隱函數(shù)和參數(shù)方程求導ppt課件

1、 Higher mathematics 綿陽師范學院第四節(jié)第四節(jié)一、隱函數(shù)的導數(shù)一、隱函數(shù)的導數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù) 三、相關變化率三、相關變化率 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導隱函數(shù)和參數(shù)方程求導 相關變化率 Higher mathematics 綿陽師范學院31xy一、隱函數(shù)的導數(shù)一、隱函數(shù)的導數(shù)若由方程0),(yxF可確定 y 是 x 的函數(shù) ,由)(xfy 表示的函數(shù) , 稱為顯函數(shù) .例如例如,013 yx可確定顯函數(shù)03275xxyy可確定 y 是 x 的函數(shù) ,但此隱函數(shù)不能顯化 .函數(shù)為隱函數(shù) .則稱此隱函數(shù)求導方法: 0),(yxF0),(ddy

2、xFx兩邊對 x 求導(含導數(shù) 的方程)y Higher mathematics 綿陽師范學院例1. 求由方程03275xxyy)(xyy 在 x = 0 處的導數(shù).0ddxxy解解: 方程兩邊對方程兩邊對 x 求導求導)32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因 x = 0 時 y = 0 , 故210ddxxy0確定的隱函數(shù) Higher mathematics 綿陽師范學院例2. 求橢圓191622yx在點)3,2(23處的切線方程.解解: 橢圓方程兩邊對橢圓方程兩邊對 x 求導求導8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切

3、線方程為323y43)2( x即03843 yx Higher mathematics 綿陽師范學院例3. 求)0(sinxxyx的導數(shù) . 解解: 兩邊取對數(shù)兩邊取對數(shù) , 化為隱式化為隱式xxylnsinln兩邊對 x 求導yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx Higher mathematics 綿陽師范學院 1) 對冪指函數(shù)vuy 可用對數(shù)求導法求導 :uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1說明說明: :按指數(shù)函數(shù)求導公式按冪函數(shù)求導公式注意注意: Higher mathematics 綿陽師范學院2)

4、 有些顯函數(shù)用對數(shù)求導法求導很方便有些顯函數(shù)用對數(shù)求導法求導很方便 .例如例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax兩邊取對數(shù)yln兩邊對 x 求導yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb Higher mathematics 綿陽師范學院又如, )4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny對 x 求導21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx兩邊取對數(shù)2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x Higher mathematics 綿陽師范學院二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)

5、若參數(shù)方程)()(tytx可確定一個 y 與 x 之間的函數(shù))(, )(tt可導, 且,0 )( )(22tt那么0)( t時, 有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t時, 有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此時看成 x 是 y 的函數(shù) )關系, Higher mathematics 綿陽師范學院若上述參數(shù)方程中若上述參數(shù)方程中)(, )(tt二階可導,22ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt )()(tt )(t)()()()()(3ttttt 3xyxxy )dd(ddxyttxdd)()(ddttxy)(tx且,0)( t則由

6、它確定的函數(shù))(xfy 可求二階導數(shù) .利用新的參數(shù)方程,可得 Higher mathematics 綿陽師范學院)()(dd22ttxy,)()(ttxydd?例4. 設)(tfx, 且,0)( tf求.dd22xy ddxy)(tft )(tf , t dd22xy1)(tf 知解解:)()(tftfty練習練習: P111 題題8(1),1221tytxxydd;1t22ddxy21tt31t解解:注意注意 : Higher mathematics 綿陽師范學院例5. 拋射體運動軌跡的參數(shù)方程為 1tvx 求拋射體在時刻 t 的運動速度的大小和方向. 解解: 先求速度大小先求速度大小:速

7、度的水平分量為,dd1vtx垂直分量為,dd2tgvty故拋射體速度大小22)dd()dd(tytxv2221)(gtvv再求速度方向(即軌跡的切線方向):設 為切線傾角,tanxyddtyddtxdd12vtgv 那么yxo2212tgtvy Higher mathematics 綿陽師范學院拋射體軌跡的參數(shù)方程拋射體軌跡的參數(shù)方程22121 tgtvytvx速度的水平分量,dd1vtx垂直分量,dd2tgvtytan12vt gv 在剛射出 (即 t = 0 )時, 傾角為12arctanvv達到最高點的時刻,2gvt 高度ygv2221落地時刻,22gvt 拋射最遠距離xgvv212速度

8、的方向yxo2vt g22vt g Higher mathematics 綿陽師范學院例6. 設由方程) 10(1sin 222yytttx確定函數(shù), )(xyy 求.ddxy解解: 方程組兩邊對方程組兩邊對 t 求導求導 , 得得故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt 2yttycos12dd22 tycostydd0) 1(2ddttxtyddtxdd Higher mathematics 綿陽師范學院 三、相關變化率)(, )(tyytxx為兩可導函數(shù)yx ,之間有聯(lián)系tytxdd,dd之間也有聯(lián)系稱為相關變化率相關變化率問題解法:找出相關變量的關系式對 t 求導得相關變化

9、率之間的關系式求出未知的相關變化率 Higher mathematics 綿陽師范學院例7. 一氣球從離開觀察員500 m 處離地面鉛直上升,其速率為,minm140當氣球高度為 500 m 時, 觀察員視線的仰角增加率是多少? 500h解解: 設氣球上升設氣球上升 t 分后其高度為分后其高度為h , 仰角為仰角為 ,那么tan500h兩邊對 t 求導2sectddthdd5001知,minm140ddth h = 500m 時,1tan22tan1sec,2sec2td 0)minrad/( Higher mathematics 綿陽師范學院思考題: 當氣球升至50

10、0 m 時停住 , 有一觀測者以100 mmin 的速率向氣球出發(fā)點走來,當距離為500 m 時, 仰角的增加率是多少 ?提示提示: tanx500對 t 求導2sectddtxxdd5002知,minm100ddtx.ddtx500,m500 x求 Higher mathematics 綿陽師范學院試求當容器內水Rhxhr例8. 有一底半徑為 R cm , 高為 h cm 的圓錐容器 ,今以 自頂部向容器內注水 ,scm253位等于錐高的一半時水面上升的速度.解解: 設時刻設時刻 t 容器內水面高度為容器內水面高度為 x ,水的VhR231)(231xhrxrh)(33322xhhhR兩邊對

11、 t 求導tVdd22hR2)(xh,ddtx而,)(25222xhRh,2時當hx hxhRr故txdd) scm(25dd3tV) scm(100dd2Rtx體積為 V , 那么R Higher mathematics 綿陽師范學院內容小結內容小結1. 隱函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導2. 對數(shù)求導法 :適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù)3. 參數(shù)方程求導法極坐標方程求導4. 相關變化率問題列出依賴于 t 的相關變量關系式對 t 求導相關變化率之間的關系式轉化轉化求高階導數(shù)時,從低到高每次都用參數(shù)方程求導公式 Higher mathematics 綿陽師范學院思考與練習思考與練習1

12、. 求螺線求螺線r在對應于的點處的切線方程.解解: 化為參數(shù)方程化為參數(shù)方程sincosryrxcossinxyddddyddxcossinsincos當時對應點斜率xykdd222, ),0(2M 切線方程為22xy2 Higher mathematics 綿陽師范學院2. 設,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y1y2y提示提示: 分別用對數(shù)微分法求分別用對數(shù)微分法求.,21yy答案答案: :21yyy) 1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(31xxxx)2(32)2(3ln21xxxxx Higher mathematics 綿陽師范學院3. 設

13、)(xyy 由方程eyxey確定 , , )0(y解解: 方程兩邊對 x 求導, 得0yxyyey再求導, 得2yey yxey)(02 y當0 x時, 1y故由 得ey1)0(再代入 得21)0(ey 求. )0(y Higher mathematics 綿陽師范學院作業(yè)P110 1(1) , (4) ; 2 ; 3 (3) , (4) ; 4 (2) , (4); 5 (2) ; 6 ; 7 (2) ; 8 (2) ,(4) ; 9 (2) ; 10 ; 12 Higher mathematics 綿陽師范學院求其反函數(shù)的導數(shù) .,xexy解解:xyddyxdd方法方法1xe1y1xe11方法方法2