一次函數(shù)和反比例函數(shù)的知識點及例題

1、一次函數(shù)和反比例函數(shù)知識點及典型例題一次函數(shù): 一、基礎(chǔ)知識1.一次函數(shù)定義:若兩個變量x ,y 間的關(guān)系可以表示成y=kx+b (k ,b 為常數(shù),k 0的形式,則稱y 是x 的一次函數(shù)。其中x 是自變量,y 是因變量。當(dāng)b=0時,y=kx( k 0,稱y 是x 的正比例函數(shù)。2.一次函數(shù)的圖像畫法:列表描點連線在實際解題過程中,畫一次函數(shù)的圖象時,只要先描出兩點,再連成直線即可.一般情況下是先選取它與兩坐標(biāo)軸的交點:(0,b ,(bk -,0.即橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)為0的點.3、一次函數(shù)的表示方法(1列表法 (2解析式法: (3圖象法:4、正比例函數(shù)及性質(zhì)1解析式:y=kx (k 是常數(shù),k 0

2、 2必過點:(0,0、(1,k 3走向:k>0時,圖像經(jīng)過一、三象限;k<0時,圖像經(jīng)過二、四象限 4增減性:k>0,y 隨x 的增大而增大;k<0,y 隨x 增大而減小 5、一次函數(shù)的性質(zhì)(重點,請牢記1解析式:y=kx+b(k 、b 是常數(shù),k 0 2必過點:(0,b 和(-kb,0 3走向: k>0,圖象經(jīng)過第一、三象限;k<0,圖象經(jīng)過第二、四象限b>0,圖象經(jīng)過第一、二象限;b<0,圖象經(jīng)過第三、四象限 4增減性: k>0,y 隨x 的增大而增大;k<0,y 隨x 增大而減小. 6圖像的平移: 當(dāng)b>0時,將直線y=k

3、x 的圖象向上平移b 個單位;當(dāng)b<0時,將直線y=kx 的圖象向下平移b 個單位.6、一次函數(shù)y=kx +b 的圖象(重點,請牢記 7、正比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象之間的關(guān)系一次函數(shù)y=kx +b 的圖象是一條直線,它可以看作是由直線y=kx 平移|b|個單位長度而得到(當(dāng)b>0時,向上平移;當(dāng)b<0時,向下平移. 8、直線y=k 1x+b 1與y=k 2x+b 2的位置關(guān)系(1兩直線平行:k 1=k 2且b 1b 2 2兩直線相交:k 1k 2 3兩直線重合:k 1=k 2且b 1=b 2 9、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的一般步驟:(1設(shè)一次函數(shù)(2代人點的坐標(biāo)(3解方程得出

4、未知系數(shù)的值; (4將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)關(guān)系式中得出所求函數(shù)的解析式.二、經(jīng)典例題題型一、點的坐標(biāo)方法: x 軸上的點縱坐標(biāo)為0,y 軸上的點橫坐標(biāo)為0;若兩個點關(guān)于x 軸對稱,則他們的橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)互為相反數(shù); 若兩個點關(guān)于y 軸對稱,則它們的縱坐標(biāo)相同,橫坐標(biāo)互為相反數(shù); 若兩個點關(guān)于原點對稱,則它們的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)也互為相反數(shù); 1、 若點A (m,n 在第二象限,則點(|m|,-n 在第_象限;2、 若點P (2a-1,2-3b 是第二象限的點,則a,b 的范圍為_;3、 已知A (4,b ,B (a,-2,若A ,B 關(guān)于x 軸對稱,則a=_,b=_;若A,B

5、 關(guān)于y 軸對稱,則a=_,b=_;若若A ,B 關(guān)于原點對稱,則a=_,b=_; 4、 若點M (1-x,1-y 在第二象限,那么點N (1-x,y-1關(guān)于原點的對稱點在第_象限。 題型二、關(guān)于點的距離的問題方法:點到x 軸的距離用縱坐標(biāo)的絕對值表示,點到y(tǒng) 軸的距離用橫坐標(biāo)的絕對值表示; 任意兩點(,(,A A B B A x y B x y ; 若AB x 軸,則(,0,(,0A B A x B x 的距離為A B x x -; 若AB y 軸,則(0,(0,A B A y B y 的距離為A B y y -; 點(,A A A x y 1、 點B (2,-2到x 軸的距離是_;到y(tǒng) 軸

6、的距離是_;2、 點C (0,-5到x 軸的距離是_;到y(tǒng) 軸的距離是_;到原點的距離是_;3、 點D (a,b 到x 軸的距離是_;到y(tǒng) 軸的距離是_;到原點的距離是_;4、 已知點P (3,0,Q(-2,0,則PQ=_,已知點110,0,22M N - ,則MQ=_;(2,1,2,8E F -,則EF 兩點之間的距離是_;已知點G (2,-3、H (3,4,則G 、H 兩點之間的距離是_;6、 已知點A (0,2、B (-3,-2、C (a,b ,若C 點在x 軸上,且ACB=90°,則C 點坐標(biāo)為_. 題型三、一次函數(shù)與正比例函數(shù)的識別方法:若y=kx+b(k,b 是常數(shù),k

7、0,那么y 叫做x 的一次函數(shù),特別的,當(dāng)b=0時,一次函數(shù)就成為y=kx(k是常數(shù),k 0,這時,y 叫做x 的正比例函數(shù),當(dāng)k=0時,一次函數(shù)就成為若y=b ,這時,y 叫做常函數(shù)。 A 與B 成正比例 A=kB(k 01、當(dāng)k_時,(2323y k x x =-+-是一次函數(shù);2、當(dāng)m_時,(21345m y m x x +=-+-是一次函數(shù);3、當(dāng)m_時,(21445m y m x x +=-+-是一次函數(shù);4、2y-3與3x+1成正比例,且x=2,y=12,則函數(shù)解析式為_; 題型四、函數(shù)圖像及其性質(zhì)1.一次函數(shù)y=kx+b (k0中k 、b 的意義:k(稱為斜率表示直線y=kx+b

8、 (k0 的傾斜程度;b (稱為截距表示直線y=kx+b (k0與y 軸交點的 ,也表示直線在y 軸上的。 2.同一平面內(nèi),不重合的兩直線 y=k 1x+b 1(k 10與 y=k 2x+b 2(k 20的位置關(guān)系: 當(dāng)時,兩直線平行。 當(dāng)時,兩直線垂直。當(dāng)時,兩直線相交。 當(dāng)時,兩直線交于y 軸上同一點。 3.特殊直線方程:X 軸 : 直線Y 軸 : 直線與X 軸平行的直線 與Y 軸平行的直線 一、三象限角平分線 二、四象限角平分線 (1、對于函數(shù)y =5x+6,y 的值隨x 值的減小而_。 (2、對于函數(shù)1223y x =-, y 的值隨x 值的_而增大。(3、一次函數(shù) y=(6-3mx

9、+(2n -4不經(jīng)過第三象限,則m 、n 的范圍是_。 (4、直線y=(6-3mx +(2n -4不經(jīng)過第三象限,則m 、n 的范圍是_。 (5、已知直線y=kx+b 經(jīng)過第一、二、四象限,那么直線y=-bx+k 經(jīng)過第_象限。 (6,無論m 為何值,直線y=x+2m 與直線y=-x+4的交點不可能在第_象限。 (7、已知一次函數(shù)(a 當(dāng)m 取何值時,y 隨x 的增大而減小? (b 當(dāng)m 取何值時,函數(shù)的圖象過原點?題型五、待定系數(shù)法求解析式方法:依據(jù)兩個獨立的條件確定k,b 的值,即可求解出一次函數(shù)y=kx+b (k 0的解析式。 已知是直線或一次函數(shù)可以設(shè)y=kx+b (k 0; 若點在直

10、線上,則可以將點的坐標(biāo)代入解析式構(gòu)建方程。 1、若函數(shù)y=3x+b 經(jīng)過點(2,-6,求函數(shù)的解析式。2、直線y=kx+b的圖像經(jīng)過A(3,4和點B(2,7,3、如圖1表示一輛汽車油箱里剩余油量y(升與行駛時間x(小時之間的關(guān)系.求油箱里所剩油y(升與行駛時間x(小時之間的函數(shù)關(guān)系式,并且確定自變量x的取值范圍。 4、一次函數(shù)的圖像與y=2x-5平行且與x軸交于點(-2,0求解析式。5、若一次函數(shù)y=kx+b的自變量x的取值范圍是-2x6,相應(yīng)的函數(shù)值的范圍是-11y9,求此函數(shù)的解析式。6、已知直線y=kx+b與直線y= -3x+7關(guān)于y軸對稱,求k、b的值。7、已知直線y=kx+b與直線y

11、= -3x+7關(guān)于x軸對稱,求k、b的值。8、已知直線y=kx+b與直線y= -3x+7關(guān)于原點對稱,求k、b的值。9.已知正比例函數(shù)y=kx (k<0圖象上的一點與原點的距離等于13,過這點向x軸作垂線,這點到垂足間的線段和x軸及該圖象圍成的圖形的面積等于30,求這個正比例函數(shù)的解析式。 10.在直角坐標(biāo)系x0y中,一次函數(shù)y=x+的圖象與x軸,y軸,分別交于A、B兩點,點C坐標(biāo)為(1, 0,點D在x軸上,且BCD=ABD,求圖象經(jīng)過B、D兩點的一次函數(shù)的 解析式。 11.已知:如圖一次函數(shù)y=x-3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點過點C(4,0作AB的垂線交AB 于點E,交y軸于

12、點D,求點D、E的坐標(biāo)。 題型六、平移方法:直線y=kx+b 與y 軸交點為(0,b ,直線平移則直線上的點(0,b 也會同樣的平移,平移不改變斜率k ,則將平移后的點代入解析式求出b 即可。直線y=kx+b 向左平移2向上平移3 <=> y=k(x+2+b+3;(“左加右減,上加下減”。1. 直線y=5x-3向左平移2個單位得到直線。2. 直線y=-x-2向右平移2個單位得到直線3. 直線y=21x 向右平移2個單位得到直線 4. 直線y=223+-x 向左平移2個單位得到直線 5. 直線y=2x+1向上平移4個單位得到直線6. 直線y=-3x+5向下平移6個單位得到直線7. 直

13、線x y 31=向上平移1個單位,再向右平移1個單位得到直線。 8. 直線143+-=x y 向下平移2個單位,再向左平移1個單位得到直線_。 9. 過點(2,-3且平行于直線y=2x 的直線是_ _。10. 過點(2,-3且平行于直線y=-3x+1的直線是_.11.把函數(shù)y=3x+1的圖像向右平移2個單位再向上平移3個單位,可得到的圖像表示的函數(shù)是_;12.直線m:y=2x+2是直線n 向右平移2個單位再向下平移5個單位得到的,而(2a,7在直線n 上,則a=_;13.平面直角坐標(biāo)系中,鉛筆圖案的五個頂點的坐標(biāo)分別是(0,1,(4,1,(5,1.5,(4,2,(0,2.(1描出鉛筆圖案的五個

14、頂點在坐標(biāo)系中的位置,并順次連接各點形成鉛筆圖案;(2將(1圖案向左平移5個單位,再向下平移3個單位,請作出平移后的圖案. 題型七、交點問題及直線圍成的面積問題方法:兩直線交點坐標(biāo)必滿足兩直線解析式,求交點就是聯(lián)立兩直線解析式求方程組的解;復(fù)雜圖形“外補內(nèi)割”即:往外補成規(guī)則圖形,或分割成規(guī)則圖形(三角形;往往選擇坐標(biāo)軸上的線段作為底,底所對的頂點的坐標(biāo)確定高;1、 直線經(jīng)過(1,2、(-3,4兩點,求直線與坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積。2、 已知一個正比例函數(shù)與一個一次函數(shù)的圖象交于點A (3,4,且OA=OB (1 求兩個函數(shù)的解析式;(2求AOB 的面積;3.已知直線m 經(jīng)過兩點(1,6、(-

15、3,-2,它和x 軸、y 軸的交點式B 、A ,直線n 過點(2,-2,且與y 軸交點的縱坐標(biāo)是-3,它和x 軸、y 軸的交點是D 、C ;(1 分別寫出兩條直線解析式,并畫草圖; (2 計算四邊形ABCD 的面積;(3 若直線AB 與DC 交于點E ,求BCE 的面積。4.如圖,A 、B 分別是x 軸上位于原點左右兩側(cè)的點,點P (2,p 在第一象限,直線PA 交y 軸于點C (0,2,直線PB 交y 軸于點D ,AOP 的面積為6;(4 求COP 的面積; (5 求點A 的坐標(biāo)及p 的值;(6 若BOP 與DOP 的面積相等,求直線BD 的函數(shù)解析式。5、已知:經(jīng)過點(-3,-2,它與x軸

16、,y軸分別交于點B、A,直線經(jīng)過點(2, -2,且與y軸交于點C(0,-3,它與x軸交于點D (1求直線的解析式;(2若直線與交于點P,求的值。6. 如圖,已知點A(2,4,B(-2,2,C(4,0,求ABC的面積。 7.已知一次函數(shù)物圖象經(jīng)過A(-2,-3,B(1,3兩點.求這個一次函數(shù)的解析式.試判斷點P(-1,1是否在這個一次函數(shù)的圖象上.求此函數(shù)與x軸、y軸圍成的三角形的面積. 反比例函數(shù):一、基礎(chǔ)知識1.定義:一般地形如xk y =(k 為常數(shù),o k 的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。x k y =還可以寫成kx y =1-。 (1 自變量x 的取值為一切非零實數(shù)。(2函數(shù)y 的取值是一切非零

17、實數(shù)2.反比例函數(shù)的圖像圖像的畫法:描點法 列表(應(yīng)以O(shè) 為中心,沿O 的兩邊分別取三對或以上互為相反的數(shù) 描點(有小到大的順序 連線(從左到右光滑的曲線 反比例函數(shù)的圖像是雙曲線,xk y =(k 為常數(shù),0k 中自變量0x ,函數(shù)值0y ,所以雙曲線是不經(jīng)過原點,斷開的兩個分支,延伸部分逐漸靠近坐標(biāo)軸,但是永遠不與坐標(biāo)軸相交。反比例函數(shù)的圖像是是軸對稱圖形(對稱軸是x y =或x y -=。 反比例函數(shù)x k y =(0k 中比例系數(shù)k 的幾何意義是:過雙曲線xk y = (0k 上任意引x 軸y 軸的垂線,所得矩形面積為k 。 一、三象限,y 值隨x 的增大而減小 二、四象限,y 值隨x

18、 的增大而增大3. 反比例函數(shù)解析式的確定:利用待定系數(shù)法(只需一對對應(yīng)值或圖像上一個點的坐標(biāo)即可求出k 4.“反比例關(guān)系”與“反比例函數(shù)”:成反比例的關(guān)系式不一定是反比例函數(shù),但是反比例函數(shù)xk y =中的兩個變量必成反比例關(guān)系。二、經(jīng)典例題題型一、函數(shù)圖像及其性質(zhì)例1、如果函數(shù)222-+=k kkx y 的圖像是雙曲線,且在第二,四象限內(nèi),那么的值是多少?例2一次函數(shù)y = kx k 與反比例函數(shù)y =k x在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是( 例3.如圖,是反比例函數(shù)y =2-m x 的圖象的一支.(1函數(shù)圖象的另一支在第幾象限?(2求常數(shù)m 的取值范圍。 例4.如圖1:是三個反比例函數(shù)y=

19、,y=,y=在x 軸上的圖像,由此觀察得到k1、k2、k3的大小關(guān)系為( A 、k1>k2>k3B 、k1>k3>k2C 、k2>k3>k1D 、k3>k1>k2 例5.已知3=b ,且反比例函數(shù)xb y +=1的圖象在每個象限內(nèi),y 隨x 的增大而增大,如果點(3,a 在雙曲線上x b y +=1,求a 是多少?題型二、待定系數(shù)法求解析式 例 1.某中學(xué)要在校園內(nèi)劃出一塊面積為 100m2 的矩形土地做花圃， 設(shè)這個矩形的相鄰兩邊的長分別為 xm 和 ym， 求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式. 例 2.如圖,OPQ 是邊長為 2 的等邊三角形,若

20、反比例函數(shù)的圖象過點 P,則它的解析式是。 例 3 某蓄水池的排水管每小時排水 8m ，6 小時可將滿池水全部排空 3 （1）蓄水池的容積是多少？ （2）如果增加排水管，使每小時的排水量達到 Q（m3） ，那么將滿池水排空所需的時間 t（h）將如 何變化？ （3）寫出 t 與 Q 的關(guān)系式 （4）如果準備在 5 小時內(nèi)將滿池水排空，那么每小時的排水量至少為多少？ （5）已知排水管的最大排水量為每小時 12m3，那么最少需多長時間可將滿池水全部排空？ 例 4.某商場出售一批名牌襯衣，襯衣進價為 60 元，在營銷中發(fā)現(xiàn)，該襯衣的日銷售量 y（件）是 日銷售價 x 元的反比例函數(shù)，且當(dāng)售價定為 10

21、0 元/件時，每日可售出 30 件. （1）請寫出 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式； （2）該商場計劃經(jīng)營此種襯衣的日銷售利潤為 1800 元，則其售價應(yīng)為多少元？ 例 5.如圖 15l3 所示，已知一次函數(shù) y= kxb（k（1）的圖象與 x 軸、y 軸分別交于 A、B 兩點，且與反 11 比例函數(shù) y= m （m0）的圖象在第一象限交于 C 點，CD 垂直于 x 軸，垂足為 D若 OA=OB=OD1 （1） x 求點 A、B、D 的坐標(biāo)； （2）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式 例 6如圖 1514 所示，AOC 的面積為 6，且 CB：BA=3：1，求過點 A 的雙曲線的表達式 例 7.如圖 1515 所示，一次函數(shù)的圖象與 x 軸、y 軸分別交于 A、B 兩點，與反比例函數(shù)的圖象交于 C、D 兩 點如果 A 點的坐標(biāo)為（2，0） ，點 C、D 分別在第一、三象限，且 OA=OB=AC=BD試求一次函數(shù)和反比例 函數(shù)的解析式 題型三、交點問題及直線圍成的面積問題 例 1.已知反比例函數(shù) y = 5 的圖象上有兩點 P(1，a，Q(b，2.5. x (1 求 a、b 的值； (2 過點 P 作 y 軸的垂線交