圓錐曲線中的焦點三角形

1、1焦點二角形焦點三角形問題是重要考點，考到的內(nèi)容有：橢圓或雙曲線定義和正余弦定理以及面積公式等。常與曲線的離心率相結(jié)合，注意平面幾何知識的應(yīng)用。一:橢圓的焦點三角形橢圓的焦點三角形是指以橢圓的兩個焦點F1, F2與橢圓上任意一點P為頂點組成的三角形。2 2篤吿=1（a b 0）a b（1）| PF1| | PF2|=2a（2）4c2-|PF,|2- |PF2|2-2 | PF,| PF2|COS. F,PF2（3）橢圓上的點與兩焦點連線的夾角以橢圓短軸頂點與兩焦點連線的夾角最大2 2證明：設(shè) P 是橢圓 篤每=1 （a b 0，C為半焦距）上的一點，0 為原點，E、F 是a b橢圓的兩焦點，P

2、E =m，PF =nEPF有最大值，當(dāng)且僅當(dāng) P 在短軸端點時取到該最大值。（4）設(shè)P為橢圓上的任意一點，角.RF2P=， F2RP = 1, F2PF1-，則有離心SPFF二b2-=b2tan =尼1COST22 2證明：由正弦定理得:由等比定理得:F1F2F1F2PF1sin（180）_sin：- sin：PF|PF2sin（二，；）F1F22C而sin（-：5）sin（-： ）sin（a+ 門sin sin :PF+|PF2|sin二- sin :sin-2asin :Ce =a例題：sin二1sin :貝VCOSEPF二2mn24b -2mn2mn2b22b212mna-1，由余弦函數(shù)

3、圖象性質(zhì)知率e=前C J,sin o +sin P性質(zhì)有:m2n22x , y圓22=1（a,b 0）的兩個a b414PR PF2,| PF1|PF21.求橢圓的方程33焦占八、F1, F2,點P在橢圓上，且2 232、設(shè) P 為橢圓篤爲(wèi)=1(a .b 0)上一點，F(xiàn)i、F2為焦點，如果.PFiF75,a b=15，則橢圓的離心率為( (B.蘭22xF2是橢圓9PF2F1A 丄丄23、F1、AF1F2的面積為(2-L=1的兩個焦點,7)A為橢圓上一點，且/AF1F450，則2 24、Fi、F2是橢圓 -1的兩個焦點,2516x軸的距離為77.5C.D.-2 2A為橢圓上一點，且F1AF2=9

4、0：,則A至U16A.3B.165i6 i6 or 35D 非上述答案5、設(shè)Fi,F2分別是橢圓2x252-L = i的左、i6右焦點,P為橢圓上一點,Fi, F2, P是直角三角形的一個頂點，則i6A.316B.5P點到C.x軸的距離是16 16或一53D.非上述答案6、 設(shè)F-),F2分別是橢圓2-i的左、259右焦點,P為橢圓上一點，F(xiàn)i, F2, P是是直角三角形的三個頂點,9A.4B.P點到x軸的距離是9十9C.或一54n .D. 非上述答案，傾斜角為的直線交橢圓于A,B兩點，若3.(構(gòu)造焦點三角形，兩次應(yīng)用余弦定理，整體處理余弦定理的結(jié)果)X2y28、已知RtABC,AB=AC=1

5、,點C為橢圓2=1(a b 0)的右焦點，且AB為a b7、過橢圓左焦點FA=2FB，則橢圓的離心率為經(jīng)過橢圓左焦點的弦，求橢圓的離心率。2 2x y9、已知橢圓2=i(a b 0)的左、右焦點分別為Fi(-c,0), F2(c,0)，若橢圓上存在a ba一點P使- 二-，則該橢圓的離心率的取值范圍為()sin ZPFsiA.(、2 -i,i)B.(、3 -i,i)C.( .3 - .2,i)D.J)二：雙曲線的焦點三角形雙曲線的焦點三角形是指以雙曲線的兩個焦點Fi, F2與雙曲線上任意一點P為頂點組成的2 242 25二角形。2= 1(a 0, b 0)a b(1)|PFi| PF2|=2a

6、(2)(3)有離心率4c2=| PF,|2- | PF2|2-2 | PF1| PF2|COS. F1PF2設(shè)P為橢圓上的任意一點，角.F1F2 . F2F1 , F2PF1- V，則 sin (a+P)/沖，當(dāng) 廠_匕2si n日= b2-CO_ta n?2e =sin：-sin(爲(wèi)八)，SPF1F2(4)例題:2-1上的一點，12| PF |：|PF2 =3: 2，則PF1F2的面積為(12、32為雙曲線xF,F2是該雙曲線的兩個焦點，若A.6、3B.122、已知F1,F2為雙曲線COF1PF2-1A.4-22)C : x2C.2-yD.24=2的左右焦點，點P在C上,| PF12 | P

7、F2|，則B.3、雙曲線X2-匚=1的焦點為Fi、34C.D.45IF2，點 M 在雙曲線上且MRMF2=0，則點 M 到x軸的距離為(4A.35B.-34、已知F1、F2為雙曲線P到 x 軸的距離為(A)(B)2 2C:x22_y(C) )32.3D.-3=1的左、右焦點，點 P 在 C 上，/F1PF2=600，則C.3(D)65、設(shè) Fi, F2分別是雙曲線a一點 P，使(OP OF2)F2P= 0, O 為坐標(biāo)原點，且 心率為2 2務(wù)-告=1(a0,b0)的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一b| PF1h - 3 | PF2|，則該雙曲線的離_3 亠 1.A.3 1B. - C. x62

8、D.26.22 262 276、設(shè)點 P 是雙曲線一22a bF2分別是雙曲線的左、右焦點,2 2 2 2二1(a , b 0)與圓x y a b在第一象限的交點,Fi、B.且| PF11 = 3| PF21，則雙曲線的離心率2,10102227、過雙曲線冷_爲(wèi)=1(aa b0,b0)的左焦點2 2 2F(-c,0)作圓x y二a的切線，切點為E,延長FE交雙曲線于點P,O為原點，若1OE (OF OP)，則雙曲線的離心率22 2x &已知F1、F2分別為雙曲線C:二2-1 a b 0的左、右焦點，點P為雙曲線右a b支上一點，滿足| PF2|=| F1F2|，且F2到直線PF1的距離

9、等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線53的離心率為9、已知Fi、F2分別為雙曲線一點P，滿足I PF1戶2 | PF2|10、已知F-i, F2為離心率為co PF2F1-2 2C:篤-爲(wèi)=1a b 0的左、右焦點，若雙曲線上存在a b，則該雙曲線的離心率范圍為 (1, 32的雙曲線的左右焦點，點P在C上,| PF12| PF2|，則11、設(shè)F,F2分別是雙曲線1 33 52X - 1的左、右焦點.9C.2D .3 I若點P在雙曲線上，且PFPF2-0,則PR+PF2|=(A.、帀)2 102xB.c.、522 =1的左、右焦點，A, B是圓12、設(shè)F2分別是雙曲線a bABF2為等邊三角形，則 該

10、雙曲線的離心率6 1D .乜2x2y a2 b2與雙曲線左支的兩個交點，且A.、5B.3C.13、已知P是雙曲線2 2x y2亍=1a0,b0右支上一點，F(xiàn)1、a bF2分別是雙曲線的左、右焦點,I為,PF1F2的內(nèi)心，若SkS*sIF1F2成立，則該雙曲線的離心率為A. 4B.14、已知2 2P是雙曲線 1上一點，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線的左、 右焦點，若IPRF5432 28229則| PF21二_1or915、 已知P是雙曲線 1上一點，F(xiàn)i、F2分別是雙曲線的左、 右焦點，若|卩斤|=5412則|PF2|二_92 2練習(xí)：已知雙曲線 爲(wèi)y2=1(a0, b0)的兩個焦點為Fd-c,。)、

11、F2(C,0)，若雙曲a b線上存在一點P滿足SinPF1F2二a,則該雙曲線的離心率的取值范圍是si nNPF2Fc(1,1 2)2 216、 已知雙曲線 篤-爲(wèi)-1(a0, b0)的兩個焦點為F1、F2，點A在雙曲線第一象a b1限的圖象上，若AF1F2的面積為 1，且tan. AF1F2,tan. AF2F1=-2，則雙曲線2方程為2 217、設(shè)F1F是雙曲線 仔-每=1(a0,b0)的左右焦點，過點a ba b右支交于AB兩點，若| AB|:|BF2|:|AF2| =3:4:5，則雙曲線的離心率是2 219、如圖設(shè)F1,F2是雙曲線 務(wù)-占=1(a 0,b 0)的左右焦點，|市2|=4

12、,P為雙曲線a b右支上一點，F(xiàn)2P與y軸交于點A,APF1的內(nèi)切圓在邊PF1上的切點為Q，若|PQ|P,則雙曲線的離心率是(A)3(B)2(C)(D)312x2-3y2=1C.3x212y21232xD.3112F2的直線與雙曲線的右5-2 22F1的直線與雙曲線的左支交于代B兩點，若.F1AB是以A為直角頂點的等腰三角形，則10y橢圓與雙曲線的焦點三角形2 2 2 2XVXV例題：若橢圓1(m和雙曲線1(s,t 0)有相同的焦點Fi和F2,m ns t而P是這兩條曲線的一個交點，則PFj|PF2的值是()122iiA.msB.(ms)C.m-sD. m -s22 2xx例題：若橢圓V2=1

13、 m 1與雙曲線V2=1 n0有相同的焦點，點P是兩曲mn線的一個公共點，則.F1PF2的面積是_12 2例題：設(shè)F1與F2是曲線C1：1的兩個焦點，點M是曲線G與曲線6 22X2丄C2:V =1的一個交點，求MF1F2的面積.32例題：如圖，F(xiàn)1,F2是橢圓C1:V1與雙曲線C2的公共焦點，A,B分別是G, C2在第4二、四象限的公共點.若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是A；2B.、3 C.3DA62 2例題：已知點p是以F1, F2為公共焦點的橢圓和雙曲線的一個交點，且PF1丄PF2,e,e2分別為橢圓和雙曲線的離心率，貝UAee2啟2 B.e+ezqC.qq工2血D. +4 = 2ee例題：已知點P是以F1, F2為公共焦點的橢圓和雙曲線的一個交