相似理論與因次分析ppt課件

1、 流體力學(xué)的研究方法中實驗研究既是理論分析的依據(jù)，同時也是檢驗理論的準(zhǔn)繩，具有很重要的作用。 本章將探討其理論基礎(chǔ)： 相似理論 因次分析 為使模型流動能表現(xiàn)出實型流動的主要現(xiàn)象和特性，并從模型流動上預(yù)測出實型流動的結(jié)果，就必須使兩者在流動上相似，即兩個互為相似流動的對應(yīng)部位上對應(yīng)物理量都有一定的比例關(guān)系。 具體來說，兩相似流動應(yīng)幾何相似 、運動相似、 動力相似 。兩流動相似應(yīng)滿足兩流動相似應(yīng)滿足的條件的條件 定義： 兩流動的對應(yīng)邊長成同一比例，對應(yīng)角相等。 引入尺度比例系數(shù) 進(jìn)而，面積比例系數(shù) 體積比例系數(shù)Cllkpml2lpmAkAAk3lpmVkVVk模型流動用下標(biāo)模型流動用下標(biāo)m m表示

2、表示原型流動用下標(biāo)原型流動用下標(biāo)p p表示表示 定義：兩流動的對應(yīng)點上的流體速度矢成同一比例。 引入速度比例系數(shù)由于 因此 運動相似建立在幾何相似基礎(chǔ)上，那么運動相似只需確定時間比例系數(shù) 就可以了。運動相似也就被稱之為時間相似。Cvvkpmvmmmtlv/ppptlv/tlppmmvkktltlktkpmtttk 如：如：kv=klkt-1 kv=klkt-1 ka=klkt-2 ka=klkt-2 k k=kt-1 =kt-1 k k=kl2kt-1 =kl2kt-1 kq=kl3kt-1 kq=kl3kt-1 的單位是m2/sq的單位是m3/t 定義：兩流動的對應(yīng)部位上同名力矢成同一比例。

3、引入力比例系數(shù) 也可寫成 力學(xué)物理量的比例系數(shù)可以表示為密度、尺度、速度比例系數(shù)的不同組合形式，如：力矩M 壓強p功率N 動力粘度CFFkpmF2223)(vltllamFkkkkkkkkkk 23vlpmMkkkFlFlk 321vltMNkkkkkk 2vAFpmpkkkkppk vlkkkk 綜上所述，要使模型流動和原型流動相綜上所述，要使模型流動和原型流動相似，需要兩者在時空相似的條件下受力相似，需要兩者在時空相似的條件下受力相似。似。 動力相似受力相似用相似準(zhǔn)則相動力相似受力相似用相似準(zhǔn)則相似準(zhǔn)數(shù)的形式來表示，即：要使模型流似準(zhǔn)數(shù)的形式來表示，即：要使模型流動和原型流動動力相似，需要

4、這兩個流動動和原型流動動力相似，需要這兩個流動在時空相似的條件下各相似準(zhǔn)則都相等。在時空相似的條件下各相似準(zhǔn)則都相等。1 Strouhal 1 Strouhal 相似準(zhǔn)數(shù)相似準(zhǔn)數(shù) Sr=l/vtSr=l/vt 表示時變慣性力和位變慣性力之比，反映了流體運動表示時變慣性力和位變慣性力之比，反映了流體運動隨時間變化的情況隨時間變化的情況2 Froude 2 Froude 相似準(zhǔn)數(shù)相似準(zhǔn)數(shù) Fr=v2/glFr=v2/gl 表示慣性力和重力之比，反映了流體流動中重力所起表示慣性力和重力之比，反映了流體流動中重力所起的影響程度的影響程度3 Euler 3 Euler 相似準(zhǔn)數(shù)相似準(zhǔn)數(shù) Eu=p/Eu=

5、p/v2v2 表示壓力和慣性力的比值表示壓力和慣性力的比值4 Renolds 4 Renolds 相似準(zhǔn)數(shù)相似準(zhǔn)數(shù) Re=vl/Re=vl/= = vl/vl/ 表示慣性力和粘性力之比表示慣性力和粘性力之比5 Mach 5 Mach 相似準(zhǔn)數(shù)相似準(zhǔn)數(shù) Ma=v/cMa=v/c 表示彈性力和慣性力之比，表示彈性力和慣性力之比，c c為聲速，反映了流動的為聲速，反映了流動的壓縮程度壓縮程度 描述流體運動和受力關(guān)系的是流體運動微分方程，兩流動要滿足相似條件就必須同時滿足該方程，下面是模型流動和原型流動不可壓縮流動的運動微分方程在x方向上的分量形式: (1) (2) 所有的同類物理量均具有各自的同一比

6、例系數(shù)，有如下關(guān)系式： xm=xpkl ym=ypkl zm=zpkl vxm=vxpkv vym=vypkv vzm=vzpkv tm=tpkt m=pk m=pk pm=ppkp fm=fpkf xmmmmxmmxmzmmxmymmxmxmmxmvxpfzvvyvvxvvtv1xppppxppxpzppxpyppxpxppxpvxpfzvvyvvxvvtv1從左到右分別表示單位質(zhì)量的時變慣性力、位變慣性力、從左到右分別表示單位質(zhì)量的時變慣性力、位變慣性力、質(zhì)量力、壓力和摩擦力，（質(zhì)量力、壓力和摩擦力，（3 3式表示模型流動和原型流式表示模型流動和原型流動的力多邊形相似。動的力多邊形相似。

7、用用3 3中的位變慣性力項除全式，得到中的位變慣性力項除全式，得到 （4 4） （4 4式表示模型流動和原型流動在滿足動力相似時各比式表示模型流動和原型流動在滿足動力相似時各比例系數(shù)之間有一個約束，對各項進(jìn)一步分析得到以下相例系數(shù)之間有一個約束，對各項進(jìn)一步分析得到以下相似準(zhǔn)則似準(zhǔn)則22lvlpglvtvkkkkkkkkkkkvlvpvglvtlkkkkkkkkkkkk221 綜上所述，動力相似可以用相似準(zhǔn)數(shù)表示，若原型和模型流動動力相似，各同名相似準(zhǔn)數(shù)均相等，如果滿足則稱為完全的動力相似。但是事實上，不是所有的相似準(zhǔn)數(shù)之間都是相容的，滿足了甲，不一定就能滿足乙。如果所有的相似準(zhǔn)數(shù)都相等，意味

8、著各比例系數(shù)均等于1，這實際上意味著模型流動和原型流動各對應(yīng)參數(shù)均相等，模型流動和原型流動就成為了相等流動。因此，要使兩者達(dá)到完全的動力相似，實際上辦不到，我們尋求的是主要動力相似。 要達(dá)到主要動力相似就應(yīng)該根據(jù)所研究或所需解決的原型流動的性質(zhì)來決定，如對于重力起支配作用的流動，選用Froude準(zhǔn)數(shù)為主要相似準(zhǔn)數(shù)決定性相似準(zhǔn)數(shù)），滿足Frm=Frp ，此外 管道流動，流體機(jī)械中的流動 ：Rem=Rep，Re數(shù)為決定性相似準(zhǔn)數(shù) 非定常流動：Srm=Srp，Sr數(shù)為決定性相似準(zhǔn)數(shù) 可壓縮流動：Mam=Map，Ma數(shù)為決定性相似準(zhǔn)數(shù) 總之，根據(jù)流動的性質(zhì)來選取決定性相似準(zhǔn)數(shù) 決定性相似準(zhǔn)數(shù)的定義：決

9、定性相似準(zhǔn)數(shù)的定義：對該性質(zhì)的流動以該決定性相似準(zhǔn)數(shù)來判斷是否對該性質(zhì)的流動以該決定性相似準(zhǔn)數(shù)來判斷是否滿足了主要動力相似。滿足了主要動力相似。 只要滿足了決定性相似準(zhǔn)數(shù)相等后，就滿足只要滿足了決定性相似準(zhǔn)數(shù)相等后，就滿足了主要動力相似，抓住了解決問題的實質(zhì)。了主要動力相似，抓住了解決問題的實質(zhì)。（留意：對于（留意：對于EuEu準(zhǔn)數(shù)而言，在其他相似準(zhǔn)數(shù)作為準(zhǔn)數(shù)而言，在其他相似準(zhǔn)數(shù)作為決定性相似準(zhǔn)數(shù)滿足相等時，決定性相似準(zhǔn)數(shù)滿足相等時， EuEu準(zhǔn)數(shù)同時可準(zhǔn)數(shù)同時可以滿足）以滿足）1 1 模型流動設(shè)計模型流動設(shè)計 設(shè)計模型流動，要使之成為原型流動的相設(shè)計模型流動，要使之成為原型流動的相似流動，原

10、則上要滿足幾何相似、運動相似似流動，原則上要滿足幾何相似、運動相似和主要動力相似。具體設(shè)計時，首先要考慮和主要動力相似。具體設(shè)計時，首先要考慮該流動性質(zhì)選擇決定性相似準(zhǔn)數(shù)，此外還要該流動性質(zhì)選擇決定性相似準(zhǔn)數(shù)，此外還要考慮實驗規(guī)模和實驗室的條件以及實驗時所考慮實驗規(guī)模和實驗室的條件以及實驗時所采用的流體是否與原型流動中的流體相同且采用的流體是否與原型流動中的流體相同且是否同一溫度等因素。是否同一溫度等因素。2 2 數(shù)據(jù)換算數(shù)據(jù)換算 從模型流動實驗中測定的各個數(shù)據(jù)不能直從模型流動實驗中測定的各個數(shù)據(jù)不能直接用到原型流動中去，需要用到數(shù)據(jù)換算。接用到原型流動中去，需要用到數(shù)據(jù)換算。由模型流動中已確

11、定的一些比例系數(shù)以及物由模型流動中已確定的一些比例系數(shù)以及物理量之間的關(guān)系來確定其他一些比例系數(shù)，理量之間的關(guān)系來確定其他一些比例系數(shù)，這樣，原型流動中所要獲得的數(shù)據(jù)就等于模這樣，原型流動中所要獲得的數(shù)據(jù)就等于模型流動中的相應(yīng)數(shù)據(jù)除以對應(yīng)的比例系數(shù)。型流動中的相應(yīng)數(shù)據(jù)除以對應(yīng)的比例系數(shù)。 例1 有一轎車，高h(yuǎn)=1.5m，在公路上行駛，設(shè)計時速v=108km/h，擬通過風(fēng)洞中模型實驗來確定此轎車在公路上以此速行駛時的空氣阻力。已知該風(fēng)洞系低速全尺寸風(fēng)洞(kl=2/3)，并假定風(fēng)洞試驗段內(nèi)氣流溫度與轎車在公路上行駛時的溫度相同，試求：風(fēng)洞實驗時，風(fēng)洞實驗段內(nèi)的氣流速度應(yīng)安排多大？ 解： 首先根據(jù)流

12、動性質(zhì)確定決定性相似準(zhǔn)數(shù)，這里選取Re作為決定性相似準(zhǔn)數(shù)，Rem=Rep，即kvkl/k=1， 再根據(jù)決定型相似準(zhǔn)數(shù)相等，確定幾個比例系數(shù)的相互約束關(guān)系，這里k=1，所以 kv=kl-1，由于kl=lm/lp=2/3，那么kv=vm/vp=1/kl=3/2 最后得到風(fēng)洞實驗段內(nèi)的氣流速度應(yīng)該是 vm=vpkv=1083/2=162km/h=45m/s 例2 在例1中，通過風(fēng)洞模型實驗，獲得模型轎車在風(fēng)洞實驗段中的風(fēng)速為45m/s時，空氣阻力為1000N，問：此轎車以108km/h的速度在公路上行駛時，所受的空氣阻力有多大？ 解：在設(shè)計模型時，定下 k=1 kl=2/3 kv=3/2 在相同的流

13、體和相同的溫度時，流體密度比例系數(shù)k=1，那么力比例系數(shù) kF= k kl2 kv2=1(2/3)2(3/2)2=1 因此，該轎車在公路上以108km/h的速度行駛所遇到的空氣阻力 Fp=Fm/kF=1000/1=1000N 一 因次分析的基本概念二 因次和諧性原理三 布金漢Buckingham）定理 1 因次因次 是物理量的單位種類，又稱量剛，如長度、寬度、高是物理量的單位種類，又稱量剛，如長度、寬度、高度、深度、厚度等都可以用米、英寸、公尺等不同單位度、深度、厚度等都可以用米、英寸、公尺等不同單位來度量，但它們屬于同一單位，即屬于同一單位量綱來度量，但它們屬于同一單位，即屬于同一單位量綱（

14、長度量綱），用（長度量綱），用L表示。表示。2 基本因次基本因次 導(dǎo)出因次導(dǎo)出因次 基本因次是具有獨立性的因次，在流體力學(xué)領(lǐng)域中有基本因次是具有獨立性的因次，在流體力學(xué)領(lǐng)域中有三個基本因次：長度因次三個基本因次：長度因次L 時間因次時間因次T 質(zhì)量因次質(zhì)量因次M 導(dǎo)出因次由基本因次組合表示，如導(dǎo)出因次由基本因次組合表示，如 加速度的因次加速度的因次 a=LT-2 力的因次力的因次 F=ma=MLT-2 任何物理量任何物理量B的因次可寫成的因次可寫成B=MLT用 表示物理量的量綱，用（ ）表示物理量的單位3 基本量基本量 導(dǎo)出量導(dǎo)出量 一個物理問題中諸多的物理量分成基本物理量根本一個物理問題中諸

15、多的物理量分成基本物理量根本量和其他物理量導(dǎo)出量），后者可由前者通過某種量和其他物理量導(dǎo)出量），后者可由前者通過某種關(guān)系到除，前者互為獨立的物理量?；玖總€數(shù)取基本關(guān)系到除，前者互為獨立的物理量?；玖總€數(shù)取基本因次個數(shù)，所取定的基本量必須包括三個基本因因次個數(shù)，所取定的基本量必須包括三個基本因次在內(nèi)，次在內(nèi)，這就是選取基本量的原則。這就是選取基本量的原則。 如如、v 、l可以構(gòu)成一組基本量，包含了可以構(gòu)成一組基本量，包含了L 、M 、T這三個基本量綱，而這三個基本量綱，而a 、v 、l就不能構(gòu)成基本量，因為不就不能構(gòu)成基本量，因為不包含基本因次包含基本因次M4 無因次量無因次量 指該物理量的

16、因次為指該物理量的因次為1，用，用L0M0T0表示，實際是一表示，實際是一個個數(shù)，但與單純的數(shù)不一樣，它是幾個物理量組合而成的數(shù)，但與單純的數(shù)不一樣，它是幾個物理量組合而成的綜合物理量，如前面講過的相似準(zhǔn)數(shù)綜合物理量，如前面講過的相似準(zhǔn)數(shù) 1Re121TLLLTvl11TLTLvtlSr 因次和諧性原理又被稱為因次一致性原理，也叫因次齊次性原理，指一個物理現(xiàn)象或一個物理過程用一個物理方程表示時，方程中每項的因次應(yīng)該是和諧的、一致的、齊次的。 一個正確的物理方程，式中的每項的因次應(yīng)該一樣，以能量方程為例 方程左邊各項的因次從左到右依次為 、 Cgvgpz22LLLTMLTML2321LLTTL2

17、22 對于某個物理現(xiàn)象或過程，如果存在有對于某個物理現(xiàn)象或過程，如果存在有n n個變量互為個變量互為函數(shù)關(guān)系，函數(shù)關(guān)系， f(a1,a2, an)=0f(a1,a2, an)=0而這些變量含有而這些變量含有m m個基本因次，可把這個基本因次，可把這n n個變量轉(zhuǎn)換成為個變量轉(zhuǎn)換成為有有(n-m)=i(n-m)=i個無因次量的函數(shù)關(guān)系式個無因次量的函數(shù)關(guān)系式 F(F(1,1,2, 2, n-m)=0n-m)=0這樣可以表達(dá)出物理方程的明確的因次關(guān)系，并把方程這樣可以表達(dá)出物理方程的明確的因次關(guān)系，并把方程中的變量數(shù)減少了中的變量數(shù)減少了m m個，更為概括集中表示物理過程或個，更為概括集中表示物理

18、過程或物理現(xiàn)象的內(nèi)在關(guān)系。物理現(xiàn)象的內(nèi)在關(guān)系。 例 經(jīng)初步分析知道，在水平等直徑圓管道內(nèi)流體流動的壓降p與下列因素有關(guān)：管徑d、管長l、管壁粗糙度 、管內(nèi)流體密度、流體的動力粘度 ，以及斷面平均流速v有關(guān)。試用定理推出壓降p的表達(dá)形式。 解： 所求解問題的原隱函數(shù)關(guān)系式為 f(p, d, l, , , , v)=0 有量綱的物理量個數(shù)n=7，此問題的基本量綱有L、M 、T三個，m=3，按定理，這n個變量轉(zhuǎn)換成有n-m=4個無量綱量的函數(shù)關(guān)系式 F(1, 2, 3, 4)=0 從7個物理量中選出基本物理量3個，如取、d、v，而 其余物理量用基本物理量的冪次乘積形式表示 1=l1v 1d 1 2=

19、2v 2d 2 3=3v 3d 3 4= p4v 4d 4將上述表達(dá)式寫成量綱形式將上述表達(dá)式寫成量綱形式 1=L(ML-3) 1(LT-1) 1L 1=M0L0T （1） 2=L(ML-3) 2(LT-1) 2L 2=M0L0T0 （2） 3=ML-1T-1(ML-3) 3(LT-1) 3L 3=M0L0T0 （3） 4=ML-1T-2 (ML-3) 4(LT-1) 4L 4=M0L0T0 (4） 求解方程求解方程1） M: 1=0 T: 1=0 L: -3 1+ 1+ 1+1=0 1= -1所以所以 1=l/d求解方程求解方程2） M: 2=0 T: 2=0 L: 1-3 2+ 2+ 2=0 2= -1所以所以 2= /d求解方程求解方程3） M: 1+3=0 3= -1 T: -1-3=0 3= -1 L: -1-3 3+ 3+3=0 3= -1所以所以 3=/vd=1/Re求解方程求解方程4） M: 1+4=0 4= -1 T: -2-4=0 4= -2 L: -1-3 4+ 4+4=0 4= 0所以所以 4= p / v2因此，