第三節(jié)有效數(shù)字

1、例：用米尺測量物體的長度例：用米尺測量物體的長度 L1= L2=3.4 3.45 6 5 6 3.4 3.4定義：在測量結(jié)果的數(shù)字表示中，定義：在測量結(jié)果的數(shù)字表示中，由若干位可靠數(shù)字加一位可疑數(shù)由若干位可靠數(shù)字加一位可疑數(shù)字，便組成了有效數(shù)字。字，便組成了有效數(shù)字。顯然有效數(shù)字的最后一位是誤差第一位顯然有效數(shù)字的最后一位是誤差第一位. .上述例子中的測量結(jié)果均為三位上述例子中的測量結(jié)果均為三位有效數(shù)字有效數(shù)字 1.1.關(guān)于關(guān)于“0”0”的有效問題的有效問題. .當(dāng)當(dāng)“0”0”在數(shù)字中間或末尾時(shí)有在數(shù)字中間或末尾時(shí)有效效如：如：cm.041225020m.A.0001、等中的等中的0均有效。均

2、有效。注意注意：不能在數(shù)字的末尾隨便加不能在數(shù)字的末尾隨便加“0”0”或減或減“0”0”8500. 2850. 285. 2數(shù)學(xué)上：數(shù)學(xué)上：物理上：物理上：8500. 2850. 285. 2這是因?yàn)檎`差所在位不同，既準(zhǔn)確度是不同的這是因?yàn)檎`差所在位不同，既準(zhǔn)確度是不同的.1.1.關(guān)于關(guān)于“0”0”的有效問題的有效問題. .小數(shù)點(diǎn)前面的小數(shù)點(diǎn)前面的“0”0”和緊接和緊接小數(shù)點(diǎn)后面的小數(shù)點(diǎn)后面的“0”0”不算作有效不算作有效數(shù)字?jǐn)?shù)字如：如： 0.123cm 、 0.0123dm 、0.00123m均是均是3位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。注意：注意：進(jìn)行單位換算時(shí)，有效進(jìn)行單位換算時(shí)，有效數(shù)字的位數(shù)不變

3、數(shù)字的位數(shù)不變.(.(指十進(jìn)制指十進(jìn)制) )2.2.數(shù)值的科學(xué)記數(shù)法數(shù)值的科學(xué)記數(shù)法數(shù)據(jù)過大或過小時(shí)，可用科學(xué)表達(dá)式數(shù)據(jù)過大或過小時(shí)，可用科學(xué)表達(dá)式某電阻值為某電阻值為2000020000（歐姆），保留三位有效數(shù)（歐姆），保留三位有效數(shù)字時(shí)寫成字時(shí)寫成 2.002.00 10104 4 又如數(shù)據(jù)為又如數(shù)據(jù)為0.0000325m0.0000325m，使用科學(xué)記數(shù)法寫成，使用科學(xué)記數(shù)法寫成3.253.25 1010-5-5m m這種指數(shù)形式的書寫法稱為科學(xué)記數(shù)法。這種指數(shù)形式的書寫法稱為科學(xué)記數(shù)法。注意注意:只要其指數(shù)不大于只要其指數(shù)不大于20或小于或小于-20，通過合理換，通過合理換算單位，數(shù)據(jù)

4、表達(dá)式更簡單，可讀性好。算單位，數(shù)據(jù)表達(dá)式更簡單，可讀性好。如如:2.00*104HZ寫成寫成20.0KHZ，1.23*10-9m寫成寫成1.23nm3.3.有效數(shù)字與儀器的關(guān)系有效數(shù)字與儀器的關(guān)系 2020分度游標(biāo)卡尺分度游標(biāo)卡尺 L=2.525cmL=2.525cm （四位有效數(shù)字）（四位有效數(shù)字）螺旋測微計(jì)螺旋測微計(jì) L=2.5153cmL=2.5153cm （五位有效數(shù)字）（五位有效數(shù)字）米尺米尺 L=2.52cm L=2.52cm （三位有效數(shù)字）（三位有效數(shù)字）有效數(shù)字的位數(shù)有效數(shù)字的位數(shù) 測量值測量值本身大小、儀器的準(zhǔn)確度本身大小、儀器的準(zhǔn)確度4.4.誤差和不確定度的有效位數(shù)誤差

5、和不確定度的有效位數(shù)1.已定的系統(tǒng)誤差（比如零差）及相應(yīng)的相對(duì)已定的系統(tǒng)誤差（比如零差）及相應(yīng)的相對(duì)誤差、修正值具有若干位可靠數(shù)字和一位可疑誤差、修正值具有若干位可靠數(shù)字和一位可疑數(shù)字。數(shù)字。 如：重力加速度測量值如：重力加速度測量值 ，公認(rèn)值，公認(rèn)值為為 ，則絕對(duì)誤差是，則絕對(duì)誤差是 已定的系已定的系統(tǒng)誤差，為三位有效數(shù)字，相對(duì)誤差統(tǒng)誤差，為三位有效數(shù)字，相對(duì)誤差 也是已定的，為三位有效數(shù)字。也是已定的，為三位有效數(shù)字。 2m/s856 . 9g2792m/s. 920.107m/sg1.10%gE2.偶然誤差、不確定度及不確定度分量、相對(duì)不確偶然誤差、不確定度及不確定度分量、相對(duì)不確定度等

6、，所有位數(shù)都是可疑的，沒有可靠位數(shù)，只定度等，所有位數(shù)都是可疑的，沒有可靠位數(shù)，只有可疑位數(shù)，都是一位有效數(shù)字。實(shí)際應(yīng)用中，為有可疑位數(shù)，都是一位有效數(shù)字。實(shí)際應(yīng)用中，為了減少計(jì)算誤差，一般用了減少計(jì)算誤差，一般用兩位可疑數(shù)字兩位可疑數(shù)字?jǐn)?shù)字表示，數(shù)字表示，但有效位數(shù)但有效位數(shù)仍是一位仍是一位。 決定決定N的有效位數(shù)的有效位數(shù))(單位 NN210010cma. cmb0100220. 2m/s) 1 . 09 . 9(g2m/s)14. 087. 9 (g（1 1）用米尺測長度）用米尺測長度讀數(shù)的一般規(guī)則：讀數(shù)的一般規(guī)則：如果誤差不知道或不明確時(shí)，可讀至儀器最小分度如果誤差不知道或不明確時(shí)，可

7、讀至儀器最小分度的下一位；如果誤差已知，讀至產(chǎn)生誤差的那一位。的下一位；如果誤差已知，讀至產(chǎn)生誤差的那一位。注意注意:在申明了誤差大小的情況下，也可以多讀一位。在申明了誤差大小的情況下，也可以多讀一位。當(dāng)物體長度在當(dāng)物體長度在2424與與2525之間時(shí)，之間時(shí)， 讀數(shù)為讀數(shù)為24.X24.X當(dāng)讀數(shù)正好為當(dāng)讀數(shù)正好為2424時(shí)讀數(shù)為時(shí)讀數(shù)為24.024.0被測物體（1 1）用米尺測長度）用米尺測長度（2 2）用）用0.10.1級(jí)量程為級(jí)量程為100mA100mA電流表測電流電流表測電流 讀數(shù)的一般規(guī)則：讀數(shù)的一般規(guī)則：如果誤差不知道或不明確時(shí)，可讀至儀器最小分度如果誤差不知道或不明確時(shí)，可讀至儀

8、器最小分度的下一位；如果誤差已知，讀至產(chǎn)生誤差的那一位。的下一位；如果誤差已知，讀至產(chǎn)生誤差的那一位。儀儀= 100mA= 100mA0.1% = 0.1mA0.1% = 0.1mA指針在指針在82mA82mA與與83mA83mA之間：讀為之間：讀為82.82.* * mA mA指針正好在指針正好在82mA82mA上：讀為上：讀為82.0mA82.0mA對(duì)于對(duì)于0.1級(jí)表：級(jí)表：儀儀=100mA1.0%=1mA對(duì)于對(duì)于1.0級(jí)表級(jí)表指針在指針在82mA82mA與與84mA84mA之間：之間： 可讀為可讀為82mA82mA、83mA83mA或或84mA84mA指針正好在指針正好在82mA82mA

9、上：讀為上：讀為82mA82mA 1. 如果最小刻度的如果最小刻度的1/10定義為可以連續(xù)讀數(shù)儀器的定義為可以連續(xù)讀數(shù)儀器的分辨率，對(duì)于不可以連續(xù)讀數(shù)的儀器，分辨率就是最分辨率，對(duì)于不可以連續(xù)讀數(shù)的儀器，分辨率就是最小讀數(shù)。當(dāng)分辨率落在儀器誤差的下一位時(shí)，這一位小讀數(shù)。當(dāng)分辨率落在儀器誤差的下一位時(shí)，這一位四舍五入就可以了。四舍五入就可以了。 例如：數(shù)字電壓表的分辨率是例如：數(shù)字電壓表的分辨率是0.1mV，測顯示值為，測顯示值為150.2mV電壓時(shí)的儀器誤差是電壓時(shí)的儀器誤差是2.8mV，則測量值的有，則測量值的有效數(shù)字應(yīng)寫為效數(shù)字應(yīng)寫為150mV。 2.實(shí)際應(yīng)用時(shí)，如果不計(jì)算不確定度，應(yīng)該按

10、以上實(shí)際應(yīng)用時(shí)，如果不計(jì)算不確定度，應(yīng)該按以上有效數(shù)字的規(guī)則讀數(shù)。如果計(jì)算不確定度，可以不考有效數(shù)字的規(guī)則讀數(shù)。如果計(jì)算不確定度，可以不考慮儀器誤差，全部按分辨率讀數(shù)。慮儀器誤差，全部按分辨率讀數(shù)。 說明：說明：總結(jié)總結(jié): :讀數(shù)前讀數(shù)前, ,應(yīng)先清楚儀器應(yīng)先清楚儀器的誤差所在的位置的誤差所在的位置, ,然后按然后按規(guī)則讀數(shù)規(guī)則讀數(shù), ,即可正確確定直即可正確確定直接測量量的有效數(shù)字接測量量的有效數(shù)字. .1.1.加減法加減法（一）通過（一）通過 如不知道直接測量量的不確定度時(shí)，可以如不知道直接測量量的不確定度時(shí)，可以使用運(yùn)算法則來確定。使用運(yùn)算法則來確定。例例 162 . 5 + 1. 23

11、4 = 63 . 7 62.5+ 1.23463.734結(jié)果為結(jié)果為 63.7例例 263 . 7 - 5. 43 = 58 . 3 63. 7 - 5. 4358. 27結(jié)果為結(jié)果為 58.31.1.加減法加減法加減法運(yùn)算后的有效數(shù)字的最后一位，取到加減法運(yùn)算后的有效數(shù)字的最后一位，取到參與運(yùn)算各數(shù)中最靠前出現(xiàn)可疑數(shù)的那一位。參與運(yùn)算各數(shù)中最靠前出現(xiàn)可疑數(shù)的那一位。運(yùn)算規(guī)則：運(yùn)算規(guī)則：例例3 20.1 + 4.178 = 24.3 20.1+ 4.17824.278結(jié)果為結(jié)果為 24.3例例4 19.68 - 5.848 = 13.83 19.68- 5.848 13.832結(jié)果為結(jié)果為 1

12、3.831.1.加減法加減法2.2.乘除法乘除法例例 53.21 6.5 = 21 3.21 6.51605結(jié)果為結(jié)果為 21192620.865 例例621 21.843=0.96_結(jié)果為結(jié)果為 0.96_210000218431965879610.13105813413030720218438877_ _ _ _1.1.加減法加減法2.2.乘除法乘除法乘除運(yùn)算后結(jié)果的有效數(shù)字一般以參與運(yùn)算乘除運(yùn)算后結(jié)果的有效數(shù)字一般以參與運(yùn)算各數(shù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的為準(zhǔn)。各數(shù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的為準(zhǔn)。運(yùn)算規(guī)則運(yùn)算規(guī)則:4.178 10.1 = 42.2 4.178 10.14178結(jié)果為結(jié)果為 42.24

13、17842.1978 例例748216 123=392123 48216392369113111072462460_結(jié)果為結(jié)果為 392_例例81.1.加減法加減法2.2.乘除法乘除法3.3.乘方與開方乘方與開方結(jié)果的有效數(shù)字與其底或被開結(jié)果的有效數(shù)字與其底或被開方數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。方數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。錯(cuò)誤錯(cuò)誤正確正確運(yùn)算規(guī)則：運(yùn)算規(guī)則：1002=100 1024.02=164.02=16.0例例949 7.049 7100 10.01.1.加減法加減法2.2.乘除法乘除法3.3.乘方與開方乘方與開方4.4.函數(shù)運(yùn)算函數(shù)運(yùn)算(1)對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)lgxlgx的尾數(shù)與的尾數(shù)與x x的位數(shù)

14、相同的位數(shù)相同例例 10lg 100 = 2.000 lg 1.983 = 0.297322714 0.2973lg 1983 = 3.29722714 3.2973 (2)(2)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)1010 x x或或e ex x的位數(shù)和的位數(shù)和x x小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)相同（包括緊接小數(shù)點(diǎn)后面的相同（包括緊接小數(shù)點(diǎn)后面的0 0）例例 11106.25=1778279.41 1.8 106100.0035=1.00809611.0081.1.加減法加減法2.2.乘除法乘除法3.3.乘方與開方乘方與開方4.4.函數(shù)運(yùn)算函數(shù)運(yùn)算5.5.自然數(shù)與常量自然數(shù)與常量(一一)自然數(shù)不是測量值，不存在

15、誤差，自然數(shù)不是測量值，不存在誤差， 故有效數(shù)字是無窮位。故有效數(shù)字是無窮位。 常數(shù)常數(shù) 、e e等的位數(shù)可與參加運(yùn)算的等的位數(shù)可與參加運(yùn)算的 量中有效數(shù)字位數(shù)最少的位數(shù)相同量中有效數(shù)字位數(shù)最少的位數(shù)相同 或多取一位或多取一位。如在如在D=2RD=2R中，中，2 2不是一位有效數(shù)字，而是無窮位不是一位有效數(shù)字，而是無窮位例例 12L=2 R 其中其中R=2.35 10-2m 就應(yīng)取就應(yīng)取3.14(或或3.142)即即L=2 3.142 2.35 10-2=0.148(m)綜合運(yùn)算舉例綜合運(yùn)算舉例 50.00 ( 18.30 16.3 ) ( 103 3.0 ) ( 1.00 + 0.001 )

16、= 50.00 2.0 100 1.00= 1.0 102 100 = 1.0 例例 13 10.02 lg100.0 27.3211 27.31 35= 100 2.0000 0.012 104 35= 2 104 35例例 14 在已知直接測量量是不確定度的情況下，在已知直接測量量是不確定度的情況下，通過不確定度的傳播公式求出間接測量量的通過不確定度的傳播公式求出間接測量量的不確定度，再由不確定度決定間接測量量的不確定度，再由不確定度決定間接測量量的有效數(shù)字。有效數(shù)字。（二）用不確定度確定有效數(shù)字：（二）用不確定度確定有效數(shù)字：CBAN 其中：其中：2206043500302341cm.C

17、,cm.B 試確定試確定N的有效數(shù)字。的有效數(shù)字。（2）求出）求出N的不確定度的不確定度N 解：解：（1）)cm(.N2304584352341562 210562cm.A 22222NABCAC2221006010cm.).().( （3）用不確定度決定結(jié)果的有效數(shù)字）用不確定度決定結(jié)果的有效數(shù)字210358cm.N 即即 三位有效數(shù)字三位有效數(shù)字NC/ABN 其中：其中：cm.C,cm.B,cm.A0040843212056010213 試確定試確定N的有效數(shù)字。的有效數(shù)字。解：解：（2）計(jì)算不確定度）計(jì)算不確定度N 6528432100405620213010222222 .CBANCB

18、AN （1）先計(jì)算）先計(jì)算NcmN957. 08 .215 . 621. 3（3）根據(jù)不確定度決定有效數(shù)字，有：）根據(jù)不確定度決定有效數(shù)字，有：cmN03. 096. 0cm.N0309570652 即即 兩位有效數(shù)字兩位有效數(shù)字N首先用傳遞公式計(jì)算首先用傳遞公式計(jì)算 cosx 的不確定度的不確定度x=20018 x=1 0.0003 弧弧度度 求求 cos x 的有效數(shù)字的有效數(shù)字三角函數(shù)三角函數(shù)解：解：誤差第一位在小數(shù)點(diǎn)后第四位誤差第一位在小數(shù)點(diǎn)后第四位而而cos20o18=0.937889.根據(jù)不確定度得到根據(jù)不確定度得到:cos20o18=0.9379例例 17 cosx= |sinx| x = sin(20018) 0.0003 = 0.0001注意：注意：有效數(shù)字可以方便地表示出不確定度有效數(shù)字可以方便地表示出不確定度在哪一位，即方便地表達(dá)出了測量結(jié)果的好在哪一位，即方便地表達(dá)出了測量結(jié)果的好與壞。但與不確定度的傳遞結(jié)果相比，有效與壞。但與不確定度的傳遞結(jié)果相比，有效位數(shù)表示出的不確定度是很粗略的。因此，位數(shù)表示出的不確定度是很粗略的。因此，在處理時(shí)不計(jì)算不確定度的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)在處理時(shí)不計(jì)算不確定度的實(shí)驗(yàn)