2012年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)10A-5課時(shí)作業(yè)

1、用心愛(ài)心專心-1 -課時(shí)作業(yè)（五十一）一、選擇題1.（09 重慶）已知二面角al3的大小為 50,P為空間中任意一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P且 與平面a和平面3所成的角都是 65的直線的條數(shù)為（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案 B解析 過(guò)點(diǎn)P分別作平面a、3的垂線11、丨2,則所求直線m與Ii、l2所成的角都是 65, 且直線li、丨2相交所成的兩對(duì)對(duì)頂角的大小分別是50與 130 .于是可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)P且與定直線li、丨2所成的角都是 65的直線m的條數(shù)問(wèn)題結(jié)合圖形易知，過(guò)點(diǎn)P且與定直線I1、I2所成的角都是 65的直線m共有 3 條，選 B.2.（2010 全國(guó)卷I,文）直三棱柱ABC- A1

2、B1G 中，若/BAC=90,AB= AC= AA,則異 面直線BA與AC所成的角等于（）A. 30B. 45 C. 60D. 90 答案 C解析 延長(zhǎng)CA至點(diǎn)M使AM= CA則AM/ CA/MAB或其補(bǔ)角為異面直線BA與AG所 成的角，連接BM易知BMA為等邊三角形，因此，異面直線BA與AC所成的角為 60,選 C.3.（201 1 黃岡）把正方形ABCD&對(duì)角線AC折起，當(dāng)以A B C D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，直線BD和平面ABC所成的角的大小為（）A. 90B. 60 C. 45D. 30 答案 C解析 易知當(dāng)折成的二面角B- AC- D為 90時(shí)，體積最大，正方形的對(duì)角線BD被

3、折成兩段OD OB此時(shí)OB與BD所成的角即為BD與平面ABC所成的角，易知OD助等腰直角三角形，/DBO=45 ,.選 C.4 .正三棱柱ABC- ABC的所有棱長(zhǎng)均相等，則二面角A- ABC的大小為（16A. arctan 6用心愛(ài)心專心-2 -B. arccos 二-6C. arcsin 弓D. arccos 孕用心愛(ài)心專心-3 -E,貝U CEL平面AAB過(guò)E作EF丄AB于F,連結(jié)CF,貝U CF丄AB答案 A/ CFE為二面角A-AB- C的平面角，設(shè)BC=1則CE=#tan /CFE= |C=6故選 A5.(2010 全國(guó)卷I,理）正方體ABC-ABCD中，BB與平面ACD所成角的余

4、弦值為2C.3D答案 D解析BB與平面ACD所成的角等于DD與平面ACD所成的角，在三棱錐D- ACD中，由三條側(cè)棱兩兩垂直得點(diǎn)D在底面ACD內(nèi)的射影為等邊三角形ACD的垂心即中心H,連接DH, DH則/DDH為DD與平面ACD所成的角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,小3a擊則 cos /DDH=弋,故選 D.a3二、填空題6 .四棱錐P ABCD勺底面ABCD為菱形，/BAD=60 ，側(cè)面PAD為等邊三角形，當(dāng)二面角PAD- B為 120時(shí)，直線PB與底面ABC所成的角為答案 30解析 取AD中點(diǎn)O,貝U POLAD BOLAD/ POB=120,且PO= BOPBO=307 .如圖，已知正三棱柱ABC

5、- ABC的所有棱長(zhǎng)都相等,D是AQ的中點(diǎn)，則直線AD與平面BDC所成角的正弦值為解析取AB中點(diǎn)C. arcsin 弓D. arccos 孕用心愛(ài)心專心-4 -用心愛(ài)心專心-5 -4答案 5解析 如圖，作AEL CD又正三棱柱ABC- ABC中，BD丄平面AACC,貝卩BD丄AE又 因?yàn)镃CTDB=D,.AEL平面BiDC則/ADE就是直線AD與平面BDC所成的角，設(shè)正三棱柱 棱長(zhǎng)為 2，貝U DC=5,A*咕 5,AC=2.999在厶ACD中，由余弦定理求得：cosAD=蔦+ 牡=5羅-4=3，即直線AD與平面2AD* CD2X554BDC所成的角的正弦值為 5.8 若一條直線與一個(gè)正四棱柱

6、各個(gè)面所成的角都為 答案身3解析 本題考查立體幾何知識(shí)，由對(duì)稱原理，該正四棱柱只可能為正方體，滿足題意的 直線可以為其對(duì)角線，顯然對(duì)角線與各面所成的角的余弦值都是三、解答題BCD ABL平面BCD AB=2 3.(1)求直線AM與平面BCD所成角的大小;求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值.解析（1）取CD中點(diǎn)Q連OB OM貝U OBL CD OILCD又平面MCL平面BCD所以MCL平面BCD所以MQ AB A B O M共面，延長(zhǎng)AMBO相交于E,則/AEB就是AM與平面BCD所成的角.a ,貝HCOSa =_._/69 (2010 江西，文)如圖，BCMAMCD都是邊長(zhǎng)為2 的正三

7、角形，平面MCL平面用心愛(ài)心專心-6 -因?yàn)镺B= MO= 3,MO AB所以EB=獸 2，vEB AB2所以EB=2 3 =AB,故/AEB=45.(2)CE是平面ACM與平面BCD的交線.由知，O是BE的中點(diǎn)，則四邊形BCE是菱形.作BF丄EC于F,連AF,貝U AF丄EC/AFB就是二面角A-EC- B的平面角，即平面ACM與平面BCD所成二面角的平面角，設(shè)為0.因?yàn)?BCE=120,所以/BC= 60.所以BF=BC-sin60 =3,又AB=2 3,ABL BF,所以AF= 15,所以 sin0=甘.所以，所求二面角的正弦值是 竽.10.如圖，在直四棱柱ABC-ABCD中，已知D(=

8、DD= 2AD= 2AB ADLDC AB/ DC(1)設(shè)E是DC的中點(diǎn)，求證：DE/平面ABD求二面角ABD-C1的余弦值.解析(1)連結(jié)BE是四邊形DABE為正方形, BE= AD=AD，且BE/ AD/ AD,四邊形ADEB為平行四邊形，DE/ AB,又DE?平面ABD AB?平面ABD又DE/平面ABD在四邊形ABC即,設(shè)AD=a,/AB= AD, ADLDC AB/ DCADLAB故BD= 2a,由(1)得BC=BE+EC=a2+a2= 2a2,DC= 2a/ DB(= 90 ,即BDLBCEO= OB= 3,用心愛(ài)心專心-7 -又BDLBB,用心愛(ài)心專心-8-BDLL平面BCCBi

9、,又BG?平面BCCB, BDL BG,取DC的中點(diǎn)M連結(jié)AIF,FM由題意知，F(xiàn)M/ BC,FML BD又AID=AB,AF丄BD/ AIFM為二面角ABD- C的平面角，連結(jié)A M在厶A FM中，由題意可知；AIF=322a,FM=2BC=2BC+CC2= 26a,取D C的中點(diǎn)H,連結(jié)AH, HM在 RtAHM中,/AIH=2a,HM= a,923222a+ 2a 3a.面角AlBD- C的余弦值為1 1 . (20 1 0 全國(guó)卷n)如圖，直三棱柱ABC- AlBlC中，AC= BC AA=AB D為BB的中點(diǎn),E為AB上的一點(diǎn)，AE= 3EB.(1 )證明：DE為異面直線AB與CD的

10、公垂線;設(shè)異面直線AB與CD的夾角為 45,求二面角AACB的大小. cos /AIFM=A+FMAM2AIFFM用心愛(ài)心專心-9-用心愛(ài)心專心-10-解析連結(jié)AB,記AB與AB的交點(diǎn)為F.因?yàn)槊鍭ABB為正方形，故AB丄AB,且AF=FB,又AE=3EB，所以FE= EB,又D為BB的中點(diǎn)，故DE/ BF,DEL AB.作CGL AB G為垂足，由AC= BC知，G為AB中點(diǎn).又由底面ABCL面AABB,得CGL面AABB,連結(jié)DG貝 UDG/ AB,故DEL DG由三垂線定理，得DEL CD所以DE為異面直線AB與CD的公垂線.因?yàn)镈G/ AB,故/CD異面直線AB與CD的夾角， /CDG

11、45 設(shè)AB=2,貝U AB= 2 述,DG=,CG=,AC=0.作BH丄AQ,H為垂足，因?yàn)榈酌鍭BC丄面AACC,故BH丄面AACC.又作HK!AC,K為垂足，連結(jié)BK,由三垂線定理，得BKLAC, 因此/BKH為二面角AACB的平面角.A Bx；A Ci2一AiBi-瞄J=驚HC=B G2B甘=，3AAxHC2 , 3AC3J.tan /B KH=黑=仏HK所以二面角AiACB的大小為 arctanT4.1 2. (20 1 0 安徽卷，理)如圖，在多面體ABCDEI中，四邊形ABCD是正方形，EF/ ABEFLFB AB2EF,/BFC=90 ,BF=FC H為BC的中點(diǎn).(1 )求證

12、：FH/平面EDB求證：ACL平面EDB求二面角B- DE- C的大小.綊 2AB又EF綊 2ABEF綊GH四邊形EFHG平行四邊形,解析(1 )設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G貝U G為AC的中點(diǎn)，連EG GH又H為BC的中點(diǎn)， GHHK=用心愛(ài)心專心-11-EG/ FH而EG平面EDB用心愛(ài)心專心-12 -/.FH/平面EDB由四邊形ABCD正方形，有又EF/AB二EF丄BC而EF丄FB, EF丄平面BFC EF丄FH,ABL FH又BF=FC H為BC的中點(diǎn)，二FH1 BC FH丄平面ABCDFHLAC又FH/ EGACL EG又AC!BD EGH BD= G - ACL平面EDBEFFB/BFC=

13、90 ?BF! FCBF丄平面CDEF在平面CDE內(nèi)過(guò)點(diǎn)F作FKDE交DE的延長(zhǎng)線于K則/FKB為二面角B-DE- C的一個(gè)平面角.設(shè)EF= 1,則AB=2 ,FC=2 ,DE=3 ,BF= 2.又EF/DCKEF=ZEDC -sin /EDC=sin /KEF=二面角B-DE- C為 6013. （09 天津）如圖，在五面體ABCDE中,FA丄平面ABCD AD/ BC/ FE, ABL AD M為1EC的中點(diǎn)，AF=AB= BC= FE= ?AD（1）求異面直線BF與DE所成的角的大小;證明平面AMCL平面CDE求二面角A- CD- E的余弦值.解（1）由題設(shè)知，BF/ CE所以/CED或其補(bǔ)角）為異面直線BF與DE所成的角設(shè)P為AD的中點(diǎn)，連結(jié)ER PC因?yàn)镕E綊AP,所以FA綊EP同理，AB綊PC又FA!平面ABCD:.FK= EFsin /KEF=tan /FKB=乎.3 , /FKB=60用心愛(ài)心專心-13 -所以EP丄平面ABCD而PC AD都在平面ABCD內(nèi)，故EPL PC,EPL AD由ABL AD，可得PCLAD設(shè)FA= a,貝U EP=PC= PD= a,CD= DE= EC= 2a，故/CED=60 .所以異面直線所成的角為 60.