用----直線與雙曲線--第三課

1、2.3.2 2.3.2 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 00(,)P xy22221(0,0)xyabab2200221xyab00(,)P xy22221(0,0)xyabab2200221xyab00(,)P xy22221(0,0)xyabab220022-=1xyab 點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系： 點(diǎn)與雙曲線：點(diǎn)在雙曲線在雙曲線的內(nèi)部的內(nèi)部點(diǎn)點(diǎn)在雙曲線在雙曲線的外部的外部點(diǎn)點(diǎn)在雙曲線在雙曲線上上直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓的位置關(guān)系種類種類: 相離相離(沒有交點(diǎn)沒有交點(diǎn))相切相切(一個(gè)交點(diǎn)一個(gè)交點(diǎn))相交相交(二個(gè)交點(diǎn)二個(gè)交點(diǎn))XYO位置關(guān)系與交點(diǎn)個(gè)數(shù)XYOXYO相離相離:0:0個(gè)

2、交點(diǎn)個(gè)交點(diǎn)相交相交:一個(gè)交點(diǎn)一個(gè)交點(diǎn)相交相交:兩個(gè)交點(diǎn)兩個(gè)交點(diǎn)相切相切:一個(gè)交點(diǎn)一個(gè)交點(diǎn)兩個(gè)交點(diǎn)兩個(gè)交點(diǎn) 一個(gè)交點(diǎn)一個(gè)交點(diǎn) 0 個(gè)交點(diǎn)個(gè)交點(diǎn)相交相交相相切切相相交交相離相離交點(diǎn)個(gè)數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)方程組解的個(gè)數(shù)方程組解的個(gè)數(shù)有沒有問題有沒有問題 ?消去 ，得22222222y = kx+ my = kx+ my:y:xyxy-=1-=1abab(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=01.二次項(xiàng)系數(shù)為二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，時(shí)，L與雙曲線的漸近線平行與雙曲線的漸近線平行或重合?；蛑睾?。重合：無交點(diǎn)；重合：無交點(diǎn)；平行：有一個(gè)交點(diǎn)。平行：有一個(gè)交點(diǎn)。2.二次項(xiàng)系數(shù)不為二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí)時(shí),上

3、式為一元二次方程上式為一元二次方程, 0 直線與雙曲線相交（兩個(gè)交點(diǎn)）直線與雙曲線相交（兩個(gè)交點(diǎn)） =0 直線與雙曲線相切直線與雙曲線相切 0判斷直線與判斷直線與雙曲線雙曲線位置關(guān)系的一般思路位置關(guān)系的一般思路直線方程與雙曲線方程聯(lián)立并消元直線方程與雙曲線方程聯(lián)立并消元一元一次方程一元一次方程一元二次方程一元二次方程直線與雙曲線的直線與雙曲線的漸近線平行漸近線平行 計(jì)計(jì) 算算 判判 別別 式式相交（一個(gè)公共點(diǎn)）相交（一個(gè)公共點(diǎn)）0=00,原點(diǎn)原點(diǎn)O（0，0）在以）在以AB為直徑的圓上，為直徑的圓上， OAOB，即，即x1x2+y1y2=0, 即即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0, (

4、a2+1) x1x2 +a(x1+x2 )+1=0,解得解得a=1.例例3、直線、直線y-ax-1=0和曲線和曲線3x2-y2=1相相交，交點(diǎn)為交，交點(diǎn)為A、B，當(dāng)，當(dāng)a為何值時(shí)，以為何值時(shí)，以AB為為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)。直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)。1212222a2xx,x x3a3a 22222a (a +1) +a+1=03a3a 問題四：焦點(diǎn)三角形（配套）問題四：焦點(diǎn)三角形（配套）例例4、由雙曲線、由雙曲線 上的一點(diǎn)上的一點(diǎn)P與左、右與左、右兩焦點(diǎn)兩焦點(diǎn) 構(gòu)成構(gòu)成 ，求，求 的內(nèi)切的內(nèi)切圓與邊圓與邊 的切點(diǎn)坐標(biāo)。的切點(diǎn)坐標(biāo)。22194xy12FF、12PFF12PFF12FF說明：說明：雙

5、曲線上一點(diǎn)雙曲線上一點(diǎn)P與雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)與雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn) 構(gòu)成構(gòu)成的三角形稱之為的三角形稱之為焦點(diǎn)三角形焦點(diǎn)三角形，其中，其中 和和 為三角形的三邊。解決與這個(gè)三角形有關(guān)的問題，要充分為三角形的三邊。解決與這個(gè)三角形有關(guān)的問題，要充分利用雙曲線的定義和三角形的邊角關(guān)系、正弦定理、余弦利用雙曲線的定義和三角形的邊角關(guān)系、正弦定理、余弦定理。定理。 12FF、12| |PFPF、12|FF例例5、04全國文科全國文科設(shè)雙曲線設(shè)雙曲線C： 與直線與直線 相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B。（1）求雙曲線）求雙曲線C的離心率的離心率e的取值范圍。的取值范圍。（2）設(shè)直線）設(shè)直線l與與y軸的

6、交點(diǎn)為軸的交點(diǎn)為P，且，且 求求a的值。的值。2221(0)xyaa:1l xy5,12PAPB 1 .位置判定位置判定2.弦長公式弦長公式3.中點(diǎn)問題中點(diǎn)問題4.垂直與對稱垂直與對稱5.設(shè)而不求設(shè)而不求(韋達(dá)定理、點(diǎn)差法韋達(dá)定理、點(diǎn)差法)小結(jié)：小結(jié)：2、已知直線時(shí)， 問直線與雙曲線公共點(diǎn) 的個(gè)數(shù).)7 , 0),2(kxky422 yxyxoF1F2例例3 3、設(shè)兩動點(diǎn)、設(shè)兩動點(diǎn)A A、B B分別在雙曲線分別在雙曲線 的兩條漸近線上滑動，且的兩條漸近線上滑動，且|AB|AB|2 2，求線段，求線段ABAB的中點(diǎn)的中點(diǎn)M M的軌跡方程的軌跡方程. .2214xy-=ox xy yB BA AM

7、 M22414xy+=典例講評典例講評EX: EX: 設(shè)設(shè)F F1 1、F F2 2為雙曲線為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，的左、右焦點(diǎn)，P P為雙曲線右支上一點(diǎn)，為雙曲線右支上一點(diǎn)，已知已知PFPF2 2xx軸，軸，|PF|PF2 2| |6 6，雙曲線的離，雙曲線的離心率為心率為 , ,求雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)求雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo). .22221,xyab2（6 6，0 0） ox xy yF F1 1F F2 2P P歸納總結(jié)1. 雙曲線的第二定義 平面內(nèi)，若定點(diǎn)F不在定直線l上，則到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離比為常數(shù)e(e1)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線。 定點(diǎn)F是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e

8、是雙曲線的離心率。2. 雙曲線的準(zhǔn)線方程對于雙曲線22221,xyab 準(zhǔn)線為2axc 對于雙曲線22221yxab 準(zhǔn)線為2ayc 注意:把雙曲線和橢圓的知識相類比.00(,)P xy22221(0,0)xyabab2200221xyab00(,)P xy22221(0,0)xyabab2200221xyab00(,)P xy22221(0,0)xyabab220022-=1xyab 點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系： 點(diǎn)與雙曲線：點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部點(diǎn)在雙曲線的外部點(diǎn)在雙曲線上韋達(dá)定理與點(diǎn)差法例5.已知雙曲線方程為3x2-y2=3, 求： (1)以2為斜率的弦的中點(diǎn)軌跡； (2)過定點(diǎn)B(2,1)的弦的中

9、點(diǎn)軌跡； (3)以定點(diǎn)B(2,1)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程. (4)以定點(diǎn)(1,1)為中點(diǎn)的弦存在嗎？說明理由；例.2 22 2y y給給定定雙雙曲曲線線x-= 1,x-= 1,過過點(diǎn)點(diǎn)A(1,1)A(1,1)能能否否作作直直線線L L2 2使使L L與與所所給給雙雙曲曲線線交交于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)P,Q,P,Q,且且A A是是線線段段PQPQ的的中中點(diǎn)點(diǎn)? ?說說明明理理由由. .11221122解 : 假設(shè)存在P(x ,y ),Q(x ,y )為直線L上的兩點(diǎn),解 : 假設(shè)存在P(x ,y ),Q(x ,y )為直線L上的兩點(diǎn),且PQ的中點(diǎn)為A,則有 :且PQ的中點(diǎn)為A,則有 : 2 22 21

10、11 12 22 22 22 2y yx-= 1x-= 12 2y yx-= 1x-= 12 212121212121212122(x + x )(x - x ) = (y + y )(y - y )2(x + x )(x - x ) = (y + y )(y - y )，即方程為12121212y - yy - y= 2k = 2L: y - 1 = 2(x - 1)= 2k = 2L: y - 1 = 2(x - 1)x - xx - x2 揶 V2 22 22 2y yx -= 1x -= 1x - 4x + 3 = 0 0 x - 4x + 3 = 0 02 2y - 1 = 2(x

11、- 1)y - 1 = 2(x - 1)方程組無解，故滿足條件的L不存在。韋達(dá)定理與點(diǎn)差法例5.已知雙曲線方程為3x2-y2=3, 求： (1)以2為斜率的弦的中點(diǎn)軌跡； (2)過定點(diǎn)B(2,1)的弦的中點(diǎn)軌跡； (3)以定點(diǎn)B(2,1)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程. (4)以定點(diǎn)(1,1)為中點(diǎn)的弦存在嗎？說明理由；例.2 22 2y y給給定定雙雙曲曲線線x-= 1,x-= 1,過過點(diǎn)點(diǎn)A(1,1)A(1,1)能能否否作作直直線線L L2 2使使L L與與所所給給雙雙曲曲線線交交于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)P,Q,P,Q,且且A A是是線線段段PQPQ的的中中點(diǎn)點(diǎn)? ?說說明明理理由由. .11221122解

12、 : 假設(shè)存在P(x ,y ),Q(x ,y )為直線L上的兩點(diǎn),解 : 假設(shè)存在P(x ,y ),Q(x ,y )為直線L上的兩點(diǎn),且PQ的中點(diǎn)為A,則有 :且PQ的中點(diǎn)為A,則有 : 2 22 21 11 12 22 22 22 2y yx-= 1x-= 12 2y yx-= 1x-= 12 212121212121212122(x + x )(x - x ) = (y + y )(y - y )2(x + x )(x - x ) = (y + y )(y - y )，即方程為12121212y - yy - y= 2k = 2L: y - 1 = 2(x - 1)= 2k = 2L: y

13、 - 1 = 2(x - 1)x - xx - x2 揶 V2 22 22 2y yx -= 1x -= 1x - 4x + 3 = 0 0 x - 4x + 3 = 0 02 2y - 1 = 2(x - 1)y - 1 = 2(x - 1)方程組無解，故滿足條件的L不存在。22yx.LC :1A,B35例例已已知知直直線線與與雙雙曲曲線線相相交交于于兩兩點(diǎn)點(diǎn). .與與雙雙曲曲線線的的漸漸近近線線相相交交于于C C, ,D D兩兩點(diǎn)點(diǎn), , 求求證證: :| |A AC C| |= =| |B BD D| | 分析：只需證明線段AB、CD的中點(diǎn)重合即可。證明: (1)若L有斜率，設(shè)L的方程為:y=kx+b22222y=kx+b(5k3)x10bkx5b150yx135 2AB210kbLCA,B,5k30,xx35k 與與相相交交于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)22222y=kx+b(