全等三角形難題集錦超級(jí)好

1、1.如圖，已知等邊ABC，P在AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以PA為邊作等邊APE,EC延長(zhǎng)線交BP于M，連接AM,求證：（1）BP=CE； （2）試證明：EM-PM=AM.2、點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，ACM, CBN都是等邊三角形，線段AN,MC交于點(diǎn)E，BM,CN交于點(diǎn)F。求證：（1）AN=MB.（2）將ACM繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度，如圖所示，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否依然成立？ （3）AN與BM相交所夾銳角是否發(fā)生變化。 圖 圖5.已知，如圖所示，在和中，且點(diǎn)在一條直線上，連接分別為的中點(diǎn)（1）求證：；CENDABM圖CAEMBDN圖（2）在圖的基礎(chǔ)上，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，其他條件不

2、變，得到圖所示的圖形請(qǐng)直接寫出（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立. ABCEDOPQ6.如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ以下五個(gè)結(jié)論： AD=BE； PQAE； AP=BQ； DE=DP； AOB=60 CP=CQ CPQ為等邊三角形共有2對(duì)全等三角形 CO平分AOP CO平分BCD恒成立的結(jié)論有_（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上） 10.已知：如圖，是等邊三角形，過(guò)邊上的點(diǎn)作，交于點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使，連接（1）求證：；（2）過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，請(qǐng)你連接，并判斷是怎樣的三

3、角形，試證明你的結(jié)論AGFCBDE（圖）11、如圖，以的邊、為邊分別向外作正方形和正方形，連結(jié)，試判斷與面積之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由9如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ以下五個(gè)結(jié)論：ABCEDOPQ AD=BE； PQAE； AP=BQ； DE=DP； AOB=60 恒成立的結(jié)論有_（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上） 如圖所示，已知ABC和BDE都是等邊三角形，且A、B、D三點(diǎn)共線下列結(jié)論：AE=CD；BF=BG；HB平分AHD；AHC=60，BFG是等邊三角形；FGAD其

4、中正確的有（）A3個(gè) B4個(gè) C5個(gè) D6個(gè)1、在中，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得交于點(diǎn)，分別交于兩點(diǎn)如圖1，觀察并猜想，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；ADBECFADBECFABCDEF2. 如圖所示，ABC是等腰直角三角形，ACB90，AD是BC邊上的中線，過(guò)C作AD的垂線，交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，求證：ADCBDE3.如圖1，四邊形ABCD是正方形，M是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)。直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且直角頂點(diǎn)E在AB邊上滑動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合），另一條直角邊與CBM的平分線BF相交于點(diǎn)F. 如圖141，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊的中點(diǎn)位置時(shí)： 通過(guò)測(cè)量DE，EF的長(zhǎng)度，猜

5、想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是 ； 連接點(diǎn)E與AD邊的中點(diǎn)N，猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系是 ； 請(qǐng)證明你的上述兩猜想. 如圖142，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上的任意位置時(shí)，請(qǐng)你在AD邊上找到一點(diǎn)N, 使得NE=BF，進(jìn)而猜想此時(shí)DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系并證明已知中，為邊的中點(diǎn)，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、（或它們的延長(zhǎng)線）于、當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到于時(shí)（如圖1），易證AECFBD圖1圖3ADFECBADBCE圖2F當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到不垂直時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，、又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明1.已知AC/BD,CAB和DBA的平分線EA、EB與CD相

6、交于點(diǎn)E.求證:AB=AC+BD.2.等邊ABC，D為ABC外一點(diǎn)，BDC=120，BD=DCMDN=60射線DM與直線AB相交于點(diǎn)M，射線DN與直線AC相交于點(diǎn)N，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，直接寫出BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且DMDN時(shí)，猜想中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)畫出圖形，并寫出BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系3.如圖1，BD是等腰的角平分線，.（1）求證BC=AB+AD；（2）如圖2，于F，交延長(zhǎng)線于E，求證：BD=2CE；ABCDFE圖21、已知，如圖1，在四邊形ABCD中，BCAB，AD=

7、DC，BD平分ABC。求證：BAD+BCD=180。2、如圖，四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，AD+AB=2AE，則B與ADC互補(bǔ).為什么？DBEAC3、如圖4，在ABC中，BD=CD，ABD=ACD,求證AD平分BAC. ABCD4.如圖，在ABC中ABC,ACB的外角平分線交P.求證:AP是BAC的角平分線EBAC圖2D5、如圖在四邊形ABCD中，AC平分BAD，ADCABC180度，CEAD于E，猜想AD、AE、AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想，6、如圖，已知在ABC中，B=60，ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O，求證：OE=OD7如圖所示，已知在AEC中，E=90

8、，AD平分EAC，DFAC，垂足為F，DB=DC，求證：BE=CF8、如圖，OP是MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：（1）如圖，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；OPAMNEBCDFACEFBD圖圖圖（2）如圖，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請(qǐng)問(wèn)，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。9已知：如圖，BFAC于點(diǎn)F，CEAB于點(diǎn)E，且BD=CD，求證

9、：（1）BDECDF （2） 點(diǎn)D在A的平分線上10、如圖在ABC中，ABAC，12，P為AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-ACPB-PC11、（2007年成都）已知：如圖，ABC中，ABC=45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，與CD相交于點(diǎn)F，H是BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)DH與BE相交于點(diǎn)G。 (!)求證：BF=AC； (2)求證：CE=BF； (3)CE與BC的大小關(guān)系如何？試證明你的結(jié)論。12、（2009年赤峰市）如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，BF是ABC的平分線，AFDC，連接AC、CF，求證：CA是DCF的平分線。1、數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問(wèn)題：如圖1，四邊形ABCD是正

10、方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F，求證：AE=EF經(jīng)過(guò)思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)M，連接ME，則AM=EC，易證，所以在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：（1）小穎提出：如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上（除B，C外）的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由； （2）小華提出：如圖3，點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”仍然成立你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明

11、理由ADFCGEB圖1ADFCGEB圖2ADFCGEB圖33.ABC中，BAC=60，C=40，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。4.問(wèn)題背景，如下命題： 如圖1,在正三角形ABC中,N為BC邊上任一點(diǎn),CM為正三角形外角ACK的平分線,若ANM=60,則AN=NM 如圖2,在正方形ABCD中,N為BC邊上任一點(diǎn)，CM為正方形外角DCK的平分線，若ANM=90，則AN=NM 如圖3,在正五邊形ABCDE中,N為BC邊上任一點(diǎn),CM為正五邊形外角DCK的平分線,若ANM=108,則AN=NM任務(wù)要求： 請(qǐng)你證明以上三個(gè)命題； 請(qǐng)你繼續(xù)完成下面的探索

12、： 如圖4,在正（3）邊形ABCDEF中,N為BC邊上任一點(diǎn),CM為正邊形外角DCK的平分線,問(wèn)當(dāng)ANM等于多少度時(shí),結(jié)論AN=NM成立（不要求證明）. 如圖5,在梯形ABCD中,ADBC,AB=BC=CD,N為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),CM為DCN的平分線,若ANM=ABC,請(qǐng)問(wèn)AN=NM是否還成立？若成立,請(qǐng)給予證明；若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.5.（1）如圖，已知在正方形ABCD中，M是AB的中點(diǎn)，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，MNDM且交CBE的平分線于N試判定線段MD與MN的大小關(guān)系；（2）若將上述條件中的“M是AB的中點(diǎn)”改為“M是AB上或AB延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)”，其余條件不變?cè)噯?wèn)（1）中的結(jié)論還成立嗎？

13、如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由6.如圖，在ABC中，A=90，D是AC上的一點(diǎn)，BD=DC，P是BC上的任一點(diǎn)，PEBD，PFAC，E、F為垂足求證：PE+PF=AB1.如圖，已知ABC中，AB=AC=6cm，B=C，BC=4cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以1cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，BPD與CQP是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使BPD與CQP全等？（2）若點(diǎn)Q以中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B

14、同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿ABC三邊運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過(guò) 后，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在ABC的 邊上相遇？（在橫線上直接寫出答案，不必書寫解題過(guò)程）2.已知：在ABC中，ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的左側(cè)作等腰直角ADE，解答下列各題：如果AB=AC，BAC=90（i）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖甲，線段BD，CE之間的位置關(guān)系為（ii）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖乙，i）中的結(jié)論是否還成立？為什么？3.（2012內(nèi)江）已知ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），以AD為邊作菱形ADEF（A、D、E、F按逆時(shí)針排列），使DAF

15、=60，連接CF（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證：BD=CF；AC=CF+CD；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，結(jié)論AC=CF+CD是否成立？若不成立，請(qǐng)寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，補(bǔ)全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系DCBAEH1.在ABC中，ADBC, BEAC, D、E為垂足，AD與BE交與點(diǎn)H，BD=AD求證：BH=AC BEAD 2.（08河北中考第24題）如圖14-1，在ABC中，BC邊在直線l上，ACBC，且AC = BCEFP的邊FP也在直線l上，邊E

16、F與邊AC重合，且EF=FP（1）在圖14-1中，請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）將EFP沿直線l向左平移到圖14-2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q，連結(jié)AP，BQ猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)證明你的猜想；（3）將EFP沿直線l向左平移到圖14-3的位置時(shí)，EP的延長(zhǎng)線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連結(jié)AP，BQ你認(rèn)為（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由3.（2006年遼寧沈陽(yáng)25題）.如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為邊BC、CD的中點(diǎn)，AF、DE相交于點(diǎn)G，則可得結(jié)論：AF

17、=DE；AFDE.(不需要證明)(1)如圖2，若點(diǎn)E、F不是正方形ABCD的邊BC、CD的中點(diǎn)，但滿足CE=DF.則上面的結(jié)論、是否仍然成立？(請(qǐng)直接回答“成立”或“不成立”)(2)如圖3，若點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊CB的延長(zhǎng)線和DC的延長(zhǎng)線上，且CE=DF，此時(shí)上面的結(jié)論、是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.4.如圖1，A、E、F、C在同一條直線上，AE=CF，過(guò)E、F分別作DEAC，BFAC，若AB=CD，試說(shuō)明BD平分EF；若將DEC的邊EC沿AC方向移動(dòng)變?yōu)閳D2時(shí)，其余條件不變，BD是否還平分EF，請(qǐng)說(shuō)明理由。5.如圖，ABC中，ACB90，ACBC，A

18、E是BC邊上的中線，過(guò)C作CFAE，垂足為F，過(guò)B作BDBC交CF的延長(zhǎng)線于D求證：（1）AECD； （2）若AC12 cm，求BD的長(zhǎng) 6如圖，兩個(gè)全等的含30、60角的三角板ADE和三角板ABC放置在一起，DEA=ACB=90，DAE=ABC=30，E、A、C三點(diǎn)在一條直線上，連接BD，取BD中點(diǎn)M，連接ME、MC，試判斷EMC的形狀，并說(shuō)明理由7.已知BE，CF是ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，試確定AP與AQ的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系8. 在RtABC中，ACBC，ACB90，D是AC的中點(diǎn)，DGAC交AB于點(diǎn)G.（1）如圖1，E為線段DC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F在線段DG上，且DE=DF，連

19、結(jié)EF與 CF，過(guò)點(diǎn)F作FHFC，交直線AB于點(diǎn)H求證：DG=DC判斷FH與FC的數(shù)量關(guān)系并加以證明（2）若E為線段DC的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F在射線DG上，(1)中的其他條件不變，借助圖2畫出圖形。在你所畫圖形中找出一對(duì)全等三角形，并判斷你在(1)中得出的結(jié)論是否發(fā)生改變（本小題直接寫出結(jié)論，不必證明）30、如圖，AD/BC，AD=BC，AEAD，AFAB，且AE=AD，AF=AB，求證：AC=EF1.直線CD經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)C，CA=CBE、F分別是直線CD上兩點(diǎn)，且（1）若直線CD經(jīng)過(guò)的內(nèi)部，且E、F在射線CD上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問(wèn)題：如圖1，若，則 （填“”，“”或“”號(hào)）；如圖2，若，若使中

20、的結(jié)論仍然成立，則 與 應(yīng)滿足的關(guān)系是 ；（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過(guò)的外部，請(qǐng)?zhí)骄縀F、與BE、AF三條線段的數(shù)量關(guān)系，并給予證明ABCEFDDABCEFADFCEB圖1圖2圖32.已知：如圖，四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB 于E，且B+D=180，求證：AE=AD+BE 3.操作：如圖，ABC是正三角形，BDC是頂角BDC120的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點(diǎn)，連接MN探究：線段BM、MN、NC之間的關(guān)系，并加以證明4如圖，已知E是正方形ABCD的邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，且DAE=FAE求證：AF=AD-CF5如圖所示，已知ABC

21、中，AB=AC，D是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，ADB=60，E是AD上一點(diǎn)，且DE=DB，求證：AC=BE+BC6、在ABC中，BD=DC，EDDF求證：BECFEF旋轉(zhuǎn)已知，如圖，三角形ABC是等腰直角三角形，ACB=90，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，分別過(guò)點(diǎn)A、B作l的垂線，即ADCE，BECE，（1）如圖1，當(dāng)CE位于點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，求證：ADCCEB；（2）如圖2，當(dāng)CE位于點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，求證：ED=BE-AD；（3）如圖3，當(dāng)CE在ABC的外部時(shí)，試猜想ED、AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)專題：證明題；探究型分析：（1）利用同角的余角相等得出CAD=B

22、CE，進(jìn)而根據(jù)AAS證明ADCCEB（2）根據(jù)AAS證明ADCCEB后，得其對(duì)應(yīng)邊相等，進(jìn)而得到ED=BE-AD（3）根據(jù)AAS證明ADCCEB后，得DC=BE，AD=CE，又有ED=CE+DC，進(jìn)而得到ED=AD+BE解答：（1）證明：ADCE，BECE，ADC=CEB=90ACD+ECB=90，CAD+ACD=90，CAD=BCE（同角的余角相等）在ADC與CEB中 ADC=CEB CAD=BCE AC=BC ，ADCCEB（AAS）（2）證明：ADCE，BECE，ADC=CEB=90ACD+ECB=90，CAD+ACD=90，CAD=BCE（同角的余角相等）在ADC與CEB中 ADC=C

23、EB CAD=BCE AC=BC ，ADCCEB（AAS）DC=BE，AD=CE又ED=CD-CE，ED=BE-AD（3）ED=AD+BE證明：ADCE，BECE，ADC=CEB=90ACD+ECB=90，CAD+ACD=90，CAD=BCE（同角的余角相等）在ADC與CEB中 ADC=CEB CAD=BCE AC=BC ，ADCCEB（AAS）DC=BE，AD=CE又ED=CE+DC，ED=AD+BE點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行等量交換，證明線段之間的數(shù)量關(guān)系，這是一種很重要的方法，注意掌握3.如圖1、圖2、圖3，AOB，COD均是等腰直角三角形，A

24、OBCOD90，（1）在圖1中，AC與BD相等嗎，有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由。（2）若COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，到達(dá)圖2的位置，請(qǐng)問(wèn)AC與BD還相等嗎，還具有那種位置關(guān)系嗎？為什么？ （3）若COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，到達(dá)圖3的位置，請(qǐng)問(wèn)AC與BD還相等嗎？還具有上問(wèn)中的位置關(guān)系嗎？為什么？考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形分析：（1）根據(jù)等腰三角形的兩腰相等進(jìn)行解答（2）證明DOBCOA，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行說(shuō)明解答：解：（1）相等在圖1中，AOB，COD均是等腰直角三角形，AOB=COD=90，OA=OB，OC=OD，0A-0C=0B-OD

25、，AC=BD；（2）相等在圖2中，0D=OC，DOB=COA，OB=OA，DOBCOA，BD=AC點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中要注意哪些量是不變的，找出圖形中的對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角4.（2008河南）（9分）復(fù)習(xí)“全等三角形”的知識(shí)時(shí)，老師布置了一道作業(yè)題：“如圖，已知在ABC中，AB=AC，P是ABC內(nèi)部任意一點(diǎn)，將AP繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AQ，使QAP=BAC，連接BQ、CP，則BQ=CP”小亮是個(gè)愛(ài)動(dòng)腦筋的同學(xué)，他通過(guò)對(duì)圖的分析，證明了ABQACP，從而證得BQ=CP之后，將點(diǎn)P移到等腰三角形ABC之外，原題中的條件不變，發(fā)現(xiàn)“BQ=CP”仍然成立

26、，請(qǐng)你就圖給出證明考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)專題：證明題；探究型分析：此題的兩個(gè)小題思路是一致的；已知QAP=BAC，那么這兩個(gè)等角同時(shí)減去同一個(gè)角（2題是加上同一個(gè)角），來(lái)證得QAB=PAC；而根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：AP=AQ，且已知AB=AC，即可由SAS證得ABQACP，進(jìn)而得出BQ=CP的結(jié)論解答：證明：（1）QAP=BAC，QAP-BAP=BAC-BAP，即QAB=CAP；在BQA和CPA中， AQ=AP QAB=CAP AB=AC ，BQACPA（SAS）；BQ=CP（2）BQ=CP仍然成立，理由如下：QAP=BAC，QAP+PAB=BAC+PAB，即QAB=PAC

27、；在QAB和PAC中， AQ=AP QAB=PAC AB=AC ，QABPAC（SAS），BQ=CP點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)；選擇并利用三角形全等是正確解答本題的關(guān)鍵5.（2009山西太原）將一張透明的平行四邊形膠片沿對(duì)角線剪開，得到圖中的兩張三角形膠片和且。將這兩張三角形膠片的頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合，把繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，這時(shí)與相交于點(diǎn)當(dāng)旋轉(zhuǎn)至如圖位置，點(diǎn)，在同一直線上時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系是 當(dāng)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖位置時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？AO與DO存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)專題：探究型分析：（1）根據(jù)外角的性質(zhì)，得AFD=

28、D+ABC，DCA=A+ABC，從而得出AFD=DCA；（2）成立由ABCDEF，可證明ABF=DEC則ABFDEC，從而證出AFD=DCA；（3）BOAD由ABCDEF，可證得點(diǎn)B在AD的垂直平分線上，進(jìn)而證得點(diǎn)O在AD的垂直平分線上，則直線BO是AD的垂直平分線，即BOAD解答：解：（1）AFD=DCA（或相等）（2）AFD=DCA（或成立），理由如下：方法一：由ABCDEF，得AB=DE，BC=EF（或BF=EC），ABC=DEF，BAC=EDFABC-FBC=DEF-CBF，ABF=DEC在ABF和DEC中， AB=DE ABF=DEC BF=EC ABFDEC，BAF=EDCBAC-

29、BAF=EDF-EDC，F(xiàn)AC=CDFAOD=FAC+AFD=CDF+DCA，AFD=DCA方法二：連接AD同方法一ABFDEC，AF=DC由ABCDEF，得FD=CA在AFDDCA， AF=DC FD=CA AD=DA AFDDCA，AFD=DCA（3）如圖，BOAD方法一：由ABCDEF，點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，得BAC=BDF，BA=BD點(diǎn)B在AD的垂直平分線上，且BAD=BDAOAD=BAD-BAC，ODA=BDA-BDF，OAD=ODAOA=OD，點(diǎn)O在AD的垂直平分線上直線BO是AD的垂直平分線，BOAD方法二：延長(zhǎng)BO交AD于點(diǎn)G，同方法一，OA=OD在ABO和DBO中， AB=DB B

30、O=BO OA=OD ABODBO，ABO=DBO在ABG和DBG中， AB=DB ABG=DBG BG=BG ABGDBG，AGB=DGB=90BOAD點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握例1 正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求EAF的度數(shù).考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)分析：延長(zhǎng)EB使得BG=DF，易證ABGADF（SAS）可得AF=AG，進(jìn)而求證AEGAEF可得EAG=EAF，再求出EAG+EAF=90即可解題解答：解：延長(zhǎng)EB使得BG=DF，在ABG和ADF中，由 AB=AD ABG=

31、ADF=90 BG=DF ，可得ABGADF（SAS），DAF=BAG，AF=AG，又EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE，AEGAEF（SSS），EAG=EAF，DAF+EAF+BAE=90EAG+EAF=90，EAF=45答：EAF的角度為45點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形各內(nèi)角均為直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證EAG=EAF是解題的關(guān)鍵例2 D為等腰斜邊AB的中點(diǎn)，DMDN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。（1） 當(dāng)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF。（2） 若AB=2，求四邊形DECF的面積?？键c(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)

32、；等腰直角三角形專題：計(jì)算題分析：（1）連CD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CD平分ACB，CDAB，A=45，CD=DA，則BCD=45，CDA=90，由DMDN得EDF=90，根據(jù)等角的余角相等得到CDE=ADF，根據(jù)全等三角形的判定易得DCEADF，即可得到結(jié)論；（2）由DCEADF，則SDCE=SADF，于是四邊形DECF的面積=SACD，由而AB=2可得CD=DA=1，根據(jù)三角形的面積公式易求得SACD，從而得到四邊形DECF的面積解答：解：（1）連CD，如圖，D為等腰RtABC斜邊AB的中點(diǎn)，CD平分ACB，CDAB，A=45，CD=DA，BCD=45，CDA=90，DMDN，ED

33、F=90，CDE=ADF，（圖1）（圖2）（圖3）在DCE和ADF中， DCE=DAF DC=DA CDE=ADF ，DCEADF，DE=DF；（2）DCEADF，SDCE=SADF，四邊形DECF的面積=SACD，而AB=2，CD=DA=1，四邊形DECF的面積=SACD=1 2 CDDA=1 2 點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)1、已知四邊形中，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長(zhǎng)線）于當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖1），易證當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，在圖2和圖3這兩種情

34、況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明2、（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).(1)如圖,當(dāng)APB=45時(shí),求AB及PD的長(zhǎng);(2)當(dāng)APB變化,且其它條件不變時(shí),求PD的最大值,及相應(yīng)APB的大小.3、在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為外一點(diǎn)，且,BD=DC. 探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)Q與等邊的周長(zhǎng)L的關(guān)系圖1 圖2 圖3（I）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、

35、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ； 此時(shí) ； （II）如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，猜想（I）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明； （III） 如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AN=，則Q= （用、L表示）考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)分析：（1）由DM=DN，MDN=60，可證得MDN是等邊三角形，又由ABC是等邊三角形，CD=BD，易證得RtBDMRtCDN，然后由直角三角形的性質(zhì)，即可求得BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系 BM+NC=MN，此時(shí) QL =2 3 ；（2）在CN的延長(zhǎng)線上截取CM1=BM，連接DM1可證DBMDCM1，

36、即可得DM=DM1，易證得CDN=MDN=60，則可證得MDNM1DN，然后由全等三角形的性質(zhì)，即可得結(jié)論仍然成立；（3）首先在CN上截取CM1=BM，連接DM1，可證DBMDCM1，即可得DM=DM1，然后證得CDN=MDN=60，易證得MDNM1DN，則可得NC-BM=MN解答：解：（1）如圖1，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系 BM+NC=MN此時(shí) Q L =2 3 （2分）理由：DM=DN，MDN=60，MDN是等邊三角形，ABC是等邊三角形，A=60，BD=CD，BDC=120，BDC=DCB=30，MBD=NCD=90，DM=DN，BD=CD，RtBDMRtCDN，BDM=CDN=3

37、0，BM=CN，DM=2BM，DN=2CN，MN=2BM=2CN=BM+CN；AM=AN，AMN是等邊三角形，AB=AM+BM，AM：AB=2：3，Q L =2 3 ；（2）猜想：結(jié)論仍然成立 （3分）證明：在CN的延長(zhǎng)線上截取CM1=BM，連接DM1（4分）MBD=M1CD=90，BD=CD，DBMDCM1，DM=DM1，MBD=M1CD，M1C=BM，MDN=60，BDC=120，M1DN=MDN=60，MDNM1DN，MN=M1N=M1C+NC=BM+NC，AMN的周長(zhǎng)為：AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC，Q L =2 3 ；（3）證明：在CN上截取CM1=BM，連接

38、DM1（4分）可證DBMDCM1，DM=DM1，（5分）可證CDN=MDN=60，MDNM1DN，MN=M1N，（7分）NC-BM=MN（8分）點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形，直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的作法 例8（2005年馬尾）用兩個(gè)全等的等邊三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD.把一個(gè)含60角的三角尺與這個(gè)菱形疊合，使三角尺的60角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，兩邊分別與AB，AC重合.將三角尺繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).（1）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)時(shí)，（如圖131），通過(guò)觀

39、察或測(cè)量BE，CF的長(zhǎng)度，你能得出什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，F(xiàn)時(shí)（如圖132），你在（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；三角形的面積；全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分析：（1）利用全等三角形的判定得出ABEACF即可得出答案；（2）根據(jù)已知可以得出BAE=CAF，進(jìn)而求出ABEACF即可；（3）利用四邊形AECF的面積S=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC求出即可解答：解：（1）得出結(jié)論是：BE=CF，證明：BAC=EAF=60，BAC-EAC=EAF-EAC，即：BAE=CAF，又AB

40、=AC，ABE=ACF=60， BAE=CAF AB=AC ABE=ACF ，ABEACF（ASA），BE=CF，（2）還成立，證明：BAC=EAF=60，BAC+EAC=EAF+EAC，即BAE=CAF，又AB=AC，ABE=ACF=60，即 BAE=CAF AB=AC ABE=ACF ，ABEACF（ASA），BE=CF，（3）證明：ABEACF，SABE=SACF，四邊形AECF的面積S=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC；而SABC=1 2 S菱形ABCD，S=1 2 S菱形ABCD點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定以及四邊形面積，熟練利用全等三角形判定求出是解題關(guān)鍵解

41、：（1）BE=CF. 證明：在ABE和ACF中， BAE+EAC=CAF+EAC=60， BAE=CAF.AB=AC，B=ACF=60，ABEACF（ASA）. BE=CF. （2）BE=CF仍然成立. 根據(jù)三角形全等的判定公理，同樣可以證明ABE和ACF旋轉(zhuǎn)型FEDCABGH1、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，G為CD邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G與C、D不重合）， 以CG為一邊向正方形ABCD外作正方形GCEF，連接DE交BG的延長(zhǎng)線于H。求證： BCGDCE BHDE考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)專題：動(dòng)點(diǎn)型分析：（1）根據(jù)正方形的邊的性質(zhì)和直角可通過(guò)SAS判定BCG

42、DCE，從而利用全等的性質(zhì)得到BGC=DEC；（2）連接BD，解題關(guān)鍵是利用垂直平分線的性質(zhì)得出BD=BE，從而找到BD= 2，CE=BE-BC= 2 -1，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可解答：解：（1）證明：四邊形ABCD、GCEF都是正方形，BC=DC，BCG=DCE=90，GC=ECBCGDCE（3分）BGC=DEC（4分）（2）連接BD如果BH垂直平分DE，則有BD=BE（6分）BC=CD=1，BD= 2 （8分）CE=BE-BC= 2 -1（9分）CG=CE= 2 -1即當(dāng)CG= 2 -1時(shí)，BH垂直平分DE（10分）點(diǎn)評(píng)：此題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和線段的垂直平分線的

43、性質(zhì)等幾何知識(shí)線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等特殊圖形的特殊性質(zhì)要熟練掌握2、兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線上，連結(jié)DC（1）請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說(shuō)明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）；（2）證明：DCBE考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形專題：證明題圖1圖2DCEAB分析：（1）此題根據(jù)ABC與AED均為等腰直角三角形，容易得到全等條件證明ABEACD；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論和已知條件可以證明DCBE 解答：證明：（1）ABC與AED均為等腰直角三角形，AB=AC，AE=AD，BAC

44、=EAD=90BAC+CAE=EAD+CAE即BAE=CAD，在ABE與ACD中，AB=ACBAE=CADAE=ADABEACD（2）ABEACD，ACD=ABE=45又ACB=45，BCD=ACB+ACD=90DCBE點(diǎn)評(píng)：此題是一個(gè)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，利用全等三角形的性質(zhì)與判定來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是理解題意，得到所需要的已知條件3、（1）如圖7，點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結(jié)AC和BD，相交于點(diǎn)E，連結(jié)BC求AEB的大?。籆BOD圖7AEBAODCE圖8（2）如圖8，OAB固定不動(dòng)，保持OCD的形狀和大小不變，將OCD繞著點(diǎn)O

45、旋轉(zhuǎn)（OAB和OCD不能重疊），求AEB的大小.4、如圖，AEAB，ADAC，AB=AE，B=E，求證：（1）BD=CE；（2）BDCE證明：（1）AEAB，ADAC BAE=CADBAD=CAE而AB=AE，B=E， ABDAECBD=CE （2）由ABDAEC知B=E 而AGB=EGF，EFG=EAB=90，BDCE如圖，點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連接AC和BD，相交于點(diǎn)E，連接BC求AEB的大小考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)專題：計(jì)算題分析：由于BOC和ABO都是等邊三角形，可得OD=DC=OC=OB=

46、OA，進(jìn)而求出BDA與CAD的大小及關(guān)系，則可求解AEB解答：解：DOC和ABO都是等邊三角形，且點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，OD=DC=OC=OB=OA，ACDDBA，BDA=CAD又BDA+OBD=BOA=60，而ODB=OBD，BDA=30CAD=30AEB=BDA+CAD，AEB=60點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)；可圍繞結(jié)論尋找全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)判定線段相等，求得角的度數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵答題：yeyue5、如圖所示，已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求證： （1）EC=BF；（2）ECBFAEBMCF6、 正方形ABCD中，E為BC

47、上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求EAF的度數(shù).考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)分析：延長(zhǎng)EB使得BG=DF，易證ABGADF（SAS）可得AF=AG，進(jìn)而求證AEGAEF可得EAG=EAF，再求出EAG+EAF=90即可解題解答：解：延長(zhǎng)EB使得BG=DF，在ABG和ADF中，由 AB=AD ABG=ADF=90 BG=DF ，可得ABGADF（SAS），DAF=BAG，AF=AG，又EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE，AEGAEF（SSS），EAG=EAF，DAF+EAF+BAE=90EAG+EAF=90，EAF=45答：EAF的角度為45點(diǎn)

48、評(píng)：本題考查了正方形各內(nèi)角均為直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證EAG=EAF是解題的關(guān)鍵7、D為等腰斜邊AB的中點(diǎn)，DMDN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。當(dāng)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF。若AB=2，求四邊形DECF的面積。10、如圖，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，ABC=AED=90，求五邊形ABCDE的面積考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)專題：應(yīng)用題分析：可延長(zhǎng)DE至F，使EF=BC，可得ABCAEF，連AC，AD，AF，可將五邊形ABCDE的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)ADF的面積，進(jìn)而求出結(jié)論解答：解：延長(zhǎng)DE至F，使EF=BC，連AC，

49、AD，AF，AB=CD=AE=BC+DE，ABC=AED=90，CD=EF+DE=DF，在RtABC與RtAEF中， AB=AE ABC=AEF BC=EF RtABCRtAEF（SAS），AC=AF，在ACD與AFD中， AC=AF CD=DF AD=AD ACDAFD（SSS），SABCDE=2SADF=21 2 DFAE=21 2 22=4點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及三角形面積的計(jì)算，應(yīng)熟練掌握五、旋轉(zhuǎn)例1 正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求EAF的度數(shù). 將三角形ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，至三角形ABG則GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=A