帶積分邊界條件的二階非線性邊值問(wèn)題的正解

1、Pure Mathematics 理論數(shù)學(xué).2014.4,57-63Hans漢斯http:/ dx doi orQLO L2677/pm 20L4 41009 Published Online January 204(http:八vww haapub org purnal/pm btml)Positive Solutions for Second-Order Nonlinear BoundaryValue Problems with Integral Boundary ConditionsJian Liu. Hanying FengDepartment of Basic Courses, Sh

2、ijiazhuang Mechanical Engineering College, ShijiazhuangEmail gannil990l63comReceived: Dec. 31： 2013; revised: Jan 9* 2014; accepted: Jan 15* 2014CopTight 2014 Jian Liu. Hanying Feng This is an open access article distrbuted under the Creathr Commons Attnbution License, which periats unrestneted use.

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4、ns as a guardian.Abstract: In this article, a second-ord er nonlinear boundary value problem with, integral boundary conditions is investigated By calculating, the Greens function for boundary value problem subject to homogeneous boundary conditions and its properties are given. By using the fixed p

5、oint theory in cones, the existence results for at least one positive solution for the problem are established when/is superlinear or sublinear.Keywords: Positive Solution, Integral Boundary Condition, Fixed Point Theory帶積分邊界條件的二階非線性邊值問(wèn)題的正解劉健，封漢潁石家圧機(jī)械工程學(xué)院基礎(chǔ)部石家圧Eimil fian_lni 1990 163 com收稿日期：2013年12

6、月31 0：修冋日期：2014年1月9日；錄用日期：2014年1月15日摘 要：研究一類帶積分邊界條件的二階非線性邊值問(wèn)題，通過(guò)計(jì)算給出齊次邊界條件下邊值問(wèn)題的 格林函數(shù)及性質(zhì)。利用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理，得到了當(dāng)/滿足超線性或次線性時(shí)邊值問(wèn)題正解的存在性 結(jié)果。關(guān)fit詞：iE解；枳分邊界條件；不動(dòng)點(diǎn)定理1.引言在物理學(xué)、生物學(xué)和工程實(shí)踐等領(lǐng)域中，許多問(wèn)題都可以扌H象為常微分方程邊值問(wèn)題進(jìn)行研究。近年，非 線性常微分方程邊值問(wèn)題正解存在性及多解性成為一個(gè)重要研究領(lǐng)域，特別是對(duì)二階非線性常微分方程邊值問(wèn) 題的研尢已有許多豐碩的成果【口。文獻(xiàn)3利用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)定理，研尢了一類二階三點(diǎn)非線性常微分方程邊值

7、問(wèn)題，獲得了正解存在性的結(jié)果；文 獻(xiàn)4利用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理研兜了一類非線性二階常微分方程積分邊值問(wèn)題，得到J邊值問(wèn)題正解存在的充分條件。受此啟發(fā)，本文研允以下二階非線性邊值問(wèn)題正解的存在性：- x(f) - (r) = /j(f)/(r,x(r),0 / O,0e(0,n/2),7e(0,1), heC(0,l-(0,-wo), f e C(0,lx(0,+oo)-0,-wo), a,be C0,l為正。在適當(dāng) 條件下，運(yùn)用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理研究邊值問(wèn)題一個(gè)正解的存在性.下而給出證明本文結(jié)果所用的工具：引理1.115-61:設(shè)K UE為Banach空間E中的一個(gè)錐，第是E中的有界開(kāi)集，令 4：k

8、CI(C2cJtk是一個(gè)全連續(xù)算子使得1) 當(dāng)“我門壯,有M“卜制及當(dāng)ueKdQ.,有|則緋|卜或者2) 當(dāng)“eKCiaQi，有|A|/|/|及當(dāng)ueKdQ.,有簡(jiǎn)匕前。則A在KClQjCj)中有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。2.預(yù)備知識(shí)和引理首先，介紹有關(guān)槪念和引理引理2丄對(duì)于以下邊值問(wèn)題G(/,5)為格林函數(shù):-x*(/)-2-t(r)=P(/),0/l, x(0)=0, x(l) =&(),其解 A(/) = |( G(/,s)p(5)ds,r e 0,1，sLa0(l-s) + 5sm.0(s-77)sin. 0/,Qtsrj,=0(sui0-5sui0；7)sui0(1 - $)sui0人(21丿an

9、.0ssin/?(l-/) + Jsinpssin0(fstsrjy ts.r/s,an.0$sui0(l-/) + /sin.0sin.0(/-), 7 5/ 0, Jcosprj -cos/? 0 :(Hj SLH0(l_)_5sin0 0, an Pa - J an0, Jt 中 aw (0.1/2) 引理2.2：存在一個(gè)連續(xù)函數(shù):0,1 T 0嚴(yán))和一個(gè)常數(shù)(0,1使得:1) 若(HJ成立,對(duì)于任意(r,s)e0,lx0,l.有0o(r,5)0成立。接下來(lái)給出連續(xù)函數(shù)($)和常數(shù)7令g(s) = s(l-s), H(/9s) = g(s)-G(f,s).先給出格林函數(shù)的匕界。只需證存在

10、“0使H(r,s)血0, H(/,$)川0, Me0,1情形1： se0,對(duì)。如果$=0,則有G(t9s) = 0,g(s) = 09結(jié)矗成立。如果5e(0,7則0(sin 0_ n 一(1 一 ) (sin 0 _ 5 sin. 0“)0f/(1一$)OPEN ACCESS#劉健.封漢穎I帶枳分邊界條件的二階非線性邊值問(wèn)題的止解OPEN ACCESS#劉健.封漢穎I帶枳分邊界條件的二階非線性邊值問(wèn)題的止解u0(D(l-7)(sia 0_6sia 的)因此對(duì)八“ x q ； a、我們有(M)Pf0o(l-7)(sin 0_5sin pr)sLn0(l-/) + 6an0(f-)sm0$(l +

11、 5)sin0(l-s)sui0s0(sm0-jsin 0”)(1 +J)sin 0(1-s) sin /3s7)az aa. a“)_“$( 7)0(sm0-6sLn077)(1一3)(l + $)sm0(l-)(sin. 0-Jan Prj)(l-T)情形2： 5e7Uo如果“1,則有G(M)= O,g(j)=O,結(jié)論成立。如果$如)則同情形1易得知如分別 使 H(U)血 0,H (t,s)jSl 2 0 成立.取“ =“，對(duì)(G-r)e0,lx0,l,有 二0 ,相應(yīng)地“g(s)nG(f,s)。設(shè)。($) =則 G(/,j) (5), r,5 e0,1同理,可證存在“二0使H(G5)ji

12、z 0, H 0, (r,3)e a,l- ax 0,1.由此即得格林函數(shù)下界.取0 v “ S nun“$“q 心“如，對(duì) “有 H (“) 以下邊值問(wèn)題-十- 0，x(/) = p(f),O vf 1,證明：設(shè)工是邊值問(wèn)題U.2)OPEN ACCESS59劉健.封漢穎I帶枳分邊界條件的二階非線性邊值問(wèn)題的止解OPEN ACCESS#劉健.封漢穎I帶枳分邊界條件的二階非線性邊值問(wèn)題的止解的一個(gè)解.則邊值問(wèn)題(2.2丿等價(jià)于(24丿設(shè)亍二C|cos0/ + C2sm0/。由邊界條件得到代入(2.4)易得證引理成立。定義輔助函數(shù)(M)= | l-tanfflCS/?Jc0S/?7 k/(5)+

13、竺也一b(s). 0sS】+竺b()9 0/,5 1 .C0,l為實(shí)Banach空間，英范數(shù)定義卜卜sup |.v(r)|。錐xe C0: x(/)20八0,1 (2.5)(Hj a.be C(0,0K)使輔助函數(shù)0(人$)滿足OS? = mm0(/,$) 0/,5 1 A/ := max(人$)】0 /,5 1| 1(26)定義線性算子S C01tCO川(27丿引理24：線性算子S有界，S(P)UP另外，S可|(/-S)-，|y-L-.證明：1)由S的立義得其線性，由(2.6八2.7丿知對(duì)VxeCO,l有|(Sx)卜J；0(/,$)|x(s)|d$S M |卜|,這即證明 了其有界性。2)

14、因?yàn)閷?duì)V乍eO,l有旳,$)亠0,故對(duì)V.veP有(Sx)20,因此S(F)uP3) 由(2.6)與(2.7)知對(duì) V.r C0,l有卜丫卜冊(cè)洶)卜席“心)卜($)血“卜1卜lb由此&出l|s|SM 1, /-s可逆。對(duì) re 04,當(dāng)且僅當(dāng) x(t)=y(t)+(Sx)(t) ttf x(t) = (/-S)1 y(t) S 的定義表明x(=)，+ J：0(/異)x)ds(2.8)由M1知1不為孩0(人$)的特征值，故(2.8)對(duì)任意連續(xù)函數(shù)y有唯一解x逐次代入得x(/)二 y+ J；H,s)y($)d$(2.9)預(yù)解核 H (/,$) =U，$), 0 S /,$ S1,札(/,$) =

15、0(f)，A ，$) = J； 0(y )0“(G$)d r,(j = 2,3,)./-I|(M)|/n亦可得到/(M).11_M1-wi因此由(2.8) (2.9)有(/-Sy(/)=y(f) + J；H(f,$)y(s)d$(2.10)所以我們得到|(/7)“)，(*艸)|+呂4；心)(占卜|。如下定義算子A.KIP(2.11)(Ax)(/) =(7x)(r)+J H (/,x)(7x)(5)dj(7k)(f) = J；G(/,s)/i(s”(s,x(s)ds則邊值問(wèn)題(11)正解的存在性問(wèn)題等價(jià)于K中算子A不動(dòng)點(diǎn)的存在性及個(gè)數(shù)問(wèn)題。3主要結(jié)果下而給出主要結(jié)果及英證明。 定義：/0=lun

16、supZ(, Aim inf 也：人mf 如：/-Lunsup 仝2mtO誠(chéng)Uu*ut 試u定理3.1：假設(shè)(HjrHs丿成立則邊值問(wèn)題(11淮和幾=8(超線性丿或=00和宀 X次線性丿時(shí)至 少存在一個(gè)正解。(31)(3.2)Ax(r)= f*G(G5)A(j)/(s,x(j)dj+JoIA/(z,5)G(5,t)/i(r)/(r,A(r)drd5, t e 0,1由引理22及引理2.4可得0Zk2L|Av|,這說(shuō)明AK u K。從而易證A.KK全連續(xù)。電21-zn111首先考慮超線性情形：/=0, L=a)a因?yàn)? 0,選取H, 0使對(duì)任意t,u e 0,lx(0,/J,有/(/,“) S刃

17、,梵中& 0滿足：占仙(訕唇1因此,如果xeK且卜卜絢,由(3.2)和(3.4)有山(f)s 詁討;e($)M$”i：$，H$)ds(5)A(5)X(5)d5占氏心卜dN (34丿(3.5)取&卜|耳,（3.5）表明(3.6)|Ar|0使當(dāng)（r,u）ea,l-ax/f,-K）,有/（/,“）王p“，其中q0的選取滿足（）他艸）2(3.7)xeE.l川V 。則對(duì)于X K且卜|二日2有f ea,l-a 故對(duì)/eaj-al 有山二占抽(sM(s)/(s,x(s)ds7P1 一 m(s)h(s)x(s)ds，晉呻5（訕訓(xùn)故有|Av|.v|,xe/CAdQ,（3.8）根據(jù)定理1.1的第一部分知A有一個(gè)不

18、動(dòng)點(diǎn)Ze/cn（n,Q1）也是邊值問(wèn)題（1.1丿的正解。接著.我們考虔次線性情形：/0=8和廣=0。OPEN ACCESS63劉健.封漢穎I帶枳分邊界條件的二階非線性邊值問(wèn)題的止解(3.9)(310)(32)(3.13)因?yàn)槿?8 首先選取他0使當(dāng)(f,)ea-ax0,H3，有/(M)h6f 中o 0滿足 :丁了)膽力】(1-加)對(duì)于xeK 且|.v|= H3,由(3.9),對(duì)/ea,l-a有A)n 土萬(wàn) J；e(s)/】(s)y(s,x($)ds工21耳糾肌樸心皿環(huán)II(1-加)因此取QJ=xe |.v|x|, xeKPlOj因?yàn)?s 則存在片0使當(dāng)uH,有z o英中u滿足希膽(訕艸s】考慮兩種情形：1)若f有界,即對(duì)VxeO,g),有/(/,x)SN。在該情形下選取/ umaxpH?，丁冷J；(s)力(s)ds使對(duì)于 Pxe K 及卜|=比,N心OJ因此，|AH|n|o2)若/無(wú)界，選取巧=max方丄巧使/(/,x)/(r,/4), 0x/4 對(duì) xeK 及 |.v| = H4,由(3.2)、(3.11)和(3,(心($，仏)山S笆汀(訕(s)dsSH嚴(yán)卜|,呵0,1即得冏I邙卜因此 從兩方而均可取Q4-.teE,| v|/4使得|Aj| |.r|,