等邊三角形內(nèi)地旋轉(zhuǎn)

1、word中考專題一一玩轉(zhuǎn)等邊三角形類型一：抓住等邊三角形的邊進(jìn)展旋轉(zhuǎn)1 .如圖，4ABC為等邊三角形，D是4ABC內(nèi)一點(diǎn)，假如將 4ABD經(jīng)過一次逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后到 4ACP的 位置，如此旋轉(zhuǎn)中心是 ,旋轉(zhuǎn)角等于 AADP是 三角形.8 / 82 .如圖，設(shè) P是等邊4ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA=3, PB=4, PC=5 ,如此/ APB的度數(shù)是證明你的猜測(cè)；2如圖2, P為等邊4ABC內(nèi)一點(diǎn)，且/ APD=120 .求證:3 .:等邊三角形ABCBP、PC、AP之間的數(shù)量關(guān)系，并1如圖1, P為等邊4ABC外一點(diǎn)，且/ BPC=120 .試猜測(cè)線段PA+PD+PC >BD .跟蹤練習(xí)：1.如圖

2、1, / DAC=90° , ABC是等邊三角形，點(diǎn) P為射線AD上任意一點(diǎn)點(diǎn) P與點(diǎn)A不重合，連結(jié)CP,將線段CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 °得到線段CQ ,連結(jié)QB并延長交直線 AD于點(diǎn)E.1如圖1,猜測(cè)/ QEP二° ;2如圖2, 3,假如當(dāng)/ DAC是銳角或鈍角時(shí),其它條件不變，猜測(cè)/ 加以證明；3如圖 3,假如/ DAC=135° , / ACP=15° ,且 AC=4,求 BQ 的長.DACQEP的度數(shù)，選取一種情況Q2、海淀期末在 ABC中，AB=AC, / BAC= "，點(diǎn)P是4ABC內(nèi)一點(diǎn)，且 PACPCA 一2連接PB

3、,試探究RA, PB, PC滿足的等量關(guān)系.圖1圖21當(dāng)行60°時(shí) 將4ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到4ACP ,連接PP ,如圖1所示.由ABP0ACP可以證得APP'是等邊三角形，再由 PAC PCA 30可得ZAPC的大小為度，進(jìn)而得到 CPP是直角三角形，這樣可以得到PA,PB, PC滿足的等量關(guān)系為；2如圖2,當(dāng) 爐1200時(shí)，請(qǐng)參考1中的方法，探究 FA, PB, PC滿足的等量關(guān)系, 并給出證明；3PA, PB, PC滿足的等量關(guān)系為.60，將線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)3. 13 年中考在 ABC 中，AB=AC , / BAC= 060。得到線段BD

4、。1如圖1,直接寫出/ ABD的大小用含的式子表示；2如圖2, / BCE=150° , / ABE=60 ° ,判斷 ABE的形狀并加以證明;3在2的條件下，連結(jié) DE,假如/ DEC=45° ,求 的值。專題二、抓住其它等線段構(gòu)造旋轉(zhuǎn)類型全等三角形例題：、：等邊三角形ABC中，點(diǎn)D、E、F分別為邊 AB、AC、BC的中點(diǎn)，點(diǎn) M在直線BC上，以點(diǎn)M為旋轉(zhuǎn)中心，將線段 MD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)600至MD，連接ED .1如圖1,當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，線段ED與MF的數(shù)量關(guān)系是 ;2如圖2,當(dāng)點(diǎn)M在BC邊上時(shí)，1中的結(jié)論是否依然成立？如果成立，請(qǐng)利用圖2證明，如果不成立，請(qǐng)說

5、明理由；3當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，請(qǐng)你在圖3中畫出相應(yīng)的圖形，直接判斷1中的結(jié)論是否依然成立?不必給出證明或說明理由跟蹤練習(xí)：石景山期末 ABC是等邊三角形，點(diǎn) D , E , F分別是邊AB , BC , AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是射線EC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作等邊 DMN ,使 DMN與 ABC在BC邊同側(cè)，連接NF .1如圖1,當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時(shí)，直接寫出線段 FN與線段EM的數(shù)量關(guān)系；2當(dāng)點(diǎn)M在線段EC上點(diǎn)M與點(diǎn)E , C不重合時(shí)，在圖2中依題意補(bǔ)全圖形，并判斷們 中的結(jié)論是否成立？假如成立，請(qǐng)證明；假如不成立，請(qǐng)說明理由；3連接DF ,直線DM與直線AC相交于點(diǎn)G，假如 DNF的面積是 GMC面積的9

6、倍，AB 8,請(qǐng)直接寫出線段 CM的長.圖1圖2答：1FN EM 1 分2補(bǔ)全圖形，如圖1所示.2分結(jié)論成立.證明：連接ED , EF , DF ,如圖2. ABC是等邊三角形，AB BC AC a. D , E , F分別是邊AB ,備用圖BC, AC的中點(diǎn),_ 1DF DE EFa .2FDE 60 .又 DMN是等邊三角形，DN DM , MDN 60FDN EDM . DFN DEM .4分FNEM .3CM的長為1或2.專題三、等邊三角形內(nèi)的其它類型例題：16年中考在等邊 ABC中：1如圖1, P, Q是BC邊上的兩點(diǎn)，AP=AQ, /BAP=20° ,求/ AQB的度數(shù)；

7、2點(diǎn)P, Q是BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)不與點(diǎn) B, C重合，點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)，且 AP=AQ,點(diǎn)Q關(guān)于 直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為 M,連接AM, PM .依題意將圖2補(bǔ)全；小茹通過觀察、實(shí)驗(yàn)提出猜測(cè) 口：在點(diǎn)P, Q運(yùn)動(dòng)的過程中，始終有 PA=PM ,小茹把這個(gè)猜測(cè)與同學(xué)們 進(jìn)展交流，通過討論，形成了證明該猜測(cè)的幾種想法： 想法1:要證明PA=PM ,只需證 APM是等邊三角形；想法2:在BA上取一點(diǎn)N,使得BN=BP,要證，明FA=PM ,只需證 ANPA PCM ；想法3:將線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60° ,得到線段 BK,要證PA=PM ,只需證PA=CK, PM=CK -請(qǐng)你參考上面的想

8、法，幫助小茹證明PA=PM一種方法即可.【答案】140。；2作圖見解析；證明見解析.【解析】試題分析：1根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/APQ=/AQP,由鄰補(bǔ)角的定義得到/ APB=ZAQC,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；2根據(jù)要求作出圖形，如圖 2;根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到乙產(chǎn)小乙”由鄰補(bǔ)角的定義得到心丹二公” 由點(diǎn)。關(guān)于直線WC的 對(duì)標(biāo)點(diǎn)為匕 得到汨“，皿一迎 等量代揆得到人里迎m推出ZVPU是等邊三角形， 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.學(xué)科弼試題解析：(1) '.UHXQ，上”小上且0尸，二乙&期二乙W0C, *."(:是等邊三龜形，/3=NO6ET , /

9、豈廣 .，N用方/鬼。-ZP - ZC4Q=60"- 二了 - 2r =2T .'.ZA4Q=Z5JP+ZPJO=40* ；(2)(3口圖 2i,，工電工2，/Pg=/QR .'. ZAP-ZAOC, ,<£(?是等邊三龜形，/.Z5-ZC=50s , . / BAP=/CAQ , .點(diǎn) Q 關(guān)于直線 AC 的對(duì)稱點(diǎn)為 M,，AQ=AM, / QAC=/MAC , . / MAC =/BAP, ，/ BAP+/PAC=/MAC+/CAP=60° , ./PAM=60° , / AP=AQ, . AP=AM , . APM 是等邊三角

10、形，. AP=PM .考點(diǎn)：三角形綜合題.跟蹤練習(xí)：懷柔期末.在等邊 ABC中，E為BC邊上一點(diǎn)，G為BC延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作/AEM=60, 交/ACG的平分線于點(diǎn)M.如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在BC邊的中點(diǎn)位置時(shí)，通過測(cè)量AE, EM的長度，猜測(cè)AE與EM滿足的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，小晏通過觀察、實(shí)驗(yàn)，提出猜測(cè)：當(dāng)點(diǎn)E在BC邊的任意位置時(shí)，始終有 AE=EM小晏把這個(gè)猜測(cè)與同學(xué)進(jìn)展交流，通過討論，形成了證明該猜測(cè)的幾種想法：想法1:在BA上取一點(diǎn) H使AH=CE連接EH,要證 AE=EIM只需證 AH94E CM.想法2:找點(diǎn)A關(guān)于直線 BC的對(duì)稱點(diǎn)F,連接AF, CF, EF.易證/ BCF+

11、Z BCA+ACM=180,所以 M, C, F三點(diǎn)在同一直線上要證 AE=EM只需證A MEF為等腰三角形.想法3:將線段BE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60° ,得到線段BF,連接CF, EF,要證AE=EM只需證四邊形 MCF叨平行四邊形.請(qǐng)你參考上面的想法，幫助小晏證明AE=EM.一種方法即可1分相等;(2)想法一ABC是等邊三角形, . AB=BC, / B=60° . , AH=CEJ BH=BE. .Z BHE=©° .1 .AC/HE. .1./ 1 = /2.在4AOE和中,/ACM=AEM君0° , A AOE=MOE,1=Z 3.2=Z 3. Z BHE=®° ,，/AHE=12T . / ECM=12° . / AHEh ECM： 6分 AH=CE/.A AHEi ECMAAS . .AE=EM： 7分或根據(jù)一線三等角證 ABa ECO得/ BAE4 CEM,再證/ AHE4 ECM得 AH中 ECMASA想法二：在在排OE和中，/ACM=AEM60° ,G/ AOEW , / EACh EMC：又對(duì)稱 AC珞 FCE, / EACh EFC, AE=EF. 5分 ./ EMC= EFC.EF=EM/. AE=EM. 7 分想法三： 將線段BE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°