完美系統(tǒng)時(shí)域分析

1、二階系統(tǒng)分析   大 中 小     一、 二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)，其一般形式為：             （4-5）其傳遞函數(shù)為：                   

2、0;    （4-6）式中     系統(tǒng)的輸入；         系統(tǒng)的輸出；         常系數(shù)。為了便于分析，在分析二階系統(tǒng)的動態(tài)特性時(shí)，首先考慮傳遞函數(shù)分子部分等于常數(shù)的情況，即：               

3、              （4-7）若系數(shù)a1和a2的符號相同，（4-7）式可改寫成如下形式：                            （4-8）式中  

4、     二階系統(tǒng)的無阻尼自然振蕩頻率         二階系統(tǒng)的阻尼比             放大系數(shù)式（4-8）稱為二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的通用形式。    式（4-8）的特征方程式為            &

5、#160;                    （4-9）    方程的特征根為：                        

6、0;     （4-10）    由式（4-10）可知，隨著阻尼比的改變，特征方程根的性質(zhì)會發(fā)生變化，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線形狀也會隨之變化。阻尼比 的變化可分成五種情況（即 <0； =0；0< <1； =1； >1）。當(dāng) <0時(shí)，特征方程的兩個(gè)根（或根的實(shí)部）大于零，二階系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，對這種情況不作討論。下面就其它四種 的取值情況進(jìn)行討論。二、 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)1、 無阻尼情況（ =0） =0時(shí)，式（4-10）為：   &

7、#160;                即特征方程的兩個(gè)根位于虛軸上，見表4-1。其傳遞函數(shù)為                       當(dāng)輸入信號為單位階躍信號時(shí)：     

8、              取C(s)的拉氏反變換，得無阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：                         （4-11）這是振幅為K的等幅振蕩，其單位階躍響應(yīng)曲線如圖4-1中曲線所示。圖中橫坐標(biāo)用 刻度

9、,縱坐標(biāo)用c(t)/c(?)刻度，曲線只是 的函數(shù)。等幅振蕩（阻尼比 =0）的振蕩頻率為 ，因而 被稱為無阻尼自然振蕩頻率。 、 欠阻尼情況（0< <1）0< <1時(shí)，二階系統(tǒng)特征方程式的兩個(gè)根為共軛復(fù)根，即              式中     特征根實(shí)部之模值，稱為衰減系數(shù)，具有角頻率量綱，       &#

10、160;  阻尼振蕩頻率， 。見表4-1所示。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為                當(dāng)輸入信號為單位階躍信號時(shí)，                取C(s)的拉普拉斯反變換，得欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：      &

11、#160;     （4-12）由式（4-12）可看出，欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)兩部分組成，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)值（即c(?)）等于K，也就是說，穩(wěn)態(tài)（即 ）時(shí)，輸入信號與輸出信號c(?)之間不存在穩(wěn)態(tài)誤差。瞬態(tài)分量是一個(gè)隨時(shí)間 增長而衰減的振蕩過程，振蕩頻率為，稱為阻尼振蕩頻率。欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線為一條衰減的正弦曲線，見圖4-2所示。整個(gè)響應(yīng)特性曲線包含在一對包絡(luò)線之內(nèi)，包絡(luò)線的方程為           &

12、#160;             （4-13） 它是時(shí)間常數(shù)為 （即 ）的指數(shù)曲線。瞬態(tài)響應(yīng)的幅值是按這條指數(shù)曲線的時(shí)間常數(shù)進(jìn)行衰減的。根的負(fù)實(shí)部 數(shù)值越大，瞬態(tài)響應(yīng)衰減得就越快，因此， 稱為衰減系數(shù)。欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線的振蕩頻率為阻尼振蕩頻率 （即特征根的虛部）， ,因而振蕩周期： 。當(dāng) 一定時(shí)，阻尼系數(shù) 越大，振蕩周期就越長。如果 ，響應(yīng)過程成為非周期， 將不復(fù)存在，系統(tǒng)的響應(yīng)不再振蕩。但為了便于分析和敘述， 和 的符號和名稱在 時(shí)，仍將沿用下去。

13、、 臨界阻尼情況（） 時(shí)，二階系統(tǒng)特征方程有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根：                見表4-1所示。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為                    當(dāng)輸入為單位階躍信號時(shí)：     

14、                  （4-14）其響應(yīng)曲線如圖4-1上曲線所示，響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)值為K的非周期過程。、 過阻尼情況（） 時(shí)，二階系統(tǒng)特征方程有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根：                     

15、0;      見表4-1所示。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為                          當(dāng)輸入為單位階躍信號時(shí)            取 的拉普拉斯反變換，得過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：

16、                    （4-15）單位階躍響應(yīng)曲線如圖4-3所示，它是一條單調(diào)的非周期曲線，由單位階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)                      

17、60;      （4-16）和兩條衰減的指數(shù)曲線組成。由式（4-15）知， 、 的方程分別為：                    （4-17）                 

18、0;   (4-18) 圖4-3  過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線在 一定的情況下，如果 越大，兩個(gè)負(fù)實(shí)根的數(shù)值就相差得越多。這時(shí)衰減得快的指數(shù)項(xiàng)c11(t)的衰減速度更加快，而衰減得慢的指數(shù)項(xiàng) 的衰減速度則更加慢。當(dāng) 遠(yuǎn)大于1時(shí)，c11(t)比c12(t)的衰減要快得多，這個(gè)快速衰減的指數(shù)項(xiàng)c11(t)對動態(tài)過程的影響可忽略不計(jì)。系統(tǒng)的階躍響應(yīng)特性類似于一階慣性環(huán)節(jié)的響應(yīng)特性了。從圖4-1可看出，當(dāng)欠阻尼系統(tǒng)的 值在0.50.8之間時(shí)，響應(yīng)曲線比臨界阻尼或過阻尼情況下的響應(yīng)曲線更快到達(dá)穩(wěn)態(tài)值。在非周期響應(yīng)系統(tǒng)中，臨界阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)速度最快，過阻尼系統(tǒng)

19、對輸入的響應(yīng)比較緩慢。二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)情況綜合于表4-1所示。 二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)除了式（4-8）的形式外，還可能有                               （4-19）        

20、;                  （4-20）式（4-19）、（4-20）所表示的二階系統(tǒng)，只是傳遞函數(shù)的分子部分不相同，而分母部分是一樣的，也就是說，它們的特征方程式相同，所以，它們的階躍響應(yīng)特性的基本形式是一樣的，即當(dāng)?時(shí)是非周期的，0<z<1時(shí)，是衰減振蕩的。三、 二階系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)實(shí)際調(diào)節(jié)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，在達(dá)到穩(wěn)態(tài)以前，常常表現(xiàn)為阻尼振蕩過程。為了分析調(diào)節(jié)系統(tǒng)對單位階躍輸入信號的瞬態(tài)響應(yīng)特

21、性，通常采用一些性能指標(biāo),除第一章介紹的超調(diào)量Mp、衰減率、調(diào)節(jié)時(shí)間ts和靜態(tài)偏差e（）（或稱穩(wěn)態(tài)誤差）外，還有兩個(gè)指標(biāo)：(1) 上升時(shí)間tr：響應(yīng)從其穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時(shí)間。上升時(shí)間是系統(tǒng)響應(yīng)速度的一種度量。顯然，上升時(shí)間越小，響應(yīng)越快。(2) 峰值時(shí)間tp：響應(yīng)超過穩(wěn)態(tài)值，到達(dá)第一個(gè)峰值所需的時(shí)間。上述性能指標(biāo)基本上可以體現(xiàn)過渡過程的特征。其中，上升時(shí)間tr和峰值時(shí)間tp是系統(tǒng)在初始階段響應(yīng)速度的一種度量；調(diào)節(jié)時(shí)間ts表示了系統(tǒng)過渡過程的持續(xù)時(shí)間，反映了系統(tǒng)的快速性；超調(diào)量MP和衰減率反映了系統(tǒng)過渡過程的穩(wěn)定性；穩(wěn)態(tài)誤差e（）反映了系統(tǒng)的準(zhǔn)確性。請參見圖（4-4）。 

22、;圖4-4  二階系統(tǒng)時(shí)域性能指標(biāo)示意圖下面討論欠阻尼二階系統(tǒng)的峰值時(shí)間tp、超調(diào)量MP、衰減率和調(diào)節(jié)時(shí)間ts的計(jì)算。要指出的是，所得公式僅適用于以式（4-8）即 所描述的二階系統(tǒng)。如果傳遞函數(shù)的分子只有S的一次項(xiàng)或S的一次項(xiàng)加常數(shù)項(xiàng)，則計(jì)算公式要另行討論。具體推導(dǎo)公式以前，有必要闡明欠阻尼二階系統(tǒng)特征參量s、z、n和d之間的相互關(guān)系，見圖（4-5）。由圖可見，衰減系數(shù)s?是系統(tǒng)特征根到虛軸之間的距離；阻尼振蕩頻率d是特征根到實(shí)軸之間的距離；自然振蕩頻率n是特征根到坐標(biāo)原點(diǎn)之間的距離；若令OS1直線與負(fù)實(shí)軸夾角為b?，則有：     

23、                       ? z=cosb?                圖4-5 欠阻尼二階系統(tǒng)各特征參量之間的關(guān)系1. 峰值時(shí)間tP根據(jù)式（4-12），將c(t)對時(shí)間微分，并令其為零，有 因?yàn)?/p>

24、峰值時(shí)間定義為：響應(yīng)超過穩(wěn)態(tài)值，到達(dá)第一個(gè)峰值所需的時(shí)間，所以應(yīng)取 ，因此峰值時(shí)間計(jì)算公式為                                          （4-22）上

25、式表明，峰值時(shí)間等于阻尼振蕩周期TK的一半。2. 超調(diào)量MP                                        因?yàn)槌{(diào)量發(fā)生在峰值時(shí)間上，所以將式（4-21）代入式（4-12），得

26、輸出量的最大值                  （4-23）圖4-6表示了超調(diào)量Mp與阻尼比的關(guān)系，超調(diào)量是隨著阻尼比z的增大而減小的。           圖4-6 二階系統(tǒng)超調(diào)量（Mp）、衰減率(?)、衰減指數(shù)(m)與阻尼比(?)的關(guān)系3. 衰減率y?    （4-24）式中  &#

27、160; M(tp)第一個(gè)波幅幅值，這時(shí)t=tp        M(tp+Tk)第二個(gè)正向波幅幅值（圖中4-4中的M2），這時(shí)t=tp+Tk根據(jù)（4-21）式，n=3所對應(yīng)的時(shí)間，為第二個(gè)波幅出現(xiàn)的時(shí)間，即                           

28、  因此                                            根據(jù)式（4-24），得衰減率y的計(jì)算公式  

29、                    （4-25）可見，欠阻尼二階系統(tǒng)的衰減率y與超調(diào)量Mp一樣，只與阻尼比z有單位關(guān)系，見圖4-6中的y曲線。衰減率y隨z的增大而增大。在式（4-23）和式（4-25）的指數(shù)中都含有比值 ，這個(gè)比值是欠阻尼二階系統(tǒng)特征根的實(shí)部絕對值與虛部絕對值之比，稱為二階系統(tǒng)的衰減指數(shù)，用m表示，其關(guān)系為       

30、;                       （4-26）衰減指數(shù)m也是阻尼比z的單值函數(shù)。見圖4-6中的曲線m。m值隨z的增大而增大。這樣，描述欠阻尼二階系統(tǒng)振蕩過程衰減情況的有m、y和z三種參數(shù)。所不同的是，衰減指數(shù)m是由特征方程根的實(shí)部與虛部之比來定義的；衰減率y是由振蕩過程曲線中相鄰兩個(gè)振幅的衰減百分比來定義的；而阻尼系數(shù)z是用特征方程式各項(xiàng)系數(shù)來表示的。它們之間的關(guān)

31、系為                                 (4-27)另外，超調(diào)量Mp與衰減率y之間也存在著一定的關(guān)系，即             

32、      （4-28）四個(gè)參數(shù)之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系，表4-2中列出了一些具體的數(shù)值，在分析和整定熱工過程自動調(diào)節(jié)系統(tǒng)時(shí)，常用到這些關(guān)系。表4-2  二階系統(tǒng)?、Mp、m和?值的對應(yīng)關(guān)系在一般的熱工自動調(diào)節(jié)系統(tǒng)中，通常選擇衰減率y=0.75?0.9。4. 調(diào)節(jié)時(shí)間ts從前述調(diào)節(jié)時(shí)間ts的定義知，調(diào)節(jié)時(shí)間ts應(yīng)滿足：                  &#

33、160;  其中是穩(wěn)態(tài)值的5%（或2%），即=0.05c(?)或=0.02c(?)。為了計(jì)算方便，通常采用圖4-4上階躍響應(yīng)曲線的一對包絡(luò)線表示衰減振蕩曲線的衰減程度，其包絡(luò)線的方程為：                        （4-29）調(diào)節(jié)時(shí)間ts的定義修改為：響應(yīng)曲線的包絡(luò)線與穩(wěn)態(tài)值的偏差減小到允許范圍所需的時(shí)間。因此，ts滿足 

34、60;                              （4-30）取=0.02c(?)或=0.05c(?)，將式（4-29）代入式（4-30），并且由于c(?)=K，則有          

35、0;                                                 

36、0;     分析可以得出，在足夠?qū)挼膠值范圍內(nèi)，如0.1<z<0.9， 的值變化不大，對于=0.02c(?)，其值為3.924.74，用4近似；對于=0.05c(?)，其值為3.03.83，用3近似，從而式（4-32）可簡化為   （采用2%的誤差帶）             （4-31）     （采用5%的誤差帶）    

37、0;        （4-32）上式表明，調(diào)節(jié)時(shí)間ts與特征根的實(shí)部數(shù)值成反比，特征根的實(shí)部數(shù)值越大，即離虛軸的距離越遠(yuǎn)，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間越短。或者說，調(diào)節(jié)時(shí)間與系統(tǒng)阻尼比和自然振蕩頻率的乘積反比。由于阻尼比z主要根據(jù)對系統(tǒng)超調(diào)量的要求來確定，所以調(diào)節(jié)時(shí)間主要由自然振蕩頻率wn決定。若保持阻尼比值不變而加大自然振蕩頻率值，則可以在不影響超調(diào)量的情況下縮短調(diào)節(jié)時(shí)間。例4-1 閉環(huán)系統(tǒng)如圖4-7所示，試求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)：tp、Mp、ts和穩(wěn)態(tài)誤差e()。圖4-7   例4-1閉環(huán)系統(tǒng)框圖解：系統(tǒng)的閉

38、環(huán)傳遞函數(shù)為                          （4-33）二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的通用形式為                     &#

39、160; （4-34）式（4-33）與式（4-34）相比較，可得放大系數(shù)                    K=1無阻尼自然振蕩頻率          ? w n=5 （rad/s）阻尼比          

40、0;           ?z=0.6由此可以求得：                 例4-2 設(shè)圖4-8(a)所示調(diào)節(jié)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖4-8(b)所示，試確定參數(shù)K1、K2和a的數(shù)值。圖4-8 例題4-2圖解：調(diào)節(jié)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為        &#

41、160;            （4-35）由圖可得階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)：穩(wěn)態(tài)值                   c(?)=2超調(diào)量                    峰值時(shí)間                  因?yàn)?#160;       &#