對張正友標定的理解

1、請下載支持!芾肇莉荽袈輯蔗張正友標定算法解讀覆方噩蝸蓬蒙交一直以來想寫篇相機標定方面的東西，最近組會上也要講標定方面東西，所以順便寫了。無論是OpenCVS是matlab標定箱，都是以張正友棋盤標定算法為核心實現(xiàn)的,這篇PAMI的文章<<AFlexibleNewTechniqueforCameraCalibration>>影響力極大，張正友是zju的機械系出身，貌似現(xiàn)在是微軟的終身教授了，有點牛的。我就簡單的介紹下算法的核心原理，公式的推理可能有點多。蒂膈蠅羈節(jié)蟆肆*基本問題描述：空間平面的三維點與相機平面二維點的映射妨蟒膈賺芽羋聿假設(shè)空間平面中三維點：M=IX/二乙1

2、（齊次坐標，世界坐標系）藏蠶荒蔻肇薄膂相機平面二維點：m=wJ（齊次坐標，相機坐標系）膀膂H黑星犀矚那么空間中的點是如何映射到相機平面上去呢？我們用一個等式來表示兩者之間關(guān)系：(1)sm=ARtM.withA=08mnoi.羈荽聿羋艘蛔毒祎行蠅建滕曹蝕注：A為相機內(nèi)參矩陣，R,t分別為旋轉(zhuǎn)和平移矩陣，s為一個放縮因子標量。帔方袁蝸苗賺肄我們把等式（1）再簡化下：ftiri=MMwithH=A|口r，t）.量耀襖滕芨精疆（2）褻童羋衿腿妨衿因為張正友算法選取的是平面標定，所以令z=0,所以平移向量只有r1,r2即可。H就是我們常說的單應(yīng)性矩陣，在這里描述的是空間中平面三維點和相機平面二維點之間的

3、關(guān)系。因為相機平面中點的坐標可以通過圖像處理的方式（哈里斯角點，冉基于梯度搜索的方式精確控制點位置）獲取，而空間平面中三維點可以通過事先做好的棋盤獲取。所以也就是說每張圖片都可以計算出一個H矩陣。裊腿菽耀索為原賺二內(nèi)參限制肆蜜螃薄菱螞腿我們把H矩陣（3*3）寫成3個列向量形式，那么我們把H矩陣又可寫成:黃蟻肆蠶踴襖莆hj h：t = AA rirj(3)端荒戢董淵退注:lamda是個放縮因子標量，也是s的倒數(shù)。蝴藏神莫肅贛螂那么現(xiàn)在我們要用一個關(guān)鍵性的條件：ri和r2標準正交。耳筮妨薄祎st薄正交：hA tA 】h, 二 0I一(4)袁蒲n里唐蒂充單位向量（模相等）：hrA. f A lit

4、= hjA 1 A 'h2(5)這個兩個等式是非常優(yōu)美的，因為它完美的與絕對二次曲線理論聯(lián)系起來了，這里就不展開了。劉荽袈輯蔗嵋芨三相機內(nèi)參的求解黑蝸蓬募黃芾肇我們令:Bn3*B=A7A-BxiBn(6)Ur.氏:十蠅羈節(jié)蟆肆德方膈賺蠢羋聿"我們可知B矩陣是個對稱矩陣，所以可以寫成一個6維向量形式:b=Bn,Bia,Baa,荒蔻肇薄膂妨研n黑星犀矚藏案我們把H矩陣的列向量形式為:聿羋艘蛔蠶膀膂(8)蠅建滕曹蝕羈荽那么根據(jù)等式（8）我們把等式（4）改寫成:袁蝸勘賺肄祎袂(9)襖滕芨精膈帔芳（10）羋衿腿妨衿蜜肄最后根據(jù)內(nèi)參數(shù)限制條件（等式（4）（5）:螃薄菱螞腿裊腿Vb0即，（12）肆蠶踴襖莆肆量V矩陣是2*6矩陣，也就是說每張照片可建立起兩個方程組，6個未知數(shù)。根據(jù)線性代數(shù)知識可知，解6個未知數(shù)需至少6個方程組，所以也就是說我們至少需要三張照片就求解未知數(shù)。b矩陣的解出，相機內(nèi)參矩陣A也就求解出，從而每張圖像的R,t也就根據(jù)等式（1）迎刃而解。四參數(shù)優(yōu)化爸菽童神腿冗蟻因為初始的參數(shù)已經(jīng)求解，所以我們將每張圖像的控制點根據(jù)求解的參數(shù)重投影回三維空間，最小化與真實值的差異，其實就是建立非線性最小化模型:件叫££口口，-山（a.此工小4”(13)i1