第二章電磁場基本方程

1、2.1 2.1 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組 2.4 2.4 坡印廷定理坡印廷定理第第2 2章章 電磁場基本方程電磁場基本方程 2.5 2.5 電磁場的位函數(shù)電磁場的位函數(shù)2.2 2.2 電磁場的基本條件電磁場的基本條件 2.3 2.3 時諧電磁場的復(fù)數(shù)表示時諧電磁場的復(fù)數(shù)表示引引 一一. 電場力、電場強(qiáng)度電場力、電場強(qiáng)度1. 1. 電場力電場力 庫侖定律庫侖定律 12201()()4Eq qRFRR適用條件適用條件 兩個可視為點(diǎn)電荷的帶電體之間相互作用力兩個可視為點(diǎn)電荷的帶電體之間相互作用力; ; 無限大真空情況無限大真空情況 ( (式中式中 1291085. 836100F/m)F/m)可

2、推廣到無限大各向同性均勻介質(zhì)中可推廣到無限大各向同性均勻介質(zhì)中)(02. 2. 電場強(qiáng)度電場強(qiáng)度 庫侖定律還可以換一種方式來闡述：庫侖定律還可以換一種方式來闡述： 假定電荷假定電荷q=1C，于是電場力，于是電場力 即為即為q1對單位電荷的作用對單位電荷的作用力力,我們將這個特定大小的電場力我們將這個特定大小的電場力 稱為電場強(qiáng)度矢量稱為電場強(qiáng)度矢量 EFEFE12014qRERR由電場強(qiáng)度矢量可以得出兩個或多個彼此相對由電場強(qiáng)度矢量可以得出兩個或多個彼此相對靜止的電荷之間的作用力，所以電場強(qiáng)度表示靜止的電荷之間的作用力，所以電場強(qiáng)度表示了電場力。了電場力。 結(jié)論結(jié)論如果電荷是沿一曲線連續(xù)分布的

3、線電荷如果電荷是沿一曲線連續(xù)分布的線電荷 線電荷密度定義為線電荷密度定義為 0limllqdqldl dq在空間產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為在空間產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為 220044lRRdldqdEeeRR整個線電荷在空間產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為整個線電荷在空間產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為 2014lRldlEeR如果電荷是沿一曲面連續(xù)分布的面電荷如果電荷是沿一曲面連續(xù)分布的面電荷 面電荷密度定義為面電荷密度定義為 0limsSqdqSdS 整個面電荷在空間產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為整個面電荷在空間產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為 2014sRSdSEeR如果電荷在某空間體積內(nèi)連續(xù)分布如果電荷在某空間體積內(nèi)連續(xù)分布 體電荷密度定義為體電荷密度定義為 0l

4、imvVqdqVdV整個體電荷在空間產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為整個體電荷在空間產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為 2014vRVdVEeR二二 磁場力、磁感應(yīng)強(qiáng)度磁場力、磁感應(yīng)強(qiáng)度1. 1. 磁場力磁場力 當(dāng)電荷之間存在相對運(yùn)動，比如兩根載流導(dǎo)線，會當(dāng)電荷之間存在相對運(yùn)動，比如兩根載流導(dǎo)線，會發(fā)現(xiàn)另外一種力，它存在于這兩線之間，是運(yùn)動的電荷發(fā)現(xiàn)另外一種力，它存在于這兩線之間，是運(yùn)動的電荷即電流之間的作用力，我們稱其為磁場力即電流之間的作用力，我們稱其為磁場力 。 假定一個電荷假定一個電荷 q 以速度以速度 在磁場中運(yùn)動，則它所受在磁場中運(yùn)動，則它所受到磁場力為到磁場力為 vBFqvB這表明：一個單位電流與另外一個電流的作

5、用力可以這表明：一個單位電流與另外一個電流的作用力可以用一個磁感應(yīng)強(qiáng)度用一個磁感應(yīng)強(qiáng)度 來描述。來描述。 B2.2.磁感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度 磁場的特征是能對運(yùn)動電荷施力，其施力的情況雖磁場的特征是能對運(yùn)動電荷施力，其施力的情況雖然比較復(fù)雜，但我們可以用一個磁感應(yīng)強(qiáng)度來描述它然比較復(fù)雜，但我們可以用一個磁感應(yīng)強(qiáng)度來描述它, 即即將其定義為一個單位電流受到另外一個電流的作用力。將其定義為一個單位電流受到另外一個電流的作用力。 BFqvB已知磁場力已知磁場力考慮磁場中載流線元考慮磁場中載流線元 的受力情況，由于的受力情況，由于 IdldqdlIdldldqdqvdtdt所以所以BdFdqvdBIdld

6、B如圖：電流元如圖：電流元 和和 之間的作用力為之間的作用力為 11I dl22I dl011212224RI dledFI dlR01124RI dledBR比較比較BdFdqvdBIdldB可得可得畢奧畢奧-薩伐爾定律薩伐爾定律 運(yùn)用疊加原理，可得閉合回路運(yùn)用疊加原理，可得閉合回路1在空間所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度在空間所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度101124RlI dleBR上式是計算線電流周圍磁感應(yīng)強(qiáng)度的公式。磁感應(yīng)強(qiáng)度的單上式是計算線電流周圍磁感應(yīng)強(qiáng)度的公式。磁感應(yīng)強(qiáng)度的單位為牛頓位為牛頓/（安培米），在國際單位制中的單位為特斯拉。（安培米），在國際單位制中的單位為特斯拉。 024sRsJeBdsRs

7、J如果電流是分布在某一曲面上時，若面電流密度為如果電流是分布在某一曲面上時，若面電流密度為 ，則，則面電流在空間產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為面電流在空間產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 如果電流是分布在某一體積內(nèi)時，若面電流密度為如果電流是分布在某一體積內(nèi)時，若面電流密度為 ，則，則體電流在空間產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為體電流在空間產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 J024RvJeBdvR 當(dāng)一個電荷既受到電場力同時又受到磁場力的作用當(dāng)一個電荷既受到電場力同時又受到磁場力的作用時，我們稱這樣的合力為洛倫茲力。時，我們稱這樣的合力為洛倫茲力。FqEqvB我們也可以用這個表達(dá)式作為電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度的我們也可以用這個表達(dá)式作為電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)

8、度的定義式。定義式。 即即三三 洛倫磁力洛倫磁力 v重要特性：電荷在電場中會受到力重要特性：電荷在電場中會受到力( (稱電場力稱電場力) )的作用。的作用。vE E 取決于源取決于源( (帶電體帶電體) )的電量、形狀及分布情況的電量、形狀及分布情況, ,它可以是它可以是時變的時變的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場及所受的力是計算其它復(fù)雜情況的基礎(chǔ)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場及所受的力是計算其它復(fù)雜情況的基礎(chǔ)0limqqFE電場電場v實(shí)驗(yàn)證明：電場力大小與電荷所在位置的電場強(qiáng)度大實(shí)驗(yàn)證明：電場力大小與電荷所在位置的電場強(qiáng)度大小成正比，即：小成正比，即：FqEv重要特性：在磁場中運(yùn)動的電荷重要特性：在磁場中運(yùn)動的電荷( (電流

9、電流) )會受到力會受到力( (稱磁場稱磁場力力) )的作用。的作用。v磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B:B:描述空間磁場的分布描述空間磁場的分布( (大小和方向大小和方向) )。B B的方向由磁場力和速度的方向確定。的方向由磁場力和速度的方向確定。B B 取決于源取決于源( (帶電體帶電體) )的電量、形狀及運(yùn)動的電量、形狀及運(yùn)動分布情況分布情況max0limqFBvq磁場磁場FqvB2.1.1 由電通量與高斯定律導(dǎo)出麥克斯韋第一方程由電通量與高斯定律導(dǎo)出麥克斯韋第一方程 esD dSq 凡是矢量場，均有通量可言。電力線的數(shù)目就稱為電通量凡是矢量場，均有通量可言。電力線的數(shù)目就稱為電通量 。

10、規(guī)定規(guī)定一個電荷一個電荷q所產(chǎn)生的力線條數(shù)（即電通量）等于所產(chǎn)生的力線條數(shù)（即電通量）等于用庫侖表示的電荷的大小。用庫侖表示的電荷的大小。 用符號用符號 表示球面上的電通量密度，即表示球面上的電通量密度，即 D24qRDRR于是，通過整個球面的電通量為于是，通過整個球面的電通量為 電通量密度與電場強(qiáng)度的關(guān)系為電通量密度與電場強(qiáng)度的關(guān)系為 0DE根據(jù)高斯定律根據(jù)高斯定律 SVVD dSDdVQqdV可得可得麥克斯韋第一方程麥克斯韋第一方程 ：D 0/E 或或若閉合曲面所包圍的電荷多于一個以上，則電通量關(guān)系應(yīng)若閉合曲面所包圍的電荷多于一個以上，則電通量關(guān)系應(yīng)改寫為改寫為 esD dSq 并且并且電

11、場強(qiáng)度電場強(qiáng)度 穿出球面的電場強(qiáng)度通量為穿出球面的電場強(qiáng)度通量為 E0/sE dSq2.1.2 由法拉第電磁感應(yīng)定律與斯托克斯定律由法拉第電磁感應(yīng)定律與斯托克斯定律導(dǎo)出麥克斯韋第二方程導(dǎo)出麥克斯韋第二方程 法拉第電磁感應(yīng)定律法拉第電磁感應(yīng)定律 mdedt 可得可得麥克斯韋第二方程麥克斯韋第二方程 ：BEt 感應(yīng)電動勢感應(yīng)電動勢 leE dl閉合路徑所包圍的磁通閉合路徑所包圍的磁通 msB dS根據(jù)斯托克斯定律根據(jù)斯托克斯定律 ()lssBE dlE dSdSt 2.1.3 由磁通量與高斯定律導(dǎo)出麥克斯韋第三方程由磁通量與高斯定律導(dǎo)出麥克斯韋第三方程 磁通連續(xù)性原理磁通連續(xù)性原理 0SB dS可

12、得可得麥克斯韋第三方程麥克斯韋第三方程 ：0B 穿過開表面積穿過開表面積S S的磁通的磁通 msB dS根據(jù)高斯定律根據(jù)高斯定律 0SVB dSBdV1. 1. 傳導(dǎo)電流、運(yùn)流電流和位移電流傳導(dǎo)電流、運(yùn)流電流和位移電流 自由電荷在導(dǎo)電媒質(zhì)中作有規(guī)則運(yùn)動而形成自由電荷在導(dǎo)電媒質(zhì)中作有規(guī)則運(yùn)動而形成 傳導(dǎo)電流傳導(dǎo)電流2.1.4 由安培環(huán)路定律與斯托克斯定律由安培環(huán)路定律與斯托克斯定律導(dǎo)出麥克斯韋第四方程導(dǎo)出麥克斯韋第四方程 ABddIRR dlRdS1dIddSdl 為電阻率，為電阻率， /cdIdSJ/ddlE（電場強(qiáng)度與電勢的關(guān)系）（電場強(qiáng)度與電勢的關(guān)系） 此式說明傳導(dǎo)電流密度服從于歐姆定律此

13、式說明傳導(dǎo)電流密度服從于歐姆定律(ohms law)，并且，并且傳導(dǎo)電流為傳導(dǎo)電流為 傳導(dǎo)電流的電流密度傳導(dǎo)電流的電流密度 與電場強(qiáng)度與電場強(qiáng)度 的關(guān)系為：的關(guān)系為： cJEccsiJ dscJEcEJE 形成運(yùn)流電流的電荷在運(yùn)動時并不受到碰撞阻滯作用，形成運(yùn)流電流的電荷在運(yùn)動時并不受到碰撞阻滯作用，即使存在與其它粒子發(fā)生碰撞的機(jī)率，其作用也微乎其微，即使存在與其它粒子發(fā)生碰撞的機(jī)率，其作用也微乎其微，可忽略不計，因此運(yùn)流電流不服從于歐姆定律?？珊雎圆挥?，因此運(yùn)流電流不服從于歐姆定律。 電荷在無阻力空間作有規(guī)則運(yùn)動而形成電荷在無阻力空間作有規(guī)則運(yùn)動而形成 運(yùn)流電流運(yùn)流電流dlvdt假設(shè)存在一個

14、電荷體密度為假設(shè)存在一個電荷體密度為 的區(qū)域，在電場作用下，電的區(qū)域，在電場作用下，電荷以平均速度荷以平均速度v 運(yùn)動，在運(yùn)動，在dt 時間內(nèi)，電荷運(yùn)動的距離為時間內(nèi)，電荷運(yùn)動的距離為dl則則dqdSdlvdSdt如果存在一個面積元如果存在一個面積元 dS，當(dāng)運(yùn)動電荷垂直穿過面積元時，當(dāng)運(yùn)動電荷垂直穿過面積元時， dt 時間內(nèi)穿過的總電量為時間內(nèi)穿過的總電量為 vdqdivdSdtvvdiJvds式中運(yùn)流電流密度為式中運(yùn)流電流密度為 通常，傳導(dǎo)電流與運(yùn)流電流并不同時存在。通常，傳導(dǎo)電流與運(yùn)流電流并不同時存在。 則穿過的電流為則穿過的電流為 所以，運(yùn)流電流為所以，運(yùn)流電流為 vvvssidiv

15、dSJdS則穿過閉合面則穿過閉合面S的位移電流為：的位移電流為： 電介質(zhì)內(nèi)部的分子束縛電荷作微觀位移而形成電介質(zhì)內(nèi)部的分子束縛電荷作微觀位移而形成 位移電流位移電流作一個閉合面作一個閉合面S，假定其中所包圍的電量為，假定其中所包圍的電量為q，根據(jù)高斯定，根據(jù)高斯定律可知律可知 sqD dSddssdqDidSJdSdtt式中位移電流密度式中位移電流密度 0dDEJtt 傳導(dǎo)電流與位移電流傳導(dǎo)電流與位移電流2.2.電流連續(xù)性原理電流連續(xù)性原理 麥克斯韋假設(shè)，麥克斯韋假設(shè)， S S面內(nèi)自由電量面內(nèi)自由電量q q的增長應(yīng)與穿出的位移電流的增長應(yīng)與穿出的位移電流相一致，并且若指定穿出相一致，并且若指定

16、穿出S S面的電流為正，則面的電流為正，則 在時變電磁場空間，圍繞著通電導(dǎo)體作一閉合面在時變電磁場空間，圍繞著通電導(dǎo)體作一閉合面S，則，則穿入的傳導(dǎo)電流和運(yùn)流電流應(yīng)等于穿入的傳導(dǎo)電流和運(yùn)流電流應(yīng)等于S面內(nèi)自由電量面內(nèi)自由電量q的增加率的增加率，即，即 cvdqiidt()cvdsssDJdSJdSidSt于是可得于是可得()0cvdsJJJdS即即 0cvdiii此式稱為電流連續(xù)此式稱為電流連續(xù)性原理性原理電流連續(xù)性原理表明：在時電流連續(xù)性原理表明：在時變場中，在傳導(dǎo)電流中斷處變場中，在傳導(dǎo)電流中斷處必有運(yùn)流電流或位移電流接必有運(yùn)流電流或位移電流接續(xù)。續(xù)。 0cvdEJJJJEvt其中其中 通

17、常，又將通常，又將電流連續(xù)性原理稱為電流連續(xù)性原理稱為全電流定律，該定理揭全電流定律，該定理揭示了不僅傳導(dǎo)電流激發(fā)磁場，變化的電場也可以激發(fā)磁場。示了不僅傳導(dǎo)電流激發(fā)磁場，變化的電場也可以激發(fā)磁場。它與變化的磁場激發(fā)電場形成自然界的一個對偶關(guān)系。它與變化的磁場激發(fā)電場形成自然界的一個對偶關(guān)系。麥克斯韋由此預(yù)言電磁波麥克斯韋由此預(yù)言電磁波0sJdS或或 稱為全電流稱為全電流密度密度 傳導(dǎo)電流與位移電流傳導(dǎo)電流與位移電流()0DJt P31 (2-1-12)3.3.麥克斯韋第四方程麥克斯韋第四方程 靜電場的環(huán)流為零靜電場的環(huán)流為零0lE dl穩(wěn)恒磁場的環(huán)流如何呢？穩(wěn)恒磁場的環(huán)流如何呢？?lB dl

18、說明靜電場是保守場；說明靜電場是保守場； 對任何矢量場基本性質(zhì)的研究，就是考察它的對任何矢量場基本性質(zhì)的研究，就是考察它的通量和環(huán)流。通量和環(huán)流。對穩(wěn)恒磁場環(huán)流的研究形成了安培環(huán)路定理。對穩(wěn)恒磁場環(huán)流的研究形成了安培環(huán)路定理。與環(huán)路成右旋關(guān)系的電流取正與環(huán)路成右旋關(guān)系的電流取正。0iliB dlI 內(nèi) 在真空中的穩(wěn)恒電流磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度在真空中的穩(wěn)恒電流磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度 沿任意閉沿任意閉合曲線的線積分（也稱合曲線的線積分（也稱 的環(huán)流）的環(huán)流）, , 等于穿過該閉合曲線的等于穿過該閉合曲線的所有電流強(qiáng)度所有電流強(qiáng)度 （即穿過以閉合曲線為邊界的任意曲面的電流（即穿過以閉合曲線為邊界的任意曲面

19、的電流強(qiáng)度）的代數(shù)和的強(qiáng)度）的代數(shù)和的0 0倍。倍。BBI安培環(huán)路定理安培環(huán)路定理磁感應(yīng)強(qiáng)度的環(huán)流只與環(huán)路內(nèi)的電流有關(guān)，但環(huán)路磁感應(yīng)強(qiáng)度的環(huán)流只與環(huán)路內(nèi)的電流有關(guān)，但環(huán)路上一上一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度是由環(huán)路內(nèi)、外電流共同產(chǎn)生的。點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度是由環(huán)路內(nèi)、外電流共同產(chǎn)生的。安培環(huán)路定理揭示了磁場的基本性質(zhì)之一，磁場是有旋安培環(huán)路定理揭示了磁場的基本性質(zhì)之一，磁場是有旋場，是非保守場，故磁場中不能引入勢能的概念。場，是非保守場，故磁場中不能引入勢能的概念。討論討論0iliB dlI 內(nèi)當(dāng)電流呈面分布時當(dāng)電流呈面分布時0lSB dlJ dS 定義自由空間用磁場強(qiáng)度定義自由空間用磁場強(qiáng)度 表示的磁通密度為表

20、示的磁通密度為 H0BH則安培環(huán)路定律可寫成則安培環(huán)路定律可寫成 lHdlIiiII內(nèi) 在時變場中，應(yīng)將安培環(huán)路定律中的電流拓廣為全電在時變場中，應(yīng)將安培環(huán)路定律中的電流拓廣為全電流，即流，即 ()cvdlsHdlJJJds 其中其中麥克斯韋麥克斯韋第四方程第四方程由斯托克斯定律得由斯托克斯定律得()cvdlssHdlHdsJJJds cvddHJJJJJ 即即0EDHJJtt 20/cBJEt 或或2.1.5 微分形式的麥克斯韋方程組微分形式的麥克斯韋方程組 將上面推導(dǎo)出的麥克斯韋方程列寫在一起，就得到了微將上面推導(dǎo)出的麥克斯韋方程列寫在一起，就得到了微分形式的麥克斯韋方程組分形式的麥克斯韋

21、方程組 。 020E/E/ tB0B/ tBcJE 或或DE/ tB0H/ tBJD 0/E 將電場與其場源將電場與其場源電荷密度電荷密度聯(lián)系了起來，實(shí)際上，它是庫聯(lián)系了起來，實(shí)際上，它是庫侖定律的另一種形式。侖定律的另一種形式。 第一方程第一方程/EBt 表明了隨時間變化的磁場會產(chǎn)表明了隨時間變化的磁場會產(chǎn)生電場生電場 這是法拉第電磁感這是法拉第電磁感應(yīng)定律的微分形式應(yīng)定律的微分形式 。 第二方程第二方程0B表明了在形成磁場的源中，不表明了在形成磁場的源中，不存在存在“點(diǎn)磁荷點(diǎn)磁荷磁力線始終磁力線始終閉合閉合 。 第三方程第三方程20/cBJEt表明了產(chǎn)生磁場的源是電流或表明了產(chǎn)生磁場的源是

22、電流或變化的電場變化的電場安培定律的另安培定律的另一種表現(xiàn)形式。一種表現(xiàn)形式。 第四方程第四方程2.1.6 麥克斯韋方程的積分形式麥克斯韋方程的積分形式 根據(jù)高斯定理和斯托克斯定理，可將微分形式的麥克斯根據(jù)高斯定理和斯托克斯定理，可將微分形式的麥克斯韋方程轉(zhuǎn)化為積分形式的麥克斯韋方程。韋方程轉(zhuǎn)化為積分形式的麥克斯韋方程。 DE/ tB0H/ tBJD 轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為0()ssssssD dSQBE dldStB dSDH dlJdSt其中引出了三個其中引出了三個媒質(zhì)特性方程媒質(zhì)特性方程BHDEJE33()()()0()HEEtEHtHE 0/EHEtHEtHE 限定形式的麥克斯韋方程限定形式的麥

23、克斯韋方程（均勻媒質(zhì)）（均勻媒質(zhì)）以上即為麥克斯韋所總結(jié)的微分形式（包括三個媒質(zhì)特性方以上即為麥克斯韋所總結(jié)的微分形式（包括三個媒質(zhì)特性方程）與積分形式（包括三個媒質(zhì)特性方程）的電磁場方程組程）與積分形式（包括三個媒質(zhì)特性方程）的電磁場方程組，又稱為電磁場的完整方程組。其所以稱為，又稱為電磁場的完整方程組。其所以稱為“完整完整”方程組方程組，是因?yàn)榉匠探M全面地描述了作為統(tǒng)一的電磁場的兩個方面，是因?yàn)榉匠探M全面地描述了作為統(tǒng)一的電磁場的兩個方面電場與磁場的相互關(guān)系，以及電場、磁場本身所具有的電場與磁場的相互關(guān)系，以及電場、磁場本身所具有的規(guī)律，和電場、磁場與其所處空間的媒質(zhì)的關(guān)系。具體地說規(guī)律，

24、和電場、磁場與其所處空間的媒質(zhì)的關(guān)系。具體地說，第一方程表明，電場是有散度場，即電場可以由點(diǎn)源電荷，第一方程表明，電場是有散度場，即電場可以由點(diǎn)源電荷所激發(fā)；第三方程表明，磁場為無散度場，即磁場不可能由所激發(fā)；第三方程表明，磁場為無散度場，即磁場不可能由單極磁荷所激發(fā)；而第二和第四方程則描述了電場與磁場相單極磁荷所激發(fā)；而第二和第四方程則描述了電場與磁場相互依存、相互制約并且相互轉(zhuǎn)化?；ヒ来?、相互制約并且相互轉(zhuǎn)化。35續(xù)續(xù) 一、一、 靜電場的散度與旋度靜電場的散度與旋度 01( ) d( )dSVE rSrV高斯定理表明高斯定理表明：靜電場是有源場，電力線起始于正電荷，終止靜電場是有源場，電力

25、線起始于正電荷，終止 于負(fù)電荷。于負(fù)電荷。靜電場的散度靜電場的散度（微分形式）（微分形式）1. 靜電場散度與高斯定理靜電場散度與高斯定理靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理（積分形式）（積分形式）( )0E r環(huán)路定理表明環(huán)路定理表明：靜電場是無旋場，是保守場，電場力做功與路徑靜電場是無旋場，是保守場，電場力做功與路徑 無關(guān)。無關(guān)。靜電場的旋度靜電場的旋度（微分形式）（微分形式）2. 靜電場旋度與環(huán)路定理靜電場旋度與環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理（積分形式）（積分形式）( ) d0CE rl0( )( )rE r36 在電場分布具有一定對稱性的情況下，可以利用高斯定理計在電場分布具有一定

26、對稱性的情況下，可以利用高斯定理計算電場強(qiáng)度。算電場強(qiáng)度。 3. 利用高斯定理計算電場強(qiáng)度利用高斯定理計算電場強(qiáng)度具有以下幾種對稱性的場可用高斯定理求解：具有以下幾種對稱性的場可用高斯定理求解： 球?qū)ΨQ分布球?qū)ΨQ分布：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等。包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等。帶電球殼帶電球殼多層同心球殼多層同心球殼均勻帶電球體均勻帶電球體aO037 無限大平面電荷無限大平面電荷：如無限大的均勻帶電平面、平板等。如無限大的均勻帶電平面、平板等。 軸對稱分布軸對稱分布：如無限長均勻帶電的直線，圓柱面，圓柱殼等。如無限長均勻帶電的直線，圓柱面，圓柱殼等。38 例例 求真空中

27、均勻帶電球體的場強(qiáng)分布。已知球體半徑為求真空中均勻帶電球體的場強(qiáng)分布。已知球體半徑為a ，電電 荷密度為荷密度為 0 。 解解：（1）球外某點(diǎn)的場強(qiáng)球外某點(diǎn)的場強(qiáng)30001 4d3SqESa（2）求球體內(nèi)一點(diǎn)的場強(qiáng)）求球體內(nèi)一點(diǎn)的場強(qiáng)001ddSVESVar0rrEa30203aEr233014443 3qr Era003rE（r 1、且、且 290，則則 10， 即電場線近似垂直于良導(dǎo)體表面。即電場線近似垂直于良導(dǎo)體表面。 此時，良導(dǎo)體表面可近似地看作為此時，良導(dǎo)體表面可近似地看作為 等位面；等位面； 若媒質(zhì)若媒質(zhì)1為理想介質(zhì)為理想介質(zhì)，即即 10，則則 J1=0，故故J2n= 0 且且 E

28、2n= 0，即導(dǎo)體，即導(dǎo)體 中的電流和電場與分界面平行中的電流和電場與分界面平行。520HJB微分形式微分形式: :0dddSSCSBSJlH1. 基本方程基本方程BH2. 邊界條件邊界條件本構(gòu)關(guān)系：本構(gòu)關(guān)系：SJHHeBBe)(0)(21n21nSJHHBBt2t12n1n0或或若分界面上不存在面電流，即若分界面上不存在面電流，即JS0，則，則積分形式積分形式: :0)(0)(21n21nHHeBBe或或002tt1n2n1HHBB2.3 麥克斯韋方程的時諧形式麥克斯韋方程的時諧形式 時變電磁場的一種最重要的類型是時間簡諧場（時變電磁場的一種最重要的類型是時間簡諧場（time time ha

29、rmonic fieldharmonic field）, ,簡稱時諧場。所謂時諧場即激勵源按照簡稱時諧場。所謂時諧場即激勵源按照單一頻率隨時間作正弦變化時所激發(fā)的也隨時間按照正弦變單一頻率隨時間作正弦變化時所激發(fā)的也隨時間按照正弦變化的場。在線性系統(tǒng)中，一個正弦變化的源在系統(tǒng)中所有的化的場。在線性系統(tǒng)中，一個正弦變化的源在系統(tǒng)中所有的點(diǎn)都將產(chǎn)生隨時間按照同樣規(guī)律（正弦）變化的場。對于時點(diǎn)都將產(chǎn)生隨時間按照同樣規(guī)律（正弦）變化的場。對于時諧場，我們可以用相量分析獲得單頻率（單色）的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)諧場，我們可以用相量分析獲得單頻率（單色）的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 在直角坐標(biāo)系中，電場強(qiáng)度矢量可用沿三個互為垂直在直角

30、坐標(biāo)系中，電場強(qiáng)度矢量可用沿三個互為垂直的坐標(biāo)軸的分量來表示，即的坐標(biāo)軸的分量來表示，即 xxyyzzE(x,y,z,t)E (x,y,z,t)eE (x,y,z,t)eE (x,y,z,t)e其中的三個分量可表示為其中的三個分量可表示為 xxmxE (x,y,z,t)E(x,y,z) os(t)cyymyE (x,y,z,t)E(x,y,z) os(t)czzmzE (x,y,z,t)E(x,y,z) os(t)c用復(fù)數(shù)的實(shí)部表示為用復(fù)數(shù)的實(shí)部表示為 ()xxmEReERexjtjtxmeEe()yymEReEReyjtjtymeEe()zzmEReERezjtjtzmeEe即即ERe()R

31、ejtjtxmxymyzmzmEeEeEeeE e運(yùn)用上述規(guī)則，可將麥克斯韋方程改寫為時諧形式運(yùn)用上述規(guī)則，可將麥克斯韋方程改寫為時諧形式 0DEB0HjBJjE 微分形式的時諧表示微分形式的時諧表示0()ssssssDd SQEd ljB d SB d SHd lJjDd S 積分形式的時諧表示積分形式的時諧表示例例2-3-1 復(fù)數(shù)形式的波動方程復(fù)數(shù)形式的波動方程56 進(jìn)入體積進(jìn)入體積V的能量體積的能量體積V內(nèi)增加的能量體積內(nèi)增加的能量體積V內(nèi)損耗的能量內(nèi)損耗的能量電場能量密度電場能量密度：2e1122wE DE磁場能量密度磁場能量密度：2m1122wH BH電磁能量密度電磁能量密度：em1

32、122wwwE DH B空間區(qū)域空間區(qū)域V中的電磁能量中的電磁能量：11d()d22VVWw VE DH BV 特點(diǎn)特點(diǎn)：當(dāng)場隨時間變化時，空間各點(diǎn)的電磁場能量密度也要隨：當(dāng)場隨時間變化時，空間各點(diǎn)的電磁場能量密度也要隨 時間改變，從而引起電磁能量流動。時間改變，從而引起電磁能量流動。 電磁能量守恒關(guān)系：電磁能量守恒關(guān)系： 電磁能量及守恒關(guān)系電磁能量及守恒關(guān)系ddWtVS2.4 坡印廷定理坡印廷定理57其中其中： 單位時間內(nèi)體積單位時間內(nèi)體積V 中所增加中所增加 的電磁能量。的電磁能量。 單位時間內(nèi)電場對體積單位時間內(nèi)電場對體積V中的電流所做的功；中的電流所做的功； 在導(dǎo)電媒質(zhì)中，即為體積在導(dǎo)

33、電媒質(zhì)中，即為體積V內(nèi)總的損耗功率。內(nèi)總的損耗功率。 通過曲面通過曲面S 進(jìn)入體積進(jìn)入體積V 的電磁功率。的電磁功率。 表征電磁能量守恒關(guān)系的定理表征電磁能量守恒關(guān)系的定理積分形式積分形式：VVSVJEVBHDEtSHEdd)2121(ddd)(VVJEdVVBHDEtd)2121(ddSSHEd)(JEBHDEtHE)2121()( 坡坡印廷定理印廷定理微分形式微分形式：58 定義：定義： ( W/m2 )HS 物理意義物理意義： 的方向的方向 電磁能量傳輸?shù)姆较螂姶拍芰總鬏數(shù)姆较騍 的大小的大小 通過垂直于能量傳輸方通過垂直于能量傳輸方 向的單位面積的電磁功率向的單位面積的電磁功率S 描述

34、時變電磁場中電磁能量傳輸?shù)囊粋€重要物理量描述時變電磁場中電磁能量傳輸?shù)囊粋€重要物理量 坡印廷矢量（電磁能流密度矢量）坡印廷矢量（電磁能流密度矢量） H S 能能流流密密度度矢矢量量 E O 例：例： 用坡印亭矢量分析直流電源沿同軸電纜向負(fù)載傳送能量的過用坡印亭矢量分析直流電源沿同軸電纜向負(fù)載傳送能量的過程。設(shè)電纜為理想導(dǎo)體，內(nèi)外半徑分別為程。設(shè)電纜為理想導(dǎo)體，內(nèi)外半徑分別為a和和b。解：解： 理想導(dǎo)體內(nèi)部電磁場為零。電磁場分布如圖所示。理想導(dǎo)體內(nèi)部電磁場為零。電磁場分布如圖所示。電場強(qiáng)度電場強(qiáng)度ln( / )Ub aEe2I He222ln /bAaUIPddUIb a SA 穿出任一橫截面的能量相等，電源提供的能量全部被負(fù)載吸收。穿出任一橫截面的能量相等，電源提供的能量全部被負(fù)載吸收。