概率論與數(shù)理統(tǒng)計試卷及答案

1、模擬試題一一、 填空題（每空3分，共45分）1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|) = 0.85, 則P(A|) = P( AB) = 2、設事件A與B獨立，A與B都不發(fā)生的概率為，A發(fā)生且B不發(fā)生的概率與B發(fā)生且A不發(fā)生的概率相等，則A發(fā)生的概率為： ；3、一間宿舍內住有6個同學，求他們之中恰好有4個人的生日在同一個月份的概率： ；沒有任何人的生日在同一個月份的概率 ；4、已知隨機變量X的密度函數(shù)為：, 則常數(shù)A= , 分布函數(shù)F(x)= , 概率 ；5、設隨機變量X B(2，p)、Y B(1，p)，若，則p = ，若X與Y獨立，則Z=max(X,Y)的分布律

2、： ；6、設且X與Y相互獨立，則D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y, X)= ；7、設是總體的簡單隨機樣本，則當 時， ；8、設總體為未知參數(shù)，為其樣本，為樣本均值，則的矩估計量為： 。9、設樣本來自正態(tài)總體，計算得樣本觀察值，求參數(shù)a的置信度為95%的置信區(qū)間： ；二、 計算題（35分）1、 (12分)設連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為： 求：1）；2）的密度函數(shù)；3）；2、(12分)設隨機變量(X,Y)的密度函數(shù)為1） 求邊緣密度函數(shù)；2） 問X與Y是否獨立？是否相關？3） 計算Z = X + Y的密度函數(shù)； 3、（11分）設總體X的概率密度函數(shù)為： X1,X2,Xn是取自總體X的簡單

3、隨機樣本。1） 求參數(shù)的極大似然估計量；2） 驗證估計量是否是參數(shù)的無偏估計量。三、 應用題（20分）1、（10分）設某人從外地趕來參加緊急會議，他乘火車、輪船、汽車或飛機來的概率分別是3/10，1/5，1/10和2/5。如果他乘飛機來，不會遲到；而乘火車、輪船或汽車來，遲到的概率分別是1/4，1/3，1/2?，F(xiàn)此人遲到，試推斷他乘哪一種交通工具的可能性最大？2（10分）環(huán)境保護條例，在排放的工業(yè)廢水中，某有害物質不得超過0.5，假定有害物質含量X服從正態(tài)分布?，F(xiàn)在取5份水樣，測定該有害物質含量，得如下數(shù)據(jù)： 0.530，0.542，0.510，0.495，0.515能否據(jù)此抽樣結果說明有害物

4、質含量超過了規(guī)定()？附表：模擬試題二一、填空題(45分，每空3分) 1設 則 2設三事件相互獨立，且，若，則 。 3設一批產(chǎn)品有12件，其中2件次品，10件正品，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取3件，若用表示取出的3件產(chǎn)品中的次品件數(shù)，則的分布律為 。4設連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為 則 ，的密度函數(shù) 。 5設隨機變量，則隨機變量的密度函數(shù) 6設的分布律分別為 -1 0 1 0 1 1/4 1/2 1/4 1/2 1/2且，則的聯(lián)合分布律為 。和 7設，則 ， 。8設是總體的樣本，則當 ， 時，統(tǒng)計量服從自由度為2的分布。 9設是總體的樣本，則當常數(shù) 時，是參數(shù)的無偏估計量。 10設由來自總體容量為9的樣本

5、，得樣本均值=5，則參數(shù)的置信度為0.95的置信區(qū)間為 。二、計算題(27分) 1(15分)設二維隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為（1） 求的邊緣密度函數(shù)；（2） 判斷是否獨立？為什么？（3） 求的密度函數(shù)。 2(12分)設總體的密度函數(shù)為其中是未知參數(shù)，為總體的樣本，求（1）參數(shù)的矩估計量； （2）的極大似然估計量。三、應用題與證明題(28分) 1(12分)已知甲，乙兩箱中有同種產(chǎn)品，其中甲箱中有3件正品和3件次品，乙箱中僅有3件正品，從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，（1）求從乙箱中任取一件產(chǎn)品為次品的概率；（2）已知從乙箱中取出的一件產(chǎn)品為次品，求從甲箱中取出放入乙箱的3件產(chǎn)品中恰有2件次品的概率

6、。 2(8分)設某一次考試考生的成績服從正態(tài)分布，從中隨機抽取了36位考生的成績，算得平均成績分，標準差分，問在顯著性水平下，是否可以認為這次考試全體考生的平均成績?yōu)?0分，并給出檢驗過程。3(8分)設，證明：相互獨立。附表：模擬試題三一、填空題（每題3分，共42分） 1設 若互斥，則 ；獨立，則 ；若，則 。 2在電路中電壓超過額定值的概率為，在電壓超過額定值的情況下，儀器燒壞的概率為，則由于電壓超過額定值使儀器燒壞的概率為 ； 3設隨機變量的密度為，則使成立的常數(shù) ； ； 4如果的聯(lián)合分布律為 Y 1 2 3 X 1 1/6 1/9 1/18 2 1/3 則應滿足的條件是 ，若獨立， ，

7、， 。5設，且 則 ， 。6設，則服從的分布為 。7測量鋁的比重16次，得， 設測量結果服從正態(tài)分布，參數(shù)未知，則鋁的比重的置信度為95%的置信區(qū)間為 。二、（12分）設連續(xù)型隨機變量X的密度為： （1）求常數(shù)； （2）求分布函數(shù)； （3）求的密度 三、（15分）設二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合密度為（1）求常數(shù)； （2）求的邊緣密度；（3）問是否獨立？為什么？（4）求的密度； （5）求。 四、（11分）設總體X的密度為其中是未知參數(shù)，是來自總體X的一個樣本，求（1） 參數(shù)的矩估計量；（2） 參數(shù)的極大似然估計量； 五、（10分）某工廠的車床、鉆床、磨床和刨床的臺數(shù)之比為9:3:2:1，它們在一定時

8、間內需要修理的概率之比為1:2:3:1，當有一臺機床需要修理時，求這臺機床是車床的概率。 六、（10分）測定某種溶液中的水份，設水份含量的總體服從正態(tài)分布，得到的10個測定值給出，試問可否認為水份含量的方差？（） 附表：模擬試題四一、填空題（每題3分，共42分） 1、 設、為隨機事件，則與中至少有一個不發(fā)生的概率為 ；當獨立時，則 2、 椐以往資料表明，一個三口之家患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：=0.6，=0.5，=0.4，那么一個三口之家患這種傳染病的概率為 。3、設離散型隨機變量的分布律為：，則=_ 。4、若連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為則常數(shù) ， ，密度函數(shù) 5、已知連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)

9、為，則 ， 。 。6、設， ，且與獨立， 則)= 。7、設隨機變量相互獨立，同服從參數(shù)為分布的指數(shù)分布，令的相關系數(shù)。則 , 。（注：）二、計算題（34分）1、 （18分）設連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)為 （1）求邊緣密度函數(shù)； （2）判斷與的獨立性； （3）計算； （3）求的密度函數(shù) 2、（16分）設隨機變量與相互獨立，且同分布于。令。（1）求的分布律； （2）求的聯(lián)合分布律；（3）問取何值時與獨立？為什么？ 三、應用題（24分）1、 （12分）假設一部機器在一天內發(fā)生故障的概率是0.2。若一周5個工作日內無故障則可獲10萬元；若僅有1天故障則仍可獲利5萬元；若僅有兩天發(fā)生故障可獲利0萬元；若有

10、3天或3天以上出現(xiàn)故障將虧損2萬元。求一周內的期望利潤。 2、 （12分）將、三個字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為0.8，而輸出為其它一字母的概率都為0.1。今將字母，之一輸入信道，輸入，的概率分別為0.5，0.4，0.1。已知輸出為，問輸入的是的概率是多少？（設信道傳輸每個字母的工作是相互獨立的）。答 案（模擬試題一）四、 填空題（每空3分，共45分）1、0.8286 ， 0.988 ；2、 2/3 ；3、，；4、 1/2, F(x)= ， ；5、p = 1/3 ， Z=max(X,Y)的分布律： Z 0 1 2P 8/27 16/27 3/27；6、D(2X-3Y)= 43.92 ,

11、 COV(2X-3Y, X)= 3.96 ；7、當 時，；8、的矩估計量為：。9、 9.216，10.784 ； 五、 計算題（35分）1、解 1） 2） 3）2、解：1） 2）顯然，所以X與Y不獨立。 又因為EY=0，EXY=0，所以，COV(X,Y)=0，因此X與Y不相關。 3）3、解1） 令 解出： 2） 的無偏估計量。 六、 應用題（20分）1解：設事件A1，A2，A3，A4分別表示交通工具“火車、輪船、汽車和飛機”，其概率分別等于3/10，1/5，1/10和2/5，事件B表示“遲到”，已知概率分別等于1/4，1/3，1/2，0 則 ，由概率判斷他乘火車的可能性最大。2 解：（）， 拒

12、絕域為： 計算， 所以，拒絕，說明有害物質含量超過了規(guī)定。 附表：答 案（模擬試題二）一、填空題(45分，每空3分)1 23 0 1 2 6/11 9/22 1/224， 56 0 1 -1011/4 00 1/21/4 078；9； 10. 二、計算題(27分)1（1）（2）不獨立 （3） 2（1）計算 根據(jù)矩估計思想， 解出：； （2）似然函數(shù) 顯然，用取對數(shù)、求導、解方程的步驟無法得到的極大似然估計。用分析的方法。因為，所以，即 所以，當時，使得似然函數(shù)達最大。極大似然估計為。三、1解：（1）設表示“第一次從甲箱中任取3件，其中恰有i件次品”，（i=0,1,2,3） 設表示“第二次從乙箱

13、任取一件為次品”的事件； （2） 2 解： （）， 拒絕域為： 根據(jù)條件，計算并比較 所以，接受，可以認為平均成績?yōu)?0分。 3(8分)證明：因為 相互獨立 答 案（模擬試題三）一、填空題（每題3分，共42分） 1 0.5 ； 2/7 ； 0.5 。 2 ； 3； 15/16； 4 ， 2/9 ， 1/9 ， 17/3 。5 6 ， 0.4 。 6。7 (2.6895, 2.7205) 。二、解：（1） （2）（3）Y的分布函數(shù) 三、解：（1）， （2）（3）不獨立； （4）（5） 四、解：（1） 令，即 解得。 （2），解得 五、解：設=某機床為車床，；=某機床為鉆床，；=某機床為磨床，；=某機床為刨床，； =需要修理， 則 。六、解：拒絕域為： 計算得，查表得樣本值落入拒絕域內，因此拒絕。附表：答 案（模擬試題四）一、填空題（每題3分，共42分） 1、 0.4 ； 0.8421 。 2、 0.12 。 3、， 。 4、， 。5、3， 5 ， 0.6