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文檔簡介

1、;要設(shè)計一個容量為V的長方形開口水箱，試問長方形的長、寬、高各等于多少時，其表面積最?。繛榇?，設(shè)水箱的長、寬、高分別為x,y,z，則表面積為S(x,y,z)=2(xz+yz)+xy.依題意，上述表面積函數(shù)的自變量不僅要符合定義域的要求xo,y0,z0）,而且還必須滿足條件xyz=V.這類附有約束條件的極值問題稱為條件極值問題.;在條件組的限制下，求目標(biāo)函數(shù)其拉格朗日函數(shù)是：)( ,2 ,1 ,0),(21nmmkxxxnk.的極值 ),(21nxxxfy),(2121mnxxxLmknkknxxxxxxf11121),( ),(.為拉格朗日常數(shù) , 其中21m;如今，我們重新回去解決水箱問題。

2、這時所求的問題的拉格朗日函數(shù)是：Lx,y,z, ）=2(xz+yz)+xy+ (xyz-V)對L求偏導(dǎo)數(shù), 并令它們都等于020202()00 xyzLzyyzLzxxzLxyxyLxyzV求方程組的解，解得此時，水箱的面積在約束條件下確實存在最小值33422 ,.2xyzVV 233 2SV;例：拋物面 被平面x+y+z=1 截成一個橢圓,求該橢圓到坐標(biāo)原點的最長和最短距離 . 解：設(shè)橢圓上一點的坐標(biāo)為x,y,z），所求問題即轉(zhuǎn)化為求在限制條件 與 下的極小值問題。 22xyz222, ,f x y zxyz( , , )10 x y zxyz 222221212( , , , , )()(1)Lx yzxyzxyzx y z ;解得由此可解決該問題.12121212

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