高等數(shù)學(xué)下冊總習(xí)題八H

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1向量代數(shù)向量代數(shù) 1、向量、向量(自由向量自由向量)的坐標(biāo)表示的坐標(biāo)表示kajaiazyx ),(zyxaaa 222zyx ),(zyxr 設(shè)設(shè) r)cos,cos,(cos ),(1222zyxzyx 給定向量的模與方向角，給定向量的模與方向角，則則則則)cos,cos,(cos r ),(zyxr 2.一、向量及其線性運算一、向量及其線性運算 ar)(aaar 在坐標(biāo)軸上的投影在坐標(biāo)軸上的投影 r第八章第八章內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)r)cos(ar 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2設(shè)設(shè)),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 則則 ba),(zzyyxxba

2、baba a ),(zyxaaa ，為實數(shù)為實數(shù) 3.abab xxab yyabzzabzyxaaa,當(dāng)當(dāng)中為零，中為零，zyxbbb,中對應(yīng)中對應(yīng)的值也為零的值也為零. .),(111zyxA),(121212zzyyxx 212212212)()()(zzyyxx 對兩點對兩點, ),(222zyxB BA BA與與4.到到x軸、到軸、到xOy面的距離分別為面的距離分別為,2121zy 1z),(111zyxA第八章第八章內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 31. 定義定義ba 二、數(shù)量積二、數(shù)量積(點積點積)小結(jié)小結(jié)2. 性質(zhì)性質(zhì)為兩個非零向量為兩個非零向量,則有則有 aa)

3、1(2aba,)2(0 baba 3. 運算律運算律 )(2( ba )( ba )(ba )3(cba )1(abba 4. 數(shù)量積的坐標(biāo)表示數(shù)量積的坐標(biāo)表示zzyyxxbababa ba ,0時時當(dāng)當(dāng) a,0 時時當(dāng)當(dāng) babjrPb babaajrP ba題型題型求夾角、求投影、將?；癁閿?shù)量積、判求夾角、求投影、將?；癁閿?shù)量積、判斷向量垂直斷向量垂直 cbca ),cos(baba 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 41. 定義定義方向方向 :且符合右手規(guī)則且符合右手規(guī)則 ba ),sin( baab與與 a , b 垂直，垂直，2. 性質(zhì)性質(zhì)為非零向量為非零向量, 則則aa )1(0 ba

4、,)2(0 baba4. 向量積的坐標(biāo)表示式向量積的坐標(biāo)表示式 bakji 3. 運算律運算律(2)(3)ab cba )(cbca ba )( )( ba )(ba ba )1(題型題型xayazaxbybzb求面積、求與兩向量同垂直的向量求面積、求與兩向量同垂直的向量三、向量積三、向量積(叉積叉積)小結(jié)小結(jié)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 5空間解析幾何空間解析幾何一、曲面一、曲面1. 1. 球球面面2. 2. 旋轉(zhuǎn)曲旋轉(zhuǎn)曲面面4. 4. 二次曲二次曲面面 2202020Rzzyyxx 0),(22 zyxf3. 3. 柱柱面面 0,zyF準(zhǔn)線為準(zhǔn)線為母線平行母線平行x軸的柱面，軸的柱面，如旋

5、轉(zhuǎn)橢球面、旋轉(zhuǎn)拋物面、旋轉(zhuǎn)雙曲面、圓錐面等如旋轉(zhuǎn)橢球面、旋轉(zhuǎn)拋物面、旋轉(zhuǎn)雙曲面、圓錐面等00),( xzyF如橢圓柱面、拋物柱面、雙曲柱面、平面等如橢圓柱面、拋物柱面、雙曲柱面、平面等 . 橢球面橢球面 拋物面拋物面:1222222 czbyax(橢圓拋物面橢圓拋物面)同同號號、qpzqypx,2222 軸軸繞繞z 00, xzyf第八章第八章內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 6 雙曲面雙曲面: 橢圓錐面橢圓錐面: (單葉雙曲面單葉雙曲面)2222byax 22cz 1 (雙葉雙曲面雙葉雙曲面)2222byax 22cz 1 22222zbyax 二、二、曲線曲線1. 1. 一般方

6、一般方程程2. 2. 參數(shù)方參數(shù)方程程3. 3. 在坐標(biāo)平面上的投影在坐標(biāo)平面上的投影. . . 0, 0, zyxGzyxF tzztyytxx 第八章第八章內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 7三、三、平面的方程平面的方程1. 1. 點法式方程點法式方程 0000 zzCyyBxxA2. 2. 一般式方程一般式方程0 DCzByAx3. 3. 截距式方程截距式方程 1 czbyax（特殊平面的系數(shù)特點）（特殊平面的系數(shù)特點）4. 4. 平面束方程平面束方程 022221111 DzCyBxADzCyBxA 第八章第八章內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 8四、四、直線的

7、方程直線的方程1. 1. 一般方程一般方程2. 2. 對稱式方程對稱式方程 3. 3. 參數(shù)方程參數(shù)方程 pzznyymxx000 （m, n, p 中有零時的含義）中有零時的含義）ptzzntyymtxx 0000022221111 DzCyBxADzCyBxA第八章第八章內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 9五、面面、線線、線面間的關(guān)系五、面面、線線、線面間的關(guān)系均轉(zhuǎn)化為均轉(zhuǎn)化為向量夾角余弦的絕對值向量夾角余弦的絕對值 cos222222212121212121CBACBACCBBAA cos222222212121212121pnmpnmppnnmm sin,3.,3.線面夾角

8、線面夾角1. 面面夾角面面夾角2， 線線夾角線線夾角 2121nnnn 2121ssss snsn 222222pnmCBACpBnAm 第八章第八章內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 100212121 CCBBAA21/ 21212121DD CCBBAA21 重重合合與與21 21212121DDCCBBAA 重重合合或或21 、21/ 0212121 ppnnmm21/ LL212121ppnnmm 21LL 0 CpBnAm LpCnBmA /L內(nèi)內(nèi)在在或或 L重合重合或或21、LL第八章第八章內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)21ss 21/ ssns/ns 21nn 21/ nn2121

9、21CCBBAA 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11點點 到平面到平面 0000,zyxP0 DCzByAx的距離的距離六、六、點到平面、直線的距離點到平面、直線的距離),(0000zyxM到直線到直線的距離的距離pzznyymxx111 點點ssMMd 10 kji 2221pnm101010 zzyyxx pnm d 10nnPP 222000CBADCzByAx 第八章第八章內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 12P416. 6解解故在故在xOy面上的投影為面上的投影為故在故在xOz面上的投影為面上的投影為同理在同理在yOz面上的投影為面上的投影為 .(3) (2) ,sin(

10、1) ,cos 程程投投影影曲曲線線的的直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)方方在在三三個個坐坐標(biāo)標(biāo)面面上上的的求求螺螺旋旋線線 bzayax, 0,222 zayx, 0,cos ybzax0sin xbzay由由(1)、(2)得：得：,222ayx 由由(1)、(3)得：得：,cosbzax 講講7、10、11、16、17目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 13解解|a|b 23 22|ba 22|2|bbaa 1 ),cos(babaP51.7的夾角。的夾角。與向量與向量求向量求向量設(shè)設(shè)babababa ,6),( , 1 , 3 第八章總習(xí)題第八章總習(xí)題 72 1.求向量與向量夾角用數(shù)量積求向量與向量夾角用數(shù)量

11、積,類似有類似有8、9題題2.向量的?？苫癁閿?shù)量積向量的模可化為數(shù)量積)()(baba 7 22|2|bbaa )()(|bababa 講講7、10、11、16、17 )()(baba2 |ba),cos( ba bababababa )()(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 14P51.8).,(,274,573 bababababa求求設(shè)設(shè)解解 0)27)(4( , 0)57)(3( babababa 0|830|70|1516|72222bbaabbaababa 2|2122 bababa3),( babab 22baa 22式，得：式，得：將之代入方程組中任一將之代入方程組中任一兩式相減：

12、兩式相減：22346bba 第八章總習(xí)題第八章總習(xí)題 |),cos(bababa 講講7、10、11、16、17目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 15P51.9.,),(,), 1, 1(),2, 1, 2( 并并求求此此最最小小值值最最小小為為何何值值時時問問設(shè)設(shè) bazzba解解)(2321|),cos(2 zfzzbababa 0)2(34)(32 zzzf令令 的的極極大大值值點點。是是得得zfz4 4),(4 最最小小，最最小小值值為為時時，當(dāng)當(dāng) baz是是減減函函數(shù)數(shù)，上上，由由于于在在 cos0 第八章總習(xí)題第八章總習(xí)題 講講7、10、11、16、17目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1

13、6P51.10積。積。為邊的平行四邊形的面為邊的平行四邊形的面求以求以設(shè)設(shè)babababa3,2,6),( , 3, 4 解解bbabbaaa 623ba 5)3()2(babaS 6sin345 第八章總習(xí)題第八章總習(xí)題 1.求面積用向量積的模求面積用向量積的模,類似有類似有18題題2.向量積滿足反交換律向量積滿足反交換律講講7、10、11、16、17 )3()2(baba|5ba 30 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 17P51.11.,14Pr,),2, 1, 2(),3, 2, 1(),1, 3, 2( rrjbrarrcbac求求滿滿足足向向量量設(shè)設(shè) 解解321132 kjibar 設(shè)

14、設(shè)ccr 2 )2,10,14( r3)2514( ,brar 而而第八章總習(xí)題第八章總習(xí)題 求與兩向量垂直的量用叉乘求與兩向量垂直的量用叉乘投影可用數(shù)量積表示投影可用數(shù)量積表示講講7、10、11、16、17ccba )( rjcPr bakji 5714 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 18P51.12解解 kikjiba364322310)( cba共面共面、cba bkakc21設(shè)設(shè) 642123332212121kkkkkk1, 521 kk證證明明設(shè)設(shè)),6 ,12, 3(),4, 3, 2(),2 , 3 , 1( cba. ,cbacba表表示示和和并并用用共共面面、三三向向量量第

15、八章總習(xí)題第八章總習(xí)題 講講7、10、11、16、17目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 19P51.15 角的平面方程。角的平面方程。面成面成且與且與，和點和點，求通過點求通過點3100003 xOyBA法法1 設(shè)所求平面的單位法向量為：設(shè)所求平面的單位法向量為：),(CBAn ,3 角角成成與與 kn213cos kn21 C1222 CBA626 B03326 zyx所以所求平面的方程為：所以所求平面的方程為：第八章總習(xí)題第八章總習(xí)題 0B An3CA ,61 (-3,0,1)B An0)1(326 zyx即：即：目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 20P51.15 角的平面方程。角的平面方程。面成

16、面成且與且與，和點和點，求通過點求通過點3100003 xOyBA法法2設(shè)所求平面為：設(shè)所求平面為：,213cos knkn,2199322 bbb即即 , 13 zbyx第八章總習(xí)題第八章總習(xí)題 bbzybx333 263 b03326 zyx所以所求平面的方程為：所以所求平面的方程為：講講7、10、11、16、17目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 21P51.15 角的平面方程。角的平面方程。面成面成且與且與，和點和點，求通過點求通過點3100003 xOyBA法法3 設(shè)所求平面的單位法向量為：設(shè)所求平面的單位法向量為：),(CBAn ,3 角角成成與與 kn213cos kn21 C則所求平

17、面的方程可設(shè)為：則所求平面的方程可設(shè)為：0 DCzByAx 1003222CBADCDA,61,21 AD626 B03326 zyx平面過平面過 A, B 點點所以所求平面的方程為：所以所求平面的方程為：第八章總習(xí)題第八章總習(xí)題 講講7、10、11、16、17目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 22P51.16 程程。的的垂垂線線，求求此此平平面面的的方方到到直直線線，并并通通過過從從點點設(shè)設(shè)一一平平面面垂垂直直于于平平面面 001:111, 0 xzyLAzALBL的方向向量的方向向量 001xzy10 zyx解解第八章總習(xí)題第八章總習(xí)題 )1 , 1 , 0( s的的方方程程為為垂垂直直的的平

18、平面面且且與與過過 LA0 zy即即 , 0111110 zyx),21,21, 0(B 求求得得所求平面的法向量所求平面的法向量)0 , 1 ,21( 所求平面方程為所求平面方程為0)1(2)1( yx012 yx即即kABn n講講7、10、11、16、17k先求點先求點B.) () ( nABk目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 23的交點的交點的垂線與的垂線與到直線到直線設(shè)從點設(shè)從點L LA由由 001xzy0)1()1( zy),21,21, 0(B 求求得得說明說明第八章總習(xí)題第八章總習(xí)題 得得sABLB ,ALB求點求點B的坐標(biāo)也可用下面方法的坐標(biāo)也可用下面方法),(zyxB為為和和目

19、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 24P51.17 相交的直線方程。相交的直線方程。又與直線又與直線且平行于平面且平行于平面，求過點求過點21311:, 01043:,401 zyxLzyxA 解解 確確定定的的平平面面法法向向量量與與點點LA),1 , 4, 3(:2 n的的法法向向量量為為平平面面 所求直線的方向向量所求直線的方向向量1433410 kji所求直線的方程所求直線的方程為為28419161 zyxA L第八章總習(xí)題第八章總習(xí)題 B0skji3410 sBAsn 01 21nns430211 kji kji281916講講7、10、11、16、172n1n目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

20、 25P51.18 的的面面積積最最小小。使使，軸軸上上求求一一點點試試在在，已已知知點點ABCCzBA ,120,001 解解 kjzizzkjiACAB2)1(201121 ,00zC，設(shè)設(shè)2222)12(42121 zzzACABSABC524)51(55252122 zzz.51最最小小時時，ABCSz 所以當(dāng)所以當(dāng)?shù)诎苏驴偭?xí)題第八章總習(xí)題 ),1, 2, 1( AB), 0, 1(zAC 講講7、10、11、16、17目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 26P51. 20 0222 xyxO x y z 故立體在故立體在xOy面上的面上的投影為投影為即即xOy面的區(qū)域面的區(qū)域 1122 y

21、x第八章總習(xí)題第八章總習(xí)題 求錐面求錐面 與柱面與柱面 所圍立體在所圍立體在三個坐標(biāo)面上的投影三個坐標(biāo)面上的投影22yxz xz22 解解xzyxz2222 在在 中消去中消去z得：得：01)1(22 zyx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 27O x y z 0, 044224 zyzz故立體在故立體在yOz面上的面上的投影為投影為第八章總習(xí)題第八章總習(xí)題 O x y z xzyxz2222 在在 中消去中消去x得：得：00, 44)2(222 xzyzO x y z 022 yyxz在在 中消去中消去y得：得：xz 故立體在故立體在zOx面上的投影為面上的投影為 02yxzxxzyxz2222 在在 中消去中消去y得：得：xz22 目錄 上頁 下頁