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1、應(yīng)用平面向量基本定理解題舉例秭歸一中數(shù)學(xué)組 周宗圣 向量融數(shù)、形于一體，具有幾何與代數(shù)形式的雙重身份，因此向量的引入與應(yīng)用極大地拓寬了解題的思想與方法。其解題方法歸納如下：一.化歸思想:將題目已知條件轉(zhuǎn)化成形式，其中、不共線，則.例1：設(shè)、為非零向量，其中任意兩個(gè)向量不共線，已知+與共線，且+與共線，試問(wèn)與+是否共線？并證明你的結(jié)論.證明：與共線，存在唯一實(shí)數(shù)，使得= 又+與共線，存在唯一實(shí)數(shù)，使得= -：-=-,又與不共線，,代入：=-，故與+共線.G二.構(gòu)造思想：構(gòu)造某向量在同一組基底下的兩種不同表示形式，即（不共線），則 .例2：在ABC中，BD=DC，AE=2EC，求和.解：設(shè)，,D是

2、BC的中點(diǎn)，,又AG=GD，,又AE=2EC，,BG=GE，,故 ,故，.總結(jié)：用平面向量基本理解題的步驟可概括為：第一步：選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)不共線向量作為一組基底,第二步：用兩種不同的形式表示同一向量(一般要將向量集中到同一三角形中),第三步：利用平面向量基本定理列方程組并求解,第四步：答題.三.待定系數(shù)法：構(gòu)造關(guān)于基底的實(shí)系數(shù)方程組，即若，則，化簡(jiǎn)求解.例3：如圖，與的夾角為120，與夾角為30，試用、表示解：設(shè),化簡(jiǎn)得.同理可得:.解得：，故.總結(jié)：在此解法中，應(yīng)用了下列推理：.四.鞏固練習(xí)T1：設(shè)點(diǎn)P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，延長(zhǎng)CP交邊AB于點(diǎn)Q，設(shè)，用表示.T2：已知ABC的面積為14cm2，D、E分別是邊AB、BC上的點(diǎn)，且AD:DB=BE:EC=2:1，連接AE和CD相交于點(diǎn)P,求APC的面積. T3：平面內(nèi)有三個(gè)向量、，其中，與的夾角為120，與的夾角為60，若=，（、），求+的值.解T1：C、P、Q三點(diǎn)共線，A、Q、B三點(diǎn)共線，設(shè)，,又，即,代入得：,即.與不共線， .，P是線段CQ的中點(diǎn)，故.解T2：設(shè)，為平面ABC的一組基底，則，,點(diǎn)A、P、E共線，D、P

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