2019年11月6日考研第二章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件

1、第二章第二章導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分基本內(nèi)容基本內(nèi)容一、導(dǎo)數(shù)與微分的概念一、導(dǎo)數(shù)與微分的概念1導(dǎo)數(shù)定義：導(dǎo)數(shù)定義：0()fx 記記為為，0( ),yf xx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn) 的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義如如果果0000()()limlimxxf xxf xyxx 存存在在, ,0( )yf xx 則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)處處可可導(dǎo)導(dǎo)，并并稱稱這這個(gè)個(gè)極極限限值值00)im(l.xyxyf xx 為為在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)0( )f x 即即 0limxyx xxfxxfx )()(lim000也記作也記作0 x xy ，0ddxxxy 或或0d)(dxxxxf 其它形式其它形式.)()

2、(lim)(0000hxfhxfxfh .)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 0 xxy xyx 0limxxfxxfx )()(lim000也記作也記作，)(0 xf 0ddxxxy 或或0d)(dxxxxf (00)0( )(i)()l mu xu xuxxff x 即即 0()fx 0)00( )()li( )mxu xff xu xxu x 0()fx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,為右導(dǎo)數(shù)為右導(dǎo)數(shù)0 x0()fx000()()limxf xxf xx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,為左導(dǎo)數(shù)為左導(dǎo)數(shù)0 x0()fx000()()limxf xxf xx 2.左導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù)( )f x 可可導(dǎo)導(dǎo)

3、的的充充分分必必要要條條件件：000-()=()= ()=fxAf xfxA如如: :0yxx 在在處處是是否否可可導(dǎo)導(dǎo)？0yxx 在在處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)，0 x 因因?yàn)闉樗谠诘牡泥忇徲蛴騼?nèi)內(nèi)無(wú)無(wú)定定義義. .0yxx 又又如如: :在在處處有有定定義義, ,可可導(dǎo)導(dǎo)嗎嗎? ?00(0)(0)limlimxxyfxfxx 0lim1,xxx 0limxyx 不不存存在在，0limxxx 0lim1,xxx 0yxx 在在不不可可導(dǎo)導(dǎo). .3.導(dǎo)函數(shù)的定義：導(dǎo)函數(shù)的定義：若函數(shù)若函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間I I上每一點(diǎn)處都可導(dǎo)，上每一點(diǎn)處都可導(dǎo)， 則任意點(diǎn)處的則任意點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，叫導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)數(shù)，叫導(dǎo)

4、函數(shù).導(dǎo)函數(shù)的定義導(dǎo)函數(shù)的定義()0( )( )( )( )limu xu xfxu xf xf x 23( )ln1sin()()arctan (),( ).f xxaxaxfa 求求例例 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù): :23( )ln1sin()()arctan ()f aaaaaa 0,( )( )l( )imxaf xf aaafx 23ln1 sin() ()arctan () 0limxaxaxaxxa 23ln1 sin()()arctan ()limlimxaxaxaxaxxaxa 23sin()limlimarctan ()xaxaxaxxa 231 arctan ().a 解解4.可導(dǎo)與

5、連續(xù)的關(guān)系：可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：可導(dǎo)必連續(xù)，可導(dǎo)必連續(xù)， 連續(xù)不一定可導(dǎo)，連續(xù)不一定可導(dǎo)，必不可導(dǎo)必不可導(dǎo). .不連續(xù)不連續(xù)考慮考慮00(1)( )( )f xxfxx 函函數(shù)數(shù)在在 處處可可導(dǎo)導(dǎo), ,能能否否有有在在 處處連連續(xù)續(xù)？21cos,0:( ),0,0 xxf xxx 如如21(cos) ,00( ),0 xxxfxx ，0 x 在在處處可可導(dǎo)導(dǎo), ,且且( )0fxx 則則在在處處連連續(xù)續(xù)嗎嗎？112 cossin,0( )0,0 xxfxxxx 事事實(shí)實(shí)上上，0 x 在在不不連連續(xù)續(xù). .00(0)(0)limlimxxyfxfxx 00(2)( )yf xxx 函函數(shù)數(shù)在在 處

6、處可可導(dǎo)導(dǎo), ,能能否否得得到到它它在在 的的一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)？2,:( )0 xxf xx 當(dāng)當(dāng) 為為有有理理數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)如如，當(dāng)當(dāng) 為為無(wú)無(wú)理理數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)0.x 它它在在處處可可導(dǎo)導(dǎo)0.x 不不能能得得到到它它在在的的一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)0( )(0)(0)limxf xffx 2200lim0,xxx x( (當(dāng)當(dāng) 為為有有理理數(shù)數(shù)) )0( )(0)(0)limxf xffx 200 0lim0,xx x( (當(dāng)當(dāng) 為為無(wú)無(wú)理理數(shù)數(shù)) )0 x 它它在在處處可可導(dǎo)導(dǎo)，0 x 故故它它在在處處連連續(xù)續(xù)，0 x 它它在在處處可可導(dǎo)導(dǎo)，0 x 故故它它在在處處連連續(xù)續(xù)，0 x

7、但但它它在在之之外外任任何何點(diǎn)點(diǎn)處處不不連連續(xù)續(xù). .注意：注意：00 xx 函函數(shù)數(shù)在在處處可可導(dǎo)導(dǎo), ,不不能能得得到到在在的的一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，也也不不能能得得到到導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù). .2,:( )0 xxf xx 當(dāng)當(dāng) 為為有有理理數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)如如，當(dāng)當(dāng) 為為無(wú)無(wú)理理數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)0(3)( ),f xx如如果果在在 處處連連續(xù)續(xù) 則則00( )limxxf xAxx 0lim( )0 xxf x ，0()0,f x 0();fxA 00( )lim(1)kxxf xA kxx 0lim ( ) 0 xxf x ，0()0,f x 0()=fx 0 0 0-100( )1limk

8、xxf xxxxx 000-100( )- ()1limlimkxxxxf x f xAxxxx ，0()=fx 0 0. . )(C0 )( x1 x）（R )(sinxxcos )(cosxxsin )(xexe )(xaaaxln )(lnxx1 )(log xaax ln1 )(tanxx2sec )(cotxx2csc )(cscx )(secxxxtansecxxcotcsc )(arcsin x211)(arccosxx 211x 211)(arctanxx 211)cotarc(xx 二、求導(dǎo)的基本公式二、求導(dǎo)的基本公式三、求導(dǎo)法則三、求導(dǎo)法則 ( )( )( )( )u xv

9、 xu xv x ( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v xu x v xu x v x 2)(vvuvuvu 2)1(vvv (其中其中 )0 v1.函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則2.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則xuxuyy ddd.dddyyuxux 或或3.反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則1( ),( )fxy 1.xyyx 即即注意：注意：使用求導(dǎo)法則的前提是使用求導(dǎo)法則的前提是“各自可各自可導(dǎo)導(dǎo)”.四、高階導(dǎo)數(shù)四、高階導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù))(xf的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù))(xf 在點(diǎn)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，即即 ) )(xfxxfxxfx )()(l

10、im0則稱則稱) )( xf為函數(shù)為函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)x處的二階導(dǎo)數(shù)處的二階導(dǎo)數(shù).記作記作相應(yīng)地，相應(yīng)地，)(xf稱為零階導(dǎo)數(shù)，稱為零階導(dǎo)數(shù)，)(xf 一般地，一般地，)(xf)(xf.d)(d,dd,),(2222xxfxyyxf .d)(d,dd,),()()(nnnnnnxxfxyyxf( )(1)nuv ( )( )nnuv ，( )(2)()nCu( )nCu (C為常數(shù)為常數(shù))直接法和間接法直接法和間接法(3)乘積乘積該公式稱為萊布尼茲公式，它和二項(xiàng)式公式有類似的記憶該公式稱為萊布尼茲公式，它和二項(xiàng)式公式有類似的記憶11().nnnkn kknnnnnuvuC uvC uvC v

11、 ( )( )1(1)()( )( )().nnnkn kknnnnnuvuvC uvC uvC uv 3.高階導(dǎo)數(shù)的基本公式高階導(dǎo)數(shù)的基本公式( )()xnxee ，( )()!nnxn ，( )(sin)sin(),2nnxx ( )(cos)cos(),2nnxx ( )()lnxnxnaaa ，( )1(1)!ln(1)( 1),(1)nnnnxx ( )()(1)(2).(1),ana nxa aaanx ( )()( )0!().!()!nnkn kkknnknu vC uvCknk 其其中中更更一一般般地地：( )sin()sin()2nnaxbaaxbn ( )1(1)!ln(

12、)( 1).()nnnnanax bax b ( )cos()cos()2nnaxbaaxbn ( )1!()( 1),()nnnnanax bax b 五、幾類特殊函數(shù)的導(dǎo)數(shù)五、幾類特殊函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法2.冪指函數(shù)的求導(dǎo)法冪指函數(shù)的求導(dǎo)法若冪指函數(shù)為若冪指函數(shù)為，)0)()()()( xuxuxfxv)(ln)()(lnxuxvxf )()()()(ln)()()(xuxuxvxuxvxfxf 兩端對(duì)兩端對(duì)x求導(dǎo)：求導(dǎo)：)()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv 直接求導(dǎo)法直接求導(dǎo)法變形為變形為,)()(ln)(xuxvexf 然后用復(fù)合函數(shù)然

13、后用復(fù)合函數(shù)若冪指函數(shù)為若冪指函數(shù)為，)0)()()()( xuxuxfxv)()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf )()()()(ln)()()(xuxuxvxuxvxfxf 兩端對(duì)兩端對(duì)x求導(dǎo)：求導(dǎo)：3.由參數(shù)方程所確定的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的導(dǎo)數(shù)，)(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都都可可導(dǎo)導(dǎo)再再設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得txtyxydddddd ,)()(中中在在方方程程 tytx 即即)(tx 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的具有單調(diào)連續(xù)的),(1xt 反函數(shù)反函

14、數(shù)22ddddddyytxxt 33d=dyxdd,ddytxt 44d=dyxdd,ddytxt 六、應(yīng)用六、應(yīng)用1.幾何應(yīng)用幾何應(yīng)用(1)幾何意義：幾何意義：是是y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn))(0 xf )(,(00 xfx處切線的斜率處切線的斜率.(2)切線、法線的方程：切線、法線的方程：切線的方程：切線的方程：法線的方程：法線的方程：000()(),yyfxxx 00001(), ()0.()yyxxfxfx 特特別別地地，0()=0fx 若若，切切線線方方程程為為0= ()y f x ；法法線線方方程程：0=x x0()=fx 若若，切切線線方方程程為為0=x x0= ().y f x法法線

15、線方方程程：2.物理應(yīng)用物理應(yīng)用d,dsvt 瞬時(shí)速度：瞬時(shí)速度：瞬時(shí)加速度：瞬時(shí)加速度：22dd.ddvsatt 七七、奇奇偶偶函函數(shù)數(shù)、周周期期函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)1.可可導(dǎo)導(dǎo)的的偶偶函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為奇奇函函數(shù)數(shù)，(0)=0.f 且且特特別別地地，( )f x設(shè)設(shè)為為偶偶函函數(shù)數(shù)，(0)f 且且存存在在，(0)=0.f 則則2.可可導(dǎo)導(dǎo)的的奇奇函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)為為偶偶函函數(shù)數(shù). .3.可可導(dǎo)導(dǎo)的的周周期期函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)仍仍為為同同周周期期函函數(shù)數(shù). .特特別別地地，( + )= ( )f x Tf x設(shè)設(shè)，0()fx 存存在在，00()= ().fxTfx 則則八

16、八、含含絕絕對(duì)對(duì)值值的的函函數(shù)數(shù)的的可可導(dǎo)導(dǎo)性性0lim ( ),xxg x1 1. .設(shè)設(shè)存存在在00( )g x xxx 且且在在 處處可可導(dǎo)導(dǎo)0lim ( )=0.xxg x特特別別情情況況：00 xxx 在在 處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)，000()xxxxx 在在 處處可可導(dǎo)導(dǎo). .0()=0f x2 2. .設(shè)設(shè)，0()fx 存存在在，0( )f xx則則在在處處可可導(dǎo)導(dǎo)0()0.fx 九、微分的概念九、微分的概念1.定義：定義： 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在某區(qū)間內(nèi)有定義，在某區(qū)間內(nèi)有定義，0 x及及xx 0在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，)( xxAy 其中其中A是不依賴于是不依賴于x 的常數(shù)，

17、的常數(shù)，)( x 是比是比x 高階的無(wú)窮小，高階的無(wú)窮小， 那么稱函數(shù)那么稱函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x是可微的，是可微的，自變量增量自變量增量x 的微分，的微分， 記作記作0dxxy 或或.)(d0 xxxf 即即xAyxx 0d( (微分的實(shí)質(zhì)微分的實(shí)質(zhì)) )而而xA 叫做函數(shù)叫做函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x相應(yīng)于相應(yīng)于微分微分yd叫做函數(shù)增量叫做函數(shù)增量y 的線性主部的線性主部.假如假如)()(00 xfxxfy 可表示為：可表示為：由定義知由定義知: :可微可微)( xoxAy )(dxoy 2.可微的充要條件可微的充要條件函數(shù)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x可微的充要條件是：可微的充要

18、條件是：函數(shù)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處可導(dǎo)，處可導(dǎo)， 且且).(0 xfA 4.4.可導(dǎo)與可微的關(guān)系可導(dǎo)與可微的關(guān)系: :可微可微可導(dǎo)可導(dǎo)連續(xù)連續(xù)有極限有極限d( )dyfxx 3.3.微分的計(jì)算公式微分的計(jì)算公式: :d( )dyfxx 1)基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式0)(d Cxxxdcos)(sind xxxdsec)(tand2 xxxxdtansec)(secd xxxd)(d1 xxxdsin)cos(d xxxdcsc)(cotd2 xxxxdcotcsc)(cscd xaaaxxdln)(d xaxxadln1)(logd xxxd11)(arcsind2

19、xxxd11)(arctand2 xeexxd)(d xxxd1)(lnd xxxd11)(arccosd2 xxxd11)cotarc(d2 5. 微分運(yùn)算公式與法則微分運(yùn)算公式與法則1)微分的四則法則：設(shè)微分的四則法則：設(shè) u(x) , v(x) 均可微均可微 , 那那么么1)d()dduvuv (C 為常數(shù)為常數(shù))2) 微分法則微分法則xxfyd)(d 2)d()dCuC u 3)d()dduvv uu v 2dd4)d()(0)uv uu vvvv ( ),( )yf uux 設(shè)設(shè)均均可可微微， ( )yfx 則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)的的微微分分為為：dud( )dyfuu 2) 復(fù)合函數(shù)

20、的微分法則：復(fù)合函數(shù)的微分法則：結(jié)論：結(jié)論：無(wú)論無(wú)論u是自變量還是中間變量，是自變量還是中間變量，形式總是形式總是( )yf x 函函數(shù)數(shù)的的微微分分uufyd)(d ddxyyx ( )( )dfuxx 這種特性稱為一階微分形式的不變性這種特性稱為一階微分形式的不變性ddyx想想一一想想符符號(hào)號(hào)的的優(yōu)優(yōu)點(diǎn)點(diǎn): :1)表示導(dǎo)數(shù)時(shí)能顯示誰(shuí)是函數(shù)誰(shuí)是自變量表示導(dǎo)數(shù)時(shí)能顯示誰(shuí)是函數(shù)誰(shuí)是自變量,2)表示微分時(shí)有商的含義，故表示微分時(shí)有商的含義，故3)隱含著一階微分形式的不變性隱含著一階微分形式的不變性.1d.dddyxxyd( )dyfuud( )dyf uu 0000()()()limxf xxf

21、xf xx 解解 典型例題分析典型例題分析題型一、已知導(dǎo)數(shù)求極限題型一、已知導(dǎo)數(shù)求極限200001()()(),lim.xf xxxf xf xx 求求例例 設(shè)設(shè)存存在在 原式原式= = 2000()() limxf xxxf xx 2()xx 2()xx 0()f x ( )f xxa 在在可可導(dǎo)導(dǎo) limxaf xf ax a存存在在 0limxf axf ax 存存在在 0000 0 ()lim(). ()xff xfxxfx 一一般般的的: :若若存存在在 0lim h 0()2f xhh 0()f x0 ()2f xhh 0()f x01()2fx 001()()2fxfx00000

22、0()()()()limlim22()hhf xhf xf xhf xhh 000()()lim2hf xhf xhh 000 0 0 ()()lim().xff xfxfxx 一一般般地地, ,若若存存在在0000()()lim()2hf xhf xhfxh 00000()()()lim()2hf xhf xhfxfxh 一一般般地地, ,若若存存在在例例2.設(shè)設(shè)1cos 0( )0 0 xf xxx ,討論討論 在在 處的可導(dǎo)性處的可導(dǎo)性,( )f x0 x 并求并求0(0)(0)lim.2hfhfhh 解解001lim( )limcosxxf xx 不存在不存在( )0f xx 在在不連

23、續(xù)，從而不可導(dǎo)不連續(xù)，從而不可導(dǎo).但是但是0(0)(0)lim2hfhfhh 011coscoslim0.2hhhh 00000()()()lim()2hf xhf xhfxfxh 一一般般地地, ,若若存存在在20(sincos )(1)0(1)lim.(1)tanxxfxxffex 若若且且存存在在, ,求求解解: 20lim(sincos )1xxx 原式原式 =220(sincos )limxfxxx 且且(1)0f 聯(lián)想到湊導(dǎo)數(shù)的定義式聯(lián)想到湊導(dǎo)數(shù)的定義式220(sincos )limxfxxx 2sincos1xx2sincos1xx(1)f (1)f 1(1)21(1)2f 00

24、0 0 ()lim() xff xfxx 例例3.例例4.2( )( )2lim3,(2).2xf xf xxfx 設(shè)設(shè)在在處處連連續(xù)續(xù), ,且且求求解解: 000 0 ()()lim xff xfxx (2)f 2lim( )xf x2( )lim(2)(2)xf xxx 0 2( )(2)(2)lim2xf xffx 2( )lim2xf xx 3 題型二：已知極限求導(dǎo)數(shù)題型二：已知極限求導(dǎo)數(shù)( )( )lim( )( ).xaf xf af xxafaxa 存存在在在在處處可可導(dǎo)導(dǎo), ,即即存存在在( )( )lim( )( ).xaf xf af xxafaxa 存存在在在在處處右右可

25、可導(dǎo)導(dǎo), ,即即存存在在( ),( )f xxaf xxa 設(shè)設(shè)在在的的某某個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)練練習(xí)習(xí)：有有定定義義 則則在在處處可可導(dǎo)導(dǎo)的的的的一一個(gè)個(gè)充充分分條條件件是是（ ）0001(2 )()( ) lim ()( )( )lim()()( )()( )lim( )lim2hhhhf ahf ahAh f af aBhhf ahf a hf af a hCDhh 存存在在； 存存在在；存存在在； 存存在在. .11()( )limhf af ahh存存在在0()( )limtf a tf at存存在在0(2 )( ) ()( )limhf ahf af ahf ah 存存在在00(2 )

26、( )()( )limlimhhf ahf af ahf ahh 存存在在0()( )limhf ahf ah存存在在D 0limtf atf at存存在在 f xxa在在處可導(dǎo)處可導(dǎo)3321sincos 3yxxxx 題型三：利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)題型三：利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)提示：以下情況必須用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)提示：以下情況必須用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)1.求分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時(shí)；求分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時(shí)；2.不符合求導(dǎo)法則的條件時(shí)；不符合求導(dǎo)法則的條件時(shí)；3.表達(dá)式中的抽象函數(shù)的可導(dǎo)性未知時(shí)就不能盲目的表達(dá)式中的抽象函數(shù)的可導(dǎo)性未知時(shí)就不能盲目的用求導(dǎo)法則用求導(dǎo)法則

27、. 0.yx xx 練練習(xí)習(xí)：求求函函數(shù)數(shù)在在處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)3sin 0.yxxx 求求在在處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)0( )(0)(0)lim0 xf xffx 30sinlimxxxx 0例例5.解解:注意：可導(dǎo)注意：可導(dǎo) 可導(dǎo)可導(dǎo)=可導(dǎo)；可導(dǎo)可導(dǎo)；可導(dǎo) 不可導(dǎo)就不一定可導(dǎo)不可導(dǎo)就不一定可導(dǎo).注意：可導(dǎo)注意：可導(dǎo) 可導(dǎo)可導(dǎo)=可導(dǎo)；可導(dǎo)可導(dǎo)；可導(dǎo) 不可導(dǎo)就一定不可導(dǎo)不可導(dǎo)就一定不可導(dǎo).1.分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的求導(dǎo)問(wèn)題分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的求導(dǎo)問(wèn)題000( ),:( ),().( ),x xxf xfxg x xx 如如求求00( ),( )( ),x xxfxg x xx 0lim( )xxx 且且0

28、().fxA 0lim( ),xxg xA 用這種方法會(huì)把可導(dǎo)的變不可導(dǎo)，不可導(dǎo)的變可導(dǎo)用這種方法會(huì)把可導(dǎo)的變不可導(dǎo)，不可導(dǎo)的變可導(dǎo)322,1:( ),(1)3,1xxf xfxx 又又如如求求22,1( )2 ,1xxfxx x (1) 2f 1x 因因?yàn)闉樵撛摵瘮?shù)數(shù)在在處處不不連連續(xù)續(xù), ,所所以以不不可可導(dǎo)導(dǎo). .21cos,0:( ),0,0 xxf xxx 又又如如112 cossin,0( )0,0 xxfxxxx (0)f 求求 0011lim 00, lim(2 cossin)xxxxx 不不存存在在，(0).f 不不存存在在 例例6 21cos,0( ),(0).0,0 x

29、xf xfxx 設(shè)設(shè)求求解解(0)f 201cos0limxxxx 0.(0)f 000limxx 0.(0)0.f 0( )(0)limxf xfx 0( )(0)limxf xfx 用定義用定義例例7 解解,0( ),:(1),( ),0 xeb xf xa bf xax x 設(shè)設(shè)討討論論當(dāng)當(dāng)為為何何值值時(shí)時(shí)0;(2),( )0.xa bf xx 在在處處連連續(xù)續(xù)當(dāng)當(dāng)為為何何值值時(shí)時(shí)在在處處可可導(dǎo)導(dǎo)( )0f xx 要要使使在在處處連連續(xù)續(xù)，(0 )(0 )(0),fff 則則有有00(0 )lim( )lim()1,xxxff xebb 而而00(0 )lim( )lim()0,xxff

30、 xax 10;b ( )1f xx 要要使使在在處處可可導(dǎo)導(dǎo)， (0)0,f (0)(0)(0),fff 則則有有0( )(0)(0)limxf xffx 而而0limxxebx 01limxxex 1,0( )(0)(0)limxf xffx 而而00limxaxx , a1( )0.af xx 時(shí)時(shí)在在處處可可導(dǎo)導(dǎo)例例8.8.022d,.d54txttyxytt t 設(shè)設(shè)求求解解分析分析:0,tt 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在d0,dxtt 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)不不 存存 在在不能用公式求導(dǎo)不能用公式求導(dǎo).00limlimxtyx 0d0.dtyx 2005()4yytyttt 002xxtxtt

31、求左右極限求左右極限ddddddyytxxt205()4lim2tttttt 209()lim03ttt 205()4lim2tttttt 20()lim0ttt 25()4ttt 2 tt 例例9 討論下列函數(shù)在討論下列函數(shù)在x=0點(diǎn)的連續(xù)性和可導(dǎo)性點(diǎn)的連續(xù)性和可導(dǎo)性1. ( )sinf xx 1sin,02. ( ).0,0 xxf xxx 解解0( )(0)limxf xfx 001.lim( )limxxf x sinx 0 (0),f( )0.f xx 在在處處連連續(xù)續(xù)0( )(0)l( )im0 xff xfx 0sinsin0limxxx 1. 0sinsin0limxxx 1.

32、0( )(0)lim(0)xff xfx ( )0.f xx 在在處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)例例9 討論下列函數(shù)在討論下列函數(shù)在x=0點(diǎn)的連續(xù)性和可導(dǎo)性點(diǎn)的連續(xù)性和可導(dǎo)性1. ( )sinf xx 1sin,02. ( ).0,0 xxf xxx 解解 200lim( )limxxf x 1sinxx 0不不存存在在. .(0),f ( )0.f xx 在在處處連連續(xù)續(xù)0( )(0)limxf xfx 01sin0limxxxx 01limsinxx( )0.f xx 在在處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)2.當(dāng)不滿足求導(dǎo)的條件時(shí)當(dāng)不滿足求導(dǎo)的條件時(shí)例例10( )() ( ),( )( ).f xx axxxaf a 設(shè)

33、設(shè)其其中中在在處處連連續(xù)續(xù), ,求求( )()( )()( )fxxaxxax 分分析析: :( )()( )xxax ( )( ).f aa 必須用定義必須用定義 解解( )f a ( )( )limxaf xf axa () ( )0limxaxaxxa lim ( )xax ( ).a 2( )( )()( )( ).gxf xxag xfa 設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù), ,且且, ,求求)(xg可導(dǎo)可導(dǎo))()()()(2)(2xgaxxgaxxf ( )gx 不不一一定定存存在在，( ).fa 故故最最好好用用定定義義求求)(af axafxfax )()(lim( )0f a axxfax )(lim)()()(2limxgaxxgax )(2ag 例例11解解注意：求導(dǎo)法則的成立是有條件的注意：求導(dǎo)法則的成立是有條件的.3.當(dāng)有抽象函數(shù)時(shí)必須用定義求導(dǎo)當(dāng)有抽象函數(shù)時(shí)必須用