題目 高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座數(shù)形結(jié)合思想

1、題目 高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座數(shù)形結(jié)合思想高考要求 數(shù)形結(jié)合思想在高考中占有非常重要的地位，其“數(shù)”與“形”結(jié)合，相互滲透，把代數(shù)式的精確刻劃與幾何圖形的直觀描述相結(jié)合，使代數(shù)問題、幾何問題相互轉(zhuǎn)化，使抽象思維和形象思維有機(jī)結(jié)合 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，就是充分考查數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義又揭示其幾何意義，將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙結(jié)合，來尋找解題思路，使問題得到解決 運(yùn)用這一數(shù)學(xué)思想，要熟練掌握一些概念和運(yùn)算的幾何意義及常見曲線的代數(shù)特征 重難點(diǎn)歸納 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，應(yīng)注意以下數(shù)與形的轉(zhuǎn)化 （1）集合的運(yùn)算及韋恩圖（2）函數(shù)及其圖像（3）數(shù)列通項(xiàng)及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)

2、圖像（4）方程（多指二元方程）及方程的曲線以形助數(shù)常用的有 借助數(shù)軸；借助函數(shù)圖像；借助單位圓；借助數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征；借助于解析幾何方法 以數(shù)助形常用的有 借助于幾何軌跡所遵循的數(shù)量關(guān)系；借助于運(yùn)算結(jié)果與幾何定理的結(jié)合 典型題例示范講解 例1設(shè)A=x2xa，B=yy=2x+3，且xA，C=zz=x2，且xA ，若CB，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 命題意圖 本題借助數(shù)形結(jié)合，考查有關(guān)集合關(guān)系運(yùn)算的題目 知識(shí)依托 解決本題的關(guān)鍵是依靠一元二次函數(shù)在區(qū)間上的值域求法確定集合C 進(jìn)而將CB用不等式這一數(shù)學(xué)語言加以轉(zhuǎn)化 錯(cuò)解分析 考生在確定z=x2，x2,a的值域是易出錯(cuò)，不能分類而論 巧妙觀察圖像將是上策 不能

3、漏掉a2這一種特殊情形 技巧與方法 解決集合問題首先看清元素究竟是什么，然后再把集合語言“翻譯”為一般的數(shù)學(xué)語言，進(jìn)而分析條件與結(jié)論特點(diǎn)，再將其轉(zhuǎn)化為圖形語言，利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決 解 y=2x+3在2, a上是增函數(shù)1y2a+3，即B=y1y2a+3作出z=x2的圖像，該函數(shù)定義域右端點(diǎn)x=a有三種不同的位置情況如下 當(dāng)2a0時(shí)，a2z4即C=za2z4要使CB,必須且只須2a+34得a與2a0矛盾 當(dāng)0a2時(shí)，0z4即C=z0z4，要使CB，由圖可知 必須且只需解得a2當(dāng)a2時(shí)，0za2，即C=z0za2，要使CB必須且只需解得2a3當(dāng)a2時(shí)，A=此時(shí)B=C=，則CB成立 綜上所述，a

4、的取值范圍是(,2),3 例2已知acos+bsin=c, acos+bsin=c(ab0,k, kZ)求證 命題意圖 本題主要考查數(shù)學(xué)代數(shù)式幾何意義的轉(zhuǎn)換能力 知識(shí)依托 解決此題的關(guān)鍵在于由條件式的結(jié)構(gòu)聯(lián)想到直線方程 進(jìn)而由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn)知其在單位圓上 錯(cuò)解分析 考生不易聯(lián)想到條件式的幾何意義，是為瓶頸之一 如何巧妙利用其幾何意義是為瓶頸之二 技巧與方法 善于發(fā)現(xiàn)條件的幾何意義，還要根據(jù)圖形的性質(zhì)分析清楚結(jié)論的幾何意義，這樣才能巧用數(shù)形結(jié)合方法完成解題 證明:在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（cos,sin）與點(diǎn)B（cos,sin）是直線l:ax+by=c與單位圓x2+y2=1的兩個(gè)交點(diǎn)如圖 從

5、而 AB2=(coscos)2+(sinsin)2=22cos()又單位圓的圓心到直線l的距離由平面幾何知識(shí)知OA2(AB)2=d2即 例3曲線y=1+ (2x2)與直線y=r(x2)+4有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)r的取值范圍 解析 方程y=1+的曲線為半圓，y=r(x2)+4為過（2，4）的直線 答案 （例4設(shè)f(x)=x22ax+2,當(dāng)x1,+)時(shí)，f(x)a恒成立，求a的取值范圍 解法一 由f(x)a，在1,+)上恒成立x22ax+2a0在1,+)上恒成立 考查函數(shù)g(x)=x22ax+2a的圖像在1,+時(shí)位于x軸上方 如圖兩種情況 不等式的成立條件是 (1)=4a24(2a)0a(2,1)(2

6、)a(3,2，綜上所述a(3,1) 解法二 由f(x)ax2+2a(2x+1)令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖像 如圖滿足條件的直線l位于l1與l2之間，而直線l1、l2對(duì)應(yīng)的a值（即直線的斜率）分別為1，3，故直線l對(duì)應(yīng)的a(3,1) 學(xué)生鞏固練習(xí) 1 方程sin(x)=x的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是( )A 2 B 3 C 4 D 以上均不對(duì)2 已知f(x)=(xa)(xb)2（其中ab，且、是方程f(x)=0的兩根（，則實(shí)數(shù)a、b、的大小關(guān)系為( )A ab B abC ab D ab3(4cos+32t)2+(3sin1+2t)2，(、t為參數(shù))的最大值是 4

7、 已知集合A=x5x,B=xx2axxa，當(dāng)AB時(shí)，則a的取值范圍是 5 設(shè)關(guān)于x的方程sinx+cosx+a=0在（0,）內(nèi)有相異解、 （1）求a的取值范圍；（2）求tan(+)的值 6 設(shè)A=(x,y)y=,a0，B=(x,y)(x1)2+(y)2=a2,a0,且AB，求a的最大值與最小值 7 已知A（1，1）為橢圓=1內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)1為橢圓左焦點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn) 求PF1+PA的最大值和最小值 8 把一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為25 cm、20 cm、5 cm的長(zhǎng)方體木盒從一個(gè)正方形窗口穿過，那么正方形窗口的邊長(zhǎng)至少應(yīng)為多少？參考答案 1 解析 在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y1=sin(x)與y2=x的圖像

8、如圖 答案 B2 解析 a,b是方程g(x)=(xa)(xb)=0的兩根，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)、g(x)的圖像如圖所示 答案 A3 解析 聯(lián)想到距離公式，兩點(diǎn)坐標(biāo)為A(4cos,3sin),B(2t3,12t)點(diǎn)A的幾何圖形是橢圓，點(diǎn)B表示直線 考慮用點(diǎn)到直線的距離公式求解 答案 4 解析 解得A=xx9或x3，B=x(xa)(x1)0，畫數(shù)軸可得 答案 a35 解 作出y=sin(x+)(x(0,)及y=的圖像，知當(dāng)1且時(shí)，曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，故a(2,)(,2) 把sin+cos=a,sin+cos=a相減得tan，故tan(+)=3 6 解 集合A中的元素構(gòu)成的圖形是以原點(diǎn)O

9、為圓心，a為半徑的半圓；集合B中的元素是以點(diǎn)O(1,)為圓心，a為半徑的圓 如圖所示 AB，半圓O和圓O有公共點(diǎn) 顯然當(dāng)半圓O和圓O外切時(shí)，a最小a+a=OO=2,amin=22當(dāng)半圓O與圓O內(nèi)切時(shí)，半圓O的半徑最大，即a最大 此時(shí)aa=OO=2,amax=2+2 7 解 由可知a=3,b=,c=2，左焦點(diǎn)F1(2,0),右焦點(diǎn)F2(2,0) 由橢圓定義，PF1=2aPF2=6PF2,PF1+PA=6PF2+PA=6+PAPF2如圖 由PAPF2AF2=知PAPF2 當(dāng)P在AF2延長(zhǎng)線上的P2處時(shí)，取右“=”號(hào)；當(dāng)P在AF2的反向延長(zhǎng)線的P1處時(shí)，取左“=”號(hào) 即PAPF2的最大、最小值分別為， 于是P