彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)模型

1、自動控制原理綜合訓練項目題目：關(guān)于MSD系統(tǒng)控制的設(shè)計1設(shè)計任務(wù)及要求分析31.1初始條件32.2要求完成的任務(wù)31.3任務(wù)分析42系統(tǒng)分析及傳遞函數(shù)求解42.1系統(tǒng)受力分析42.2傳遞函數(shù)求解923系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的求解93. 用MATLAB對系統(tǒng)作開環(huán)頻域分析103.1開環(huán)系統(tǒng)波特圖103.2開環(huán)系統(tǒng)奈奎斯特圖及穩(wěn)定性判斷124. 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性各項指標的計算14總結(jié)16參考文獻17彈簧質(zhì)量阻尼器系統(tǒng)建模與頻率特性分析1設(shè)計任務(wù)及要求分析1.1初始條件已知機械系統(tǒng)如圖。y圖11機械系統(tǒng)圖1.2要求完成的任務(wù)(1) 推導傳遞函數(shù)Y(s)/X(s) , X(s)/P(s),(2) 給定m =

2、 0.2g,b> = 0.6N s/ink =8N/m,k = 5N/m > 以 p 為輸入u(t)(3) 用Matlab畫出開環(huán)系統(tǒng)的波特圖和奈奎斯特圖，并用奈奎斯特判據(jù) 分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(4) 求出開環(huán)系統(tǒng)的截止頻率、相角裕度和幅值裕度。(5) 對上述任務(wù)寫出完整的課程設(shè)計說明書，說明書中必須進行原理分 析，寫清楚分析計算的過程及其比較分析的結(jié)果，并包含Matlab源 程序或Simuliiik仿真模型，說明書的格式按照教務(wù)處標準書寫。1.3任務(wù)分析由初始條件和要求完成的主要任務(wù)，首先對給出的機械系統(tǒng)進行受力分析, 列出相關(guān)的微分方程，對微分方程做拉普拉斯變換，將初始條件屮給定

3、的數(shù)據(jù)代 入，即可得出Y(s)/X(s), X(s)/P(s)兩個傳遞函數(shù)。由于本系統(tǒng)是一個單位負 反饋系統(tǒng)，故求出的傳遞函數(shù)即為開環(huán)傳函。后在MATLAB中畫出開環(huán)波特圖 和奈奎斯特圖，由波特圖分析系統(tǒng)的頻率特性，并根據(jù)奈奎斯特判據(jù)判斷閉環(huán)系 統(tǒng)位于右半平而的極點數(shù)，由此可以分析出系統(tǒng)的穩(wěn)定性。最后再計算出系統(tǒng)的 截止頻率、相角裕度和幅值裕度，并進一步分析其穩(wěn)定性能。2系統(tǒng)分析及傳遞函數(shù)求解2.1系統(tǒng)受力分析單白由度有阻尼振系的力學模型如圖21所示，包括彈簧、質(zhì)量及阻尼器。 以物體的平衡位置0為原點，建立圖示坐標軸X。則物體運動微分方程為nix= exkx (2-1)C1T形式，為式中:-&

4、amp;為阻尼力，負號表示阻尼力方向與速度方向相反。2-1將上式寫成標準n)x+ cx+ kx = 0 (2-2 )令p3=-, 211 = -,則上式可簡化為inmx+2iix+ p2 = 0 (2-3)這就是有阻尼|由振動微分方程。它的解可取x=e其中s是待定常數(shù)。代入(2-1)式得(s + Zns+peHhO,要使所有時間內(nèi)上式都 能滿足，必須s2 + 2ns+p2=O,此即微分方程的特征方程，其解為勺二=-n ± Jif _ p? (2-4 )于是微分方程(2-1)的通解為x= C1e5lt + c2e5lt = e*(C刊 + c2丁円)(2-5 )式中待定常數(shù)5與c2決定

5、與振動的初始條件。振動系統(tǒng)的性質(zhì)決定于根式是實數(shù)、零、還是虛數(shù)。對應的根S與S2可以是不相等的負實根、相等的負實根或復根。若S】與S3為等根時，此時的阻尼系數(shù)值稱之為臨界阻尼系 數(shù)，記為Cc即cc=2mPo引進一個無量綱的量Q ,稱為相對阻尼系數(shù)或阻尼比。/ = n/ p = c/2mp= c/cc (2-6)當i】>p或：>1,根式屈二P7是實數(shù)，稱為過阻尼狀態(tài)，當nvp或<1,根式稱為臨界阻尼狀態(tài)。現(xiàn)圖22Jd-P?是虎數(shù),稱為弱阻尼狀態(tài)，當n=p,即<=1,分別討論三種狀態(tài)下的運動特性。1. 過阻尼狀態(tài)此時C >1，即- p vn, (b)式中S1及S2均為

6、負值,則0及尹是兩根下降的指數(shù)曲線,故(22)式所表示的是兩條指數(shù)曲線之和，仍按指數(shù)衰減.不是振 動。圖3-2所示為C!>c2,Ci<0時的情況。2. 臨界阻尼狀態(tài)此時/=1, (b)式中si=S2 = -n=-p,特征方程的根是重根，方程(21)的另一解將為te pt,故微分方程(2-1)的通解為 x= (Ci + c2t) e m (2-7)式中等號右邊第一項聲是一根下降的捋數(shù)曲線，第二項則可應用麥克勞林級 數(shù)展開成以下形式：c te_p* = 6 =§ (7-8)2_ 嚴 l/t+ p+ p?t/2!+pf/3!+ pV/n!從上式看出，當時間t增長時，第二項c?t

7、eF也趨近于零。因此(c)式表示的 運動也不是振動，也是一個逐漸回到半衡位置的非周期運動。3. 弱阻尼狀態(tài)此時p>ii,或了<1。利用歐拉公式e±7n,-P,t = e±vlp,-n,t _ 8s Jp2 -n2t ± i sill Jp2 -irt (2-9)可將(2-2)式改寫為x = e_n,(Ce”、Kt *= e-rt (D cosjplft + D2 sin y/p2-n2t)(21Q)或x= Ae-nl sin(7p2 -n2t + <p) (1-11)令Pd = JP? _，則x = Ae_rt siii(pdt 4-cp) (2

8、-12 )式中A與卩為待定常數(shù)，決定于初始條件。設(shè)t=0時，x=xo，x= Xq，則可求得A=Jx； + (匕勞俗叨(243)VPdXq+IIXo將A與卩代入(24)式，即可求得系統(tǒng)對初始條件的響應，由式(213)可知，系統(tǒng)振動己不再是等幅的簡諧振動，而是振幅被限制在曲線:Ae-rt之內(nèi)隨時間不斷衰減的衰減振動。如圖33所示。圖23這種衰減振動的固有圓頻率、固有頻率和周期分別為式中P、f、T是無阻尼自由振動的固有圓頻率、固有頻率和周期。由上可見，阻尼對自由振動的影響有兩個方面：一方面是阻尼使自由振動的 周期增大、頻率減小,但在一般工程問題中n都比P小得多，屈于小阻尼的情況。 例：=n/p=0.

9、05 時，fd=0.9990f,Td=1.00125T：而在=0.20 吋，fd=0.98f,Td=1.02T, 所以在阻尼比較小時，阻尼對系統(tǒng)的固有頻率和周期的影響可以略去不計，即可 以近似地認為有阻尼白由振動的頻率和周期與無阻尼由振動的頻率和周期相 等。另一方面，阻尼對丁系統(tǒng)振動振幅的影響非常顯著，阻尼使振幅隨著時間不 斷衰減，其順次各個振幅是：t=ti 時，Ai=Ae-°； t=ti+T°時，A2=AeM+Ti). t=ti+2Td 時，A3=Ae-+2T*),.o而相鄰兩振幅之比是個常數(shù)。即= Aj /= enia(2-16 )(2-17)式中H稱為減幅系數(shù)或振幅衰

10、減率，1】稱為衰減系數(shù)，n越大表示阻尼越大，振 幅衰減也越快。當：=0.05時，“ = 1.37, A2=Ai/1 37=0.73Ai，每一個周期內(nèi)振 幅減少27%,振幅按兒何級數(shù)衰減，經(jīng)過10次振動后,振幅將減小到初值的4.3%。 可見，衰減是非常顯著的。在工程上，通常取(2-6)式的口然對數(shù)以避免取指 數(shù)的不便，即5=Ln(Aj /A)|1) = nT式中6稱為對數(shù)減幅或?qū)?shù)衰減率。將入=2兀/臚左代入，得6 = 2加1 / Jp? _ n? =2開g/yjl-了(2-18)當 ：1時，62ti<(2-19)因為任意兩個相鄰的振幅之比是一個常數(shù)eTd,即沖見=釘 =釘0 =/事=en

11、“ = e*5故有A /= (A / A)(A /) g /»!)= e"因此對數(shù)減幅6也可表達為(2-20)此外，根據(jù)(3-6)式，可以用實測法來求得系統(tǒng)的阻尼系數(shù)。因為(223)(2-21)所以只要實測得出衰減振動的周期Td及相鄰兩次振幅內(nèi)和Aj+i，即可計算出系 統(tǒng)的阻尼系數(shù)C。根據(jù)彈贊和阻尼器的特性可得以下關(guān)系式:Fki (t)=kix(t),Fk2(t)=k2x(t) y(t),Fb2(t)=b2dy(t)/dt設(shè)不加p(t)時，質(zhì)量塊處于平衡狀態(tài)，此時x=0, y=0,即x(0)=0, y(0)=0, 根據(jù)受力平衡方程，在不計重力時，可得出以下方程：k2x(t)

12、-y(t)=b2ciy(t)/dt(2-22)乂根據(jù)牛頓第二定律，有方程：md-x(t)/dtJ=p(t)-Fki (t)-Fk2(t)-Fb2(t)2.2傳遞函數(shù)求解(1) 求Y/X：對式(21)進行拉普拉斯變換，得：k2X(s)-k2Y力嚴丫，化簡得傳遞函 數(shù)：Y /X(s)=k2/(b2s+k2)(2-24)(2) 求 X(s)/P(s)：對式(22)進行拉普拉斯變換，得：ms2X國一k】X一2k：X一丫, 并將式(23)代入可解得傳遞函數(shù)：X /P(s)=(b s+k?)/mb2 Y+mk?丘也(ki +2k?) s+ki k? (2-25)已知條件為：給定m = 0.2g,b2 =0

13、.6N*s/m,k1 =8N/m,k3 =5N/m ,設(shè) p(t)是輸入u(t)的階躍力。將所給參數(shù)代入傳遞函數(shù)式(23)和式(24)中，可求得具體的傳遞函數(shù)如下:Y(s)/X=5/(0.6s+5)(2-26 )X/P=(0.6s+5)/ (1.2*10A-4s3+10A-3s2+10.8s+40 )(2-27 )2.3系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的求解(1)對于 Y(s)/X(s)：由微分方程Y/X=5/(0.6s+5)可畫出單位負反饋系統(tǒng)方框結(jié)構(gòu)圖如下：X (s)5/(0.6s+5)故開環(huán)傳遞函數(shù)為：G(S) =5/(0.6s+5)(2)對于 X(s)/P(s)：由微分方程 ms2X二P(s)-klX

14、(s)-2k2X(s) -Y(s)及 Y(s)/X(s)=k2/(b2s+k2)可 畫出系統(tǒng)方框結(jié)構(gòu)圖如下：0.6s + 5P(s) .1.2 * 10_4s3 + 10_3s2 + 10.8s + 40 乂(寸 .故開環(huán)傳遞 G(s)=(0.6s + 5)/(1.2 * 10"4s3 + 10"3s2 + 10.8s + 40)3用MATLAB對系統(tǒng)作開環(huán)頻域分析3.1開環(huán)系統(tǒng)波特(1)對于 Y(s)/X(s)： G (s) =5/(0.6s + 5)畫波特圖時采用的MATLAB語句如下：» num=5 ;den=(0.6.5 );» margin(n

15、um,den)行結(jié)果如圖31%畫系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻、相頻特性運Bode DiagramGm = Inf, Pm = -180 deg (at 0 rad/s)2030mp) apnw10101010Frequency (rad/s>S3P) s£10圖3-1 Y(s)/X(s)的開環(huán)波特圖(2)對于 X(s)/P(s):G(s)= (0.6s + 5)/(1.2 * 104s3 + 103s2 + 10.8s + 40)畫波特圖時采用的MATLAB語句如下：» num=0.6,5;den=(1.2 * 104,103,10.8,401);%畫系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻、相頻特

16、性運» margin(iium,den)行結(jié)果如圖32所示:20Bode DiagramGm Inf dB (at Inf rad/s) t Pm - 15 7 deg (at 308 rad/s)20o £(gp)1010 10 10Frequency (rad/s)10(署)oseudo o 1 82020圖3-2 X(s)/P(s)的開環(huán)波特圖3.2開環(huán)系統(tǒng)奈奎斯特圖及穩(wěn)定性判斷(1) 對于 Y(s)/X(s)畫奈奎斯特圖時MATLAB語句如下:» num=5;» den=0.6,5;» nyquist(num,cien)運行結(jié)果如圖33

17、所示:Nyquist DiagramReal Axis8 -O5 4 3 2 1 <5 o cso.a.0. 型總t一2 3 4 5 -o.q q-0.圖3-3 Y (s) /X (s)開環(huán)奈奎斯特圖開環(huán)傳函G (S) =5/(0.6s+5),由于系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)不存在右半平面的極點,故P=0,3從0變到+ 8時，系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線不能包ffl(-l.jO)點周數(shù)N=0, 則系統(tǒng)位于右半半面的閉環(huán)極點數(shù)為:Z=P2N=,故系統(tǒng)是穩(wěn)定的。(2) 對于X/P(s)畫奈奎斯特圖時MATLAB語句如下:» num=0.6,5;» den=1.2 * 10一£ IO&

18、quot;3,10.&401;» nyquist(num,den)運行結(jié)果如圖34所示:圖34 X (s) /P (s)開壞奈奎斯特圖開環(huán)傳函 G3= (0.6s + 5)/(1.2 * 10"4s3 + 10一2 + 10.8s + 40),由于系 統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)不存在右半平面的極點，故P=0, 3從0變到+8時，系統(tǒng)的開 環(huán)幅相曲線不能包圍(-1, j0)點周數(shù)N=0,則系統(tǒng)位于右半平而的閉環(huán)極點數(shù) 為：Z=P2N=0,故系統(tǒng)是穩(wěn)定的。4.系統(tǒng)開環(huán)頻率特性各項指標的計算(1)對于 Y(s)/X(s)： G (S) =5/(0.6s+5)計算各項頻率指標時采用的M

19、A1TAB語句如下:» num=5 ; den=(0.6,5 );»in argin (num,den);»gm,pm,wcg,wq)=margin(num,den)計算幅值裕度gin(yo)、相位裕度pm( h()、穿越頻率wcg(o)r0)、截止頻率wcp(o)c0)。運行結(jié)果gn】 =Iiifpm = wcg =NaNwup =0由結(jié)果可知該系統(tǒng)幅值裕度為無窮，截止頻率為0,相位裕度為180是正值，故 系統(tǒng)穩(wěn)定。(2)對于 X(s)/P(s) :G(s)= (0.6s+5)/(1.2 * 10_4s3 + 10_3s2 + 10.8s + 40)計算各項頻率

20、指標時采用的MATLAB語句如下：» mim=0.6;den=(1.2*10A-4,10A-3,10.8,40) » margin(num5cien);»gin,pm,wcg,wcp=iiiargin(num,den)計算幅值裕度gm(y0)相位裕度pm(ho)、穿越頻率wcg(Dr0)截1上頻率wcp(wc0)o運行結(jié)果gm =Iiifpm =15.6933wcg =Iiifwcp =307.8588由結(jié)果可知該系統(tǒng)幅值裕度為無窮，截止頻率為3O8iad/s,相位裕度為15.7是正值，故系統(tǒng)穩(wěn)定?？偨Y(jié)木次課設(shè)是對一個彈贊質(zhì)量阻尼器系統(tǒng)建模并進行頻率特性分析。首先根據(jù)這個實際的機械系統(tǒng)的受