高等數(shù)學(xué)b學(xué)習(xí)資料-4.3一階線性微分方程ppt課件

1、第三節(jié)第三節(jié) 一階線性微分方程一階線性微分方程)()(ddxQyxPxy 一階線性微分方程的規(guī)范方式一階線性微分方程的規(guī)范方式:, 0)( xQ當(dāng)當(dāng)稱為一階線性齊次微分方程稱為一階線性齊次微分方程.稱為一階線性非齊次微分方程稱為一階線性非齊次微分方程., 0)( xQ當(dāng)當(dāng)例如例如,dd2xyxy ,sindd2ttxtx , 32dd xyxyy, 1cosdd yxy線性的線性的;非線性的非線性的.關(guān)于未知函數(shù)關(guān)于未知函數(shù) y 及及其導(dǎo)數(shù)其導(dǎo)數(shù) y 是一次是一次的的. 0)(dd yxPxy,d)(dxxPyy ,d)(d xxPyy,lnd)(lnCxxPy 齊次方程的通解為齊次方程的通解

2、為.d)( xxPCey1、齊次線性微分方程、齊次線性微分方程一階線性微分方程的解法一階線性微分方程的解法:(運(yùn)用分別變量法運(yùn)用分別變量法)對(duì)應(yīng)齊次方程通解對(duì)應(yīng)齊次方程通解xxPeCyd)( 齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程一個(gè)特解非齊次方程一個(gè)特解 xxPCed)()()(ddxQyxPxy 用常數(shù)變易法用常數(shù)變易法: :,)()(d)( xxPexuxy那那么么 xxPeud)()(xP xxPeud)()(xQ 故原方程的通解故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)( CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)( y即即即即作變換作變換 xxPeuxPd)()( xxPex

3、Qxud)()(ddCxexQuxxP d)(d)(兩端積分得兩端積分得2、解非齊次方程、解非齊次方程.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ .cos1Cxx 解解例例1 1 Cxexxeyxxxxdsind1d1 Cxexxexxdsinlnln Cxxxdsin1 2ln0d)1(d)(1xyyxxxxyyx求求特特解解,1)(xxP ,11)( xxQ解解例例2 2,111, xyxy得得將將方方程程變變形形 Cxexeyxxxxd11d1d1d11lnlnCxexexx Cxxxxyd)1(1 Cxxxxd111 Cxxx1ln得得代代入入上

4、上式式將將,2ln,1 yx, 0 C.1ln xxxy所所求求特特解解為為 利用公式求解一階線性非齊次微分方程應(yīng)留意利用公式求解一階線性非齊次微分方程應(yīng)留意:1. 方程應(yīng)化為規(guī)范型方程應(yīng)化為規(guī)范型 ：正確選擇正確選擇 P(x) 和和 Q(x) .2. 公式中的不定積分不再加公式中的不定積分不再加C ., )()(ddxQyxPxy CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(3. e lnf(x) , e lnf(x) 等要化簡為等要化簡為 f (x) 或或.)(1xf.1sincos的通解的通解求微分方程求微分方程 xyxy,tan)(xxP ,sec)(xxQ 解解例例3 3,secta

5、n,xxyy 得得將方程變形將方程變形 Cxexeyxxxxdsecdtandtandsec)ln(sec)ln(secCxexexx dseccos2Cxxx tancosCxx xCxcossin .0d)ln(dln的的通通解解求求微微分分方方程程 yyxxyy例例4 4,ln1)(yyyP ,1)(yyQ 解解將方程改寫為將方程改寫為的函數(shù)的函數(shù)看作看作將將,yx,1lnddyyyxyx ,1ln1yxyyx 即即 Cyeyexyyyyyyd1dln1dln1 Cyeyexyyyyyyd1dln1dln1 Cyeyeyyd1lnlnlnln Cyyyydln1ln1 Cyy2)(ln2

6、1ln1 01)2sincos(1xyyyyx求特解求特解,cos)(yyP ,2sin)(yyQ 解解例例5 5,2sincos1dd,yyxxy 得得將將方方程程變變形形方程改寫為方程改寫為得函數(shù)得函數(shù)看作看作將將,yx,2sincosddyyxyx ,2sincosyyxx 即即得得代入上式代入上式將將,0,1 yx,3 C.3)1(sin2sin yeyx 所求特解為所求特解為 Cyeyexyyyyd2sindcosdcos Cyeyyeyy dcossin2sinsin Ceyeyy )(dsin2sinsincos2sin2sinsinsinCdyyeyeeyyy yCeysin)

7、1(sin2 230)(dyxxyx ,3yx 兩邊求導(dǎo)得兩邊求導(dǎo)得,32xyy 解解xyoxPQ3xy )(xfy 例例6 6 如下圖，平行于如下圖，平行于 軸的動(dòng)直線被曲軸的動(dòng)直線被曲 線線 與與 截下的線段截下的線段PQPQ之長數(shù)值上等于陰影部分的面積之長數(shù)值上等于陰影部分的面積, , 求曲求曲線線 . .y)(xfy )0(3 xxy)(xf)(0(3xxf xexCeyxxd3d2d, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲線為所求曲線為).222(32 xxeyx小結(jié)小結(jié)1.齊次線性微分方程齊次線性微分方程2. 非齊次線性微分方程非齊次線性微分方程0)( yx

8、Py;d)( xxPCey.)()2(d)(用用常常數(shù)數(shù)變變易易法法求求解解令令 xxPexuy)()(xQyxPy ;d)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP (1) 公式公式1 1、判別以下方程類型、判別以下方程類型: :xyyxyxyxdddd)1( 0d2d)()2(3 yxxxy0d)(d2)3(3 yxyxy提示提示: :xxyyydd1 可分別可分別 變量方程變量方程221dd2xyxxy 線性方程線性方程221dd2yxyyx 線性方程線性方程思索與練習(xí)思索與練習(xí)2、求一延續(xù)可導(dǎo)函數(shù)、求一延續(xù)可導(dǎo)函數(shù) f (x) 使其滿足以下方程使其滿足以下方程: .d)(sin)(0tt

9、xfxxfx 提示提示: :令令uufxxfxd)(sin)(0 那么那么有有xxfxfcos)()( 0)0( f利用公式可求出利用公式可求出).sin(cos21)(xexxxf txu 3、求微分方程、求微分方程 的通解的通解.yxyyyysin2sincoscos 解解yyxyyyxcossin2sincosdd ,tan2sinyxy ,2sin)(tanddyxyyx d2sincoslncosln Cyeyexyy Cyyyyydcoscossin2cos.cos2cosyCy 一、求微分方程的通解一、求微分方程的通解: :xexyysincos . . 二、求解二、求解: :

10、.45cot2cosdd xxxyyexy 三、設(shè)有一質(zhì)三、設(shè)有一質(zhì)的的量為量為 m質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)從速度等于零質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)從速度等于零 的時(shí)刻起的時(shí)刻起,有一個(gè)與運(yùn)動(dòng)方向一致有一個(gè)與運(yùn)動(dòng)方向一致,大小與時(shí)間成正大小與時(shí)間成正 比比(比例比例1k系數(shù)為系數(shù)為)的力作用于它的力作用于它,此外還受此外還受 一與速度成正比一與速度成正比(比例比例2k系數(shù)為系數(shù)為)的阻力作用的阻力作用,求質(zhì)求質(zhì) 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系 . 四、已知微分方程四、已知微分方程)(xgyy , ,其中其中 0,010,2)(xxxg, ,試求一連續(xù)函數(shù)試求一連續(xù)函數(shù))(xyy , ,滿滿 足條件足條件0)0( y, ,且在區(qū)間且在區(qū)間),0 滿足上述方程滿足上述方程 . . 練練 習(xí)習(xí) 題題練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、xeCxysin)( ； 二、二、1