,形成具有普遍意義的概念或規(guī)則

24、。例如,對小學生來說,分數(shù)除以分數(shù)的計算法則很難通過演繹推理得出,教科書采用合情推理,鼓勵學生猜想并驗證,給予學生很大的自主探索空間,避免了直接灌輸式的機械學習。再如通過對若干個長方形的研究,得出所有長方形都具有對邊相等、四個直角的特點。通過12道兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算法探索,得出計算法則。這些都是不完全歸納在小學數(shù)學教學中的的具體應用。歸納推理有完全歸納和不完全歸納,小學數(shù)學里一般都是不完全歸納。類比推理是特殊到特殊的推理,它根據(jù)個案之間已經(jīng)存在的一些關(guān)系,聯(lián)想還會有其它的共同點或相似點。如已經(jīng)知道比與除法有聯(lián)系,除法與分數(shù)有聯(lián)系,于是認為比和分數(shù)也會有聯(lián)系,認為比也可以寫成分數(shù)的形式;已經(jīng)知道

25、除法有商不變性質(zhì),分數(shù)有基本性質(zhì),于是認為比也有類似的性質(zhì)。這些認為都是類比推理的結(jié)果。數(shù)學教育只重視演繹推理是不夠的,合情推理也十分重要。合情推理比較開放、比較活潑,往往含有猜想、估計、預測的成分,人類的許多發(fā)明、發(fā)現(xiàn)都起源于合情推理。合情推理得出的估計、猜想,經(jīng)過演繹推理的驗證,如果是正確的,就是人們的創(chuàng)新。如果不正確,還可以修正或者放棄。所以說,演繹推理與合情推理的功能不同,卻相輔相成,缺一不可。既然數(shù)學教育曾經(jīng)忽略了合情推理,那么應該注意加強。新課程重視合情推理,并不意味輕視演繹推理,而是在繼續(xù)重視演繹推理的同時,也關(guān)注學生的合情推理能力。心理學認為,演繹推理是必然性推理,只要推理的前

26、提和線索正確,結(jié)果就一定正確。合情推理是或然性推理,即使前提正確,結(jié)論未必一定正確,其正確性需要證明。小學數(shù)學里的不完全歸納推理和類比推理,雖然難以進行嚴格的證明,還是應該讓學生充分經(jīng)歷兩個過程:一是廣泛地列舉具體事例,即學生人人舉例,各人具的例子不同,從眾多的實例中歸納出來的結(jié)論,可靠性和說服力會強些。二是積極尋找反例,只要能夠找到一件反例,就否定了原來的結(jié)論。如果實在找不到反例,才能看成正確的結(jié)論(嚴格地講,還只是猜想。7. 應用意識。應用意識有兩個方面的含義,一方面有意識利用數(shù)學的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象,解決現(xiàn)實世界中問題;另一方面,認識到現(xiàn)實生活中蘊涵著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題,這些問題可以抽象成數(shù)學問題,用數(shù)學的方法予以解決。在整個數(shù)學教育的過程中都應該培養(yǎng)學生的應用意識,綜合實踐活動是培養(yǎng)應用意識很好的載體人們學習數(shù)學的目的,不只是獲得數(shù)學知識和技能