集合與簡易邏輯、函數(shù)

1、集合與簡易邏輯、函數(shù)主講人：黃岡中學(xué)高級教師湯彩仙一、復(fù)習(xí)策略1、集合與簡易邏輯在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中并不是新增內(nèi)容，在過去的教材中散見于各章知識。而在新教材中將其整合到一起，單獨列為一章，置于高中數(shù)學(xué)教材之首，足見其在數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)地位，是進一步學(xué)習(xí)近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的必要基礎(chǔ)知識。其內(nèi)容為集合的概念及其運算、邏輯聯(lián)結(jié)詞、四種命題及其相互關(guān)系、充要條件。本單元內(nèi)容還初步體現(xiàn)了中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、化歸的數(shù)學(xué)思想。由于其在數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)地位，在復(fù)習(xí)中不宜深入展開，只要靈活掌握知識點的小型綜合即可。2、函數(shù)概念的復(fù)習(xí)當(dāng)然應(yīng)該從函數(shù)的定義開始函數(shù)有二種定義，一是變量觀點下的定義，一是映射觀點下

2、的定義復(fù)習(xí)中不能僅滿足對這兩種定義的背誦，而應(yīng)在判斷是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，兩個函數(shù)關(guān)系是否相同等問題中得到深化，更應(yīng)在有關(guān)反函數(shù)問題中正確運用具體要求是：(1)深化對函數(shù)概念的理解，明確函數(shù)三要素的作用，并能以此為指導(dǎo)正確理解函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系(2)系統(tǒng)歸納求函數(shù)定義域、值域、解析式、反函數(shù)的基本方法在熟練有關(guān)技能的同時，注意對換元、待定系數(shù)法等數(shù)學(xué)思想方法的運用(3)通過對分段定義函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，抽象函數(shù)等的認(rèn)識，進一步體會函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)，進一步樹立運動變化，相互聯(lián)系、制約的函數(shù)思想，為函數(shù)思想的廣泛運用打好基礎(chǔ)本部分內(nèi)容的重點是不僅從認(rèn)識上，而且從處理函數(shù)問題的指導(dǎo)上達(dá)到從三要素總體上把握函

3、數(shù)概念的要求，對確定函數(shù)三要素的常用方法有個系統(tǒng)的認(rèn)識，對于給出解析式的函數(shù)，會求其反函數(shù)本部分的難點首先在于克服“函數(shù)就是解析式”的片面認(rèn)識，真正明確不僅函數(shù)的對應(yīng)法則，而且其定義域都包含著對函數(shù)關(guān)系的制約作用，并真正以此作為處理問題的指導(dǎo)其次在于確定函數(shù)三要素、求反函數(shù)等課題的綜合性，不僅要用到解方程，解不等式等知識，還要用到換元思想、方程思想等與函數(shù)有關(guān)概念的結(jié)合函數(shù)的概念是復(fù)習(xí)函數(shù)全部內(nèi)容和建立函數(shù)思想的基礎(chǔ)，不能僅滿足會背誦定義，會做一些有關(guān)題目，要從聯(lián)系、應(yīng)用的角度求得理解上的深度，還要對確定函數(shù)三要素的類型、方法作好系統(tǒng)梳理，這樣才能進一步為綜合運用打好基礎(chǔ)復(fù)習(xí)的重點是求得對這些

4、問題的系統(tǒng)認(rèn)識，而不是急于做過難的綜合題二、典例剖析考點一：集合的概念與運算例1、集合，集合，則等于（）A BCD解析：集合中的元素是，它表示函數(shù)的值域，從而，集合中的元素是，它表示函數(shù)的定義域，從而易得=，因此，正確答案選C點評：同學(xué)們在求解此題時，常常誤認(rèn)為是求兩條曲線的交點，而導(dǎo)致解題產(chǎn)生差錯搞清楚集合中元素的特征，運用元素分析法，就可以有效地避免這樣的解題錯誤例2、已知集合(1)若，求m的取值范圍(2)若點的坐標(biāo)為且集合、所表示的兩個平面區(qū)域的邊界交于點、N，求QMN的面積的最大值解析：(1)如圖(a)，當(dāng)射線與圓相切時，由，得m=2或m=6(舍去)當(dāng)射線與圓相切時，由得m=6或m=2

5、(舍去)故所求m的取值范圍是(2，6)(2)顯然點Q在圓的直徑上，如圖(b)所示，由對稱性和圓冪定理可得設(shè)，則，于是(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故QMN的面積的最大值為4).點評：本題是一個綜合性題目考查到了數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法；在這里，集合是一種工具，解題中善于把集合語言向函數(shù)語言轉(zhuǎn)化，進而得出解題的思路與方向考點二：簡易邏輯與四種命題例3、已知條件和條件，請選取適當(dāng)?shù)膶崝?shù)a的值，分別利用所給的兩個條件作為構(gòu)造命題：“若則”，并使得構(gòu)造的原命題為真命題，而其逆命題為假命題則這樣的一個原命題可以是什么？并說明為什么這一命題是符合要求的命題解析：已知條件：，或，已知條件：，或；令，則即，或，此

6、時必有成立，反之不然故可以選取的一個實數(shù)是，設(shè)，則對應(yīng)的命題“若則”是一個真命題，而其逆命題“若則”是一個假命題注意：所找到的實數(shù)只需滿足，且即可(請同學(xué)們思考這是為什么？)點評：由于本題答案不唯一，使得求解的方法沒有固定模式，考生既能在一般性的指導(dǎo)中找出一個滿足條件的a，也能先猜后證例4、已知函數(shù)(1)若能表示成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的和，求出和的解析式；(2)若，求的值；(3)命題：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)命題：函數(shù)是減函數(shù)；如果命題有且僅有一個是真命題，求a的取值范圍解：(1)(2)，故(3)，若真，則或即或(且)若真，則(且)而命題有且僅有一個是真命題，則真假時，；假真時故所求a的取值范圍

7、是 考點三：函數(shù)的性質(zhì)例5、定義在(1，1)上的函數(shù)滿足：對任意，都有：，且當(dāng)時，(1)求證：是奇函數(shù)；(2)判斷在(1，1)上的單調(diào)性，并加以證明；(3)設(shè)，試求不等式的解集解：(1)證明：又，故是奇函數(shù)(2)設(shè)且，且而故故在（1，0上遞減又是奇函數(shù)，在0，1)上也遞減故在(1，1)上遞減(3)解：例6、設(shè)是定義在1，1上的偶函數(shù)，與的圖象關(guān)于直線x=1對稱，當(dāng)時，為常數(shù))(1)求的表達(dá)式；(2)當(dāng)時，求在0，1上取最大值時，對應(yīng)的值；(3)當(dāng)時，是否存在，使圖象的最高點落在直線y=12上？若存在，求出的值；若不存在，說明理由解析：(1)設(shè)是圖象上任一點，則是圖象上的一點，當(dāng)時，又是偶函數(shù)，

8、時，(2)當(dāng)時，由，得(負(fù)值已舍)，當(dāng)時，為增函數(shù)；當(dāng)時，為減函數(shù)當(dāng)時，取最大值(3)當(dāng)時，在0，1上為增函數(shù)又為偶函數(shù)，當(dāng)x=±1時，取最大值，由題意知：，存在實數(shù)，使的最高點落在直線上點評：由函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)解析式的題目多以解答題的形式出現(xiàn)，是高考考查的重點，求函數(shù)最值的方法較多，解題時要注意靈活多變，有選擇地使用較為簡便的方法，使解題快捷準(zhǔn)確，解答此題時，要注意以下幾個問題：(1)由函數(shù)的奇偶性及對稱性，可較快求出函數(shù)表達(dá)式，應(yīng)注意定義域的變化，準(zhǔn)確求出定義域是解答以下各題的關(guān)鍵；(2)求函數(shù)最值的方法很多，如：配方法、數(shù)形結(jié)合法、判別式法、求導(dǎo)法、換元法、分離參數(shù)法、單調(diào)性法、

9、有界性法、反函數(shù)法、基本不等式法等，此題便是利用導(dǎo)數(shù)法求最值的典型求導(dǎo)時，應(yīng)注意求導(dǎo)法則的應(yīng)用(3)分類討論在解決此題中起了重要作用，分類時要注意：不重不漏；標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，層次要分明；不要盲目分類，能不分類的可整體解決考點四：函數(shù)的圖象例7、設(shè)定義域為R的函數(shù)若關(guān)于的方程有3個不同的實數(shù)解，則（）A4BC9D答案：C解析：如圖，作出函數(shù)的圖象，可知關(guān)于的方程有一正根和零根，不妨設(shè)由圖象的對稱性可知，又，例8、已知二次函數(shù)的圖象以原點為頂點且過點(1，1)，反比例函數(shù)的圖象與直線的兩個交點間距離為8(1)求函數(shù)的表達(dá)式；(2)證明：當(dāng)時，關(guān)于x的方程有三個實數(shù)解解析：(1)由已知，易得(2)證明：

10、由得即在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出和的大致圖象，其中的圖象是以坐標(biāo)軸為漸近線，且位于第一、三象限的雙曲線，的圖象是以為頂點，開口向下的拋物線因此，有一個負(fù)數(shù)解又當(dāng)時，所以當(dāng)時，在第一象限的圖象上存在一點在圖象的上方與的圖象在第一象限有兩個交點，即的兩個正數(shù)解，因此，方程有三個實數(shù)解點評：本題運用了待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法、函數(shù)思想、構(gòu)建思想等思想方法，綜合考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)考點五：抽象函數(shù)例9、定義在R上的函數(shù)，對任意實數(shù)，都有和，且，求的值解析：由于為任意實數(shù)，可以取一些特殊值，按照題目中的條件的變化規(guī)律，反反復(fù)復(fù)進行下去由這個“橋梁”，得，共進行670次，將上述同向不等式相加可得，即由得共進行100

11、5次，將上述同向不等式相加可得，即從而點評：如果函數(shù)不易具體化或簡約化，但可以根據(jù)題設(shè)中“橋梁”，使自變量取一些特殊值，使數(shù)值特殊化，反復(fù)進行，從而達(dá)到目標(biāo)到底取何特殊值，要經(jīng)過多種嘗試、探索，充分發(fā)揮學(xué)生的直覺、探索、逆向思維等方面的能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生從一般到特殊解決問題的能力例10、( 2006年重慶高考題)已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(f(x)x2x)=f(x)x2x(1)若f(2)=3，求f(1)；又若f(0)=a，求f(a)；(2)設(shè)有且僅有一個實數(shù)x0，使得f(x0)= x0，求函數(shù)f(x)的解析表達(dá)式解：(1)因為對任意xR，有f(f(x)x2x)=f(x)x2x，所以f

12、(f(2)222)=f(2)222又由f(2)=3，得f(3222)=3222，即f(1)=1若f(0)=a，則f(a020)=a020，即f(a)=a(2)因為對任意，有f(f(x)x2x)=f(x)x2x又因為有且只有一個實數(shù)x0，使得f(x0)= x0。所以對任意，有f(x)x2x= x0。在上式中令x= x0，有f(x0)xx0=x0。又因為f(x0)= x0，所以x0x=0，故x0=0或x0=1若x0=0，則f(x)x2x=0，即f(x)= x2x但方程x2x=x有兩個不同實根，與題設(shè)條件矛盾，故x00若x0=1，則有f(x)x2x=1，即f(x)= x2x1易驗證該函數(shù)滿足題設(shè)條件綜上，所求函數(shù)為f(x)= x2x1(xR)考點六：函數(shù)的應(yīng)用例11、沿海地區(qū)某農(nóng)村在2007年底共有人口1480人，全年工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)總值為3180萬，從2008年起計劃10年內(nèi)該村的總產(chǎn)值每年增加60萬元，人口每年凈增a人，設(shè)從2008年起的第x年(2008年為第一年)該村人均產(chǎn)值為y萬元.(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)為使該村的人均產(chǎn)值年年都有增長，那么該村每年人口的凈增不能超過多少人？分析：本小題主要考查函數(shù)知識、函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)學(xué)建模，運用所學(xué)知識解決實際問題的能力。(1)解：依題意得第x年該