高精度三角高程測(cè)量的嚴(yán)密公式

1、2004年第10期測(cè)繪通報(bào)15文章編號(hào):049420911(2004 1020015203中圖分類號(hào):TB22文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:B高精度三角高程測(cè)量的嚴(yán)密公式肖根旺1, 許提多2, 周文健1, 朱順生1(1. 中鐵大橋局集團(tuán)第一工程有限公司, 河南鄭州450053; 2. 西南交大, 四川成都610031The Strict Formula of High Precise T rigonometric LevelingXIAO G en 2wang , XU Ti 2duo , ZHOU Wen 2jian ,ZHU Shun 2sheng摘要:用邊長(zhǎng)幾千米的連續(xù)多跨高精度三角高程測(cè)量代替連續(xù)多跨的

2、二等跨海水準(zhǔn)測(cè)量, 在像杭州灣大橋跨度幾十千米的跨海工程中將得到應(yīng)用。為此要有相應(yīng)的公式與之配套, 在對(duì)現(xiàn)有公式評(píng)述的基礎(chǔ)上, 將直接用觀測(cè)天頂距導(dǎo)出了函數(shù)模型誤差小于0. 5mm 的嚴(yán)密三角高程測(cè)量計(jì)算公式, 為高精度三角高程測(cè)量在跨海工程中的應(yīng)用提供參考。關(guān)鍵詞:三角高程; 相對(duì)垂線偏差改正; 橢球項(xiàng)改正; 折光差改正一、三角高程測(cè)量公式評(píng)述嚴(yán)格來講, 垂線是一條空間曲線, 地面上的兩點(diǎn)的垂線切線是兩條空間異面直線(圖1 。但一般文獻(xiàn)用圖1中的平面三角形P 1O P 2導(dǎo)出的公式(1 , 其函數(shù)模型誤差達(dá)厘米級(jí), 不宜用在高精度三角高程高差測(cè)量中 。圖2由三角形P 1P 2Q 可知(180

3、°-Z 1 +(180°-Z 2 +=180°圖1(3 -Z 122將式(3 代入式(2 并略去二次小項(xiàng)可得Jordon 公因此式2cot Z 1+H 2-H 1=S 1, 2(1+R 12R 2S 2R sin Z 1=90°+K 2h 2-h 1=D 1, 2cos Z 1+i 1-v 2+S (12R以球近似地球, 用圖2中的平面三角形P 1P 2Q 。文獻(xiàn)1導(dǎo)出了大地天頂計(jì)算大地高高差公式, 即H S 2Z Z ( H 2-H 1=S 1, 2(1+tanR 212R 2(2 (4將=S /R , sin Z 11代入式(4 同時(shí)略去二次項(xiàng)即得收

4、稿日期:2004202217基金項(xiàng)目:交通部資助項(xiàng)目作者簡(jiǎn)介:肖根旺(19672 , 男, 河南寶豐人, 高級(jí)工程師, 研究方向?yàn)殍F路工程測(cè)量。測(cè)繪通報(bào)2004年第10期162cot Z 1+H 2-H 1=S 1, 2(1+R 2R用大地線長(zhǎng)度計(jì)算正常高高差公式2cot Z 1h 2-h 1=S (1+i 1-R 12R 22( (12 v 2-+S m 12R因?yàn)槭?12 是由球近似導(dǎo)出的, 它缺少橢球項(xiàng)的影rr文獻(xiàn)2用橢球近似地球, 導(dǎo)出大地天頂計(jì)算大地高高差的公式2H 2-H 1=D 1, 2cos Z 1+2(N 2+H 2 sin -222(B 2-B 1 2cos 2B m(5式

5、中, B 2, B 1, B m 分別為P 2, P 1點(diǎn)的緯度和平均緯度, 其橢球項(xiàng)影響為:22(B 2-B 1 2cos 2B m 。由響, 對(duì)于幾千米的單向三角高程觀測(cè), 橢球項(xiàng)的影響最大可達(dá)幾厘米, 是不可忽略的。而式(11 、式(12 中垂線偏差非線性變化改正項(xiàng)中的m , 實(shí)際上很難求定, 而這項(xiàng)影響尤其在山區(qū)也可達(dá)幾厘米, 是不可忽略的, 必須用可以簡(jiǎn)單計(jì)算的方式來取代, 為此下文將導(dǎo)出相應(yīng)的公式。圖2可知大地天頂Z 和觀測(cè)天頂距Z 有以下關(guān)系Z 1=Z 1+1+1Z 2=Z 2-2+2(6=2R式中, 是照準(zhǔn)方向的垂線偏差分量, 是垂直折光差角, R 是P 1, P 2點(diǎn)的平均曲

6、率半徑。將式(6 代入式(5 中同時(shí)略去二次小項(xiàng)可得2H 2-H 1=D 1, 2cos Z 1+S -S -2R 2二、直接用觀測(cè)天頂距導(dǎo)出的嚴(yán)密三角高程測(cè)量計(jì)算公式工程常用兩種距離進(jìn)行三角高程計(jì)算, 一是光電測(cè)距儀測(cè)得的斜距; 二是平均施工高程平面上的平距。下面分別導(dǎo)出這兩種距離的三角高程測(cè)量嚴(yán)密的計(jì)算公式。如圖1所示, 過P 1點(diǎn)的垂線P 1O , 過P 2點(diǎn)的垂線P 2O , 它們是兩條空間異面直線, 總能找到一條平行與地軸的直線使其與兩垂線相交, 或盡可能地靠近到對(duì)下文的推導(dǎo)其誤差可以忽略不計(jì)的程度, 設(shè)兩垂線分別交于O , O 點(diǎn)。1. 斜距三角高程計(jì)算公式由圖1中平面三角形P 1

7、P 2O 可得cos D 1, 2cos (Z 1+R 1=(h 2+R 21 +h 1h 2+R 2h 2+R 2-OO cos (90°-2 cos 2(B 2-B 1 2cos 2B m(7大地高差和正常高高差有以下關(guān)系H 2-H 1=h 2-h 1+1, 22d s -1, 2=-m S1(8是高程異常差之差, 式中, m 是測(cè)線沿線垂線偏差分量均值, 將式(8 代入式(7 得h 2-h 1=D 1, 2cos Z 1-(1-m +(9因此D 1, 2cos (Z 1+=1 +h 1+R 1(R 2+h 2-OO cos (90°-2 cos 22(B 2-B 1

8、2cos 2B m S -2R 2r是h 2, i 1是儀器高, v 2是覘標(biāo)高, 顯然有rh 1=h 1-i 1展開上式并略去二次小項(xiàng)得D 1, 2cos Z 1-D 1, 2sin Z 1=1+h 1+R 12-OO sin 2=2R 2+h 2-2(R 2+h 2 -OO sin 222r設(shè)測(cè)站點(diǎn)地面的正常高是h 1, 照準(zhǔn)點(diǎn)地面的正常高(R 2+h 2 (1-(13h 2=h 2-v r(10因?yàn)?, D sin Z 1S , 將其和式(10 代入2R將式(10 代入式(9 得h 2-h 1=D 1, 2cos Z 1+i 1-v 2-rr上式經(jīng)整理可得(1-m +h 2-h 1=D

9、1, 2cos Z 1+i 1-v 2+2(R 2+h 2S 2-rr-22(1422(B 2-B 1 2cos 2B m (11 S -2R 2-(R 2-R 1 +OO sin 222R式(11 是目前文獻(xiàn)所能見到的最嚴(yán)密三角高程測(cè)量計(jì)算公式, 等式右邊的第4、5、6項(xiàng)分別是垂線偏差改正, 折光差改正和橢球改正項(xiàng), 對(duì)于幾千米的邊長(zhǎng)其函數(shù)模型誤差小于0. 5mm 。同理, 將式(6 、式(8 和式(10 代入式(4 可得由圖2可知180°-(Z 1+-(Z 2+1 +180°2 +=180°-=180-(Z 1+1+Z 22同理可得-=180-(Z 1+Z 2

10、代入式(6 得-=180-(Z 1+1+Z 22 +(2-1 =-+(2-1r r將式(21 代入式(20 同時(shí)顧及到h 1=h 1-i 1, h 2=h 2-v 2, 則得平距單向三角高程公式即=+(2-1(15將式(15 代入式(14 , 略去二次小項(xiàng)。顧及到2(R 2+h 2 l , 則得斜距單向觀測(cè)三角高測(cè)量2計(jì)算正常高高差的公式2h 2-h 1=D 1, 2cos Z 1+i 1-v 2+S +2R +OO -(R 2-R 1sin 2(16 2rr2cot Z 1h 2-h 1=S (1+i 1-v 2+R 12R 2K 2 +S +-(R 2-R 12R 2rrOO sin 2(

11、22其反向方程為2cot Z 2h 2-h 1=S (1+i 2-v 1+R 12R 2K 2 +S +-(R 1-R 22R 2rr其反向觀測(cè)公式為h 1-h 2=D 2, 1cos Z 2+i 2-v 1+rrOO sin 1(232S -2R對(duì)式(22 和式(23 取平均值, 于是得平距雙向三角高程公式h 2-h 1=S (1+rr2r rh 2-h 1=+OO +(R 2-R 1sin 1(17取正、反向觀測(cè)的平均值得雙向觀測(cè)方程(D 1, 2cos Z 1 -D 2, 1cos Z 22K K 2(i 2-i 1 -(v 2-v 1 +S +224R +-(R 2-R 12(sin

12、OO 1-sin 2 2(182(cot Z 1 -cot Z 2R 12R 22(i 2-i 1 -(v 2-v 1 +S +224R +-(R 2-R 12(sin 2-sin OO 1 2(24式中, l 為平均高程面上的平距, 可用橢球近似來估(sin 2-sin 項(xiàng); 式中的算OO -R 11 -(R 22(2-1 為地面P 1, P 2點(diǎn)相對(duì)垂線偏差在測(cè)線方向設(shè)地面上測(cè)得平距為l , 高斯平面上的距離為式(23 、式(24 改為相應(yīng)距離的三d , 可將式(22 、角高程公式l =S (1+d =S (1+h R y 2(25上的分量, 是一個(gè)可以用地面測(cè)量值計(jì)算的量。2. 平距三角

13、高程測(cè)量公式2R 2利用圖1中三角形P 1P 2O , 用類似公式(4 的推導(dǎo)得出下式2h 2-h 1=S (1+2 cot Z 1+R 12R 2R sin 2Z 1(19將Z 1=Z 1+1, =+(2-1 , 1=2cot Z 1h 2-h 1=S (1+R 12R 22S +2R 2代入式2R式(16 、式(17 、式(18 和式(22 、式(23 、式(24 對(duì)于幾千米的三角高程測(cè)量其函數(shù)模型誤差小于0. 5mm , 滿足高精度三角高程測(cè)量的應(yīng)用, 與式(11 比較, 其垂線偏差改正可以計(jì)算。應(yīng)用式(18 、式(24 計(jì)算的三角高程測(cè)量高差相當(dāng)于水準(zhǔn)測(cè)量高差的結(jié)果。當(dāng)由它們組成高精度

14、三角高程測(cè)量閉合或附合線路時(shí), 與水準(zhǔn)測(cè)量一樣應(yīng)考慮水準(zhǔn)面不平行改正。由對(duì)向三角高程測(cè)量公式可知, 若不考慮后三項(xiàng)改正, 將產(chǎn)生系統(tǒng)誤差, 其中最主要的是兩觀測(cè)點(diǎn)在觀測(cè)時(shí)間內(nèi)的折光差系數(shù)之差異, 這種差別與對(duì)向觀測(cè)時(shí)間間隔的長(zhǎng)短, 觀測(cè)時(shí)的天氣情況及視線高度有關(guān)。顯然山區(qū)折光差的影響比平原小, 但垂線偏差變化大, 因此在山區(qū)進(jìn)行高精度三角高程測(cè)量還應(yīng)加相對(duì)垂線偏差改正。(下轉(zhuǎn)第45頁(19 展開并略去小于0. 01mm 的二次項(xiàng)得(20由圖1可知h 2+R 2h 2+R 2-OO sin 2h 2h 2+R 2-R 2-OO sin 2R 2R 1(21圖9(a 。以此繪制的等高線失真, 如圖9(b 。圖 8圖9在繪等高線時(shí), 先根據(jù)實(shí)地繪出陡坎、斜坡。在建立地面高程模型時(shí), 最好選擇“不考慮坎高”的功能, 而用在坎上、坎下立鏡測(cè)量的高程建模。對(duì)于剔除不能代表當(dāng)?shù)馗叱痰乃椴奎c(diǎn), 等高線繪好后, 應(yīng)用展測(cè)點(diǎn)點(diǎn)位”的功能展在圖上(幾乎看不見 , 以便使用者用節(jié)點(diǎn)(Node 捕捉該點(diǎn)高程。地形圖繪出后, 可以自動(dòng)生成任意方向