上課第10章01重積分概念(1)

1、第10章 重 積 分第10章重積分（考點(diǎn)）本章討論重積分，即在平面區(qū)域上的二元函數(shù)和空間區(qū)域上的三元函數(shù)的積分，分別稱之為二重積分，三重積分這章必需上冊定積分的知識(shí)和定積分的計(jì)算。請(qǐng)同學(xué)們務(wù)必認(rèn)真復(fù)習(xí)。加一個(gè)作業(yè)：默寫求積分基本及全部法則公式。第1節(jié)重積分的概念和性質(zhì)1.1 重積分的概念1 實(shí)例背景【例1.1】求曲頂柱體的體積設(shè)為平面內(nèi)的有界閉區(qū)域。以的邊界曲線為準(zhǔn)線，母線平行于軸的柱面與平面及曲面（，且在上連續(xù)）圍得的空間立體，稱此立體為曲頂柱體求此柱體的體積解我們用如下4步計(jì)算體積(1) 分割：用一組曲線網(wǎng)將區(qū)域分割成個(gè)小區(qū)域：（同時(shí)也表示第i個(gè)小區(qū)域的面積）（圖1.2）設(shè)為底的小的曲頂柱

2、體體積為，則（是無法算得的）(2) 近似：在，把近似看作固定高的柱體，則，（圖1.1）(3) 求和：(4) 求極限：記上兩點(diǎn)間最大距離為，令。當(dāng)時(shí)（此時(shí)每個(gè)），與的誤差趨于零。所以，曲頂柱體的體積 圖1.1 圖1.2【例1.2】求非勻質(zhì)平面薄板的質(zhì)量設(shè)面上有界閉區(qū)域是一塊薄板，其面密度函數(shù)為（且在上連續(xù)）求此薄板的質(zhì)量。解我們也用如下4步計(jì)算薄板的質(zhì)量。(1) 分割：用一組曲線網(wǎng)將區(qū)域分割成個(gè)小區(qū)域：（同時(shí)也表示第i個(gè)小區(qū)域的面積）設(shè)的質(zhì)量為，則（是無法算得的）(2) 近似：在，把近似看作固定面密度的小塊，則， (3) 求和：(4) 求極限：記上兩點(diǎn)間最大距離為，令。當(dāng)時(shí)（此時(shí)每個(gè)），與的誤差

3、趨于零。所以，薄板的質(zhì)量2 重積分的定義上面的兩個(gè)背景例子雖然實(shí)際意義完全不同，但是計(jì)算方法是一樣的。為了一次性地講完千千萬萬個(gè)這樣的例子，我們給出二重積分的定義：定義1.1 設(shè)是有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)。(1) 分割：用一組曲線網(wǎng)將區(qū)域分割成個(gè)小區(qū)域：（同時(shí)也表示第i個(gè)小區(qū)域的面積）(2) “近似”：在，計(jì)算， (3) 求和： (4) 求極限：記上兩點(diǎn)間最大距離為，令。（當(dāng)時(shí)每個(gè)）其中稱為為被積函數(shù)，稱為積分表達(dá)式，稱為積分區(qū)域，稱為面積元素；稱為積分變量；稱為二重積分號(hào)注極限與的分法和點(diǎn)的取法是無關(guān)的（如果張三用一種分法和點(diǎn)的取法得到一個(gè)極限，李四用另一種分法和點(diǎn)的取法得到另一個(gè)極限，極限就

4、不唯一。但是極限是不能不唯一的。）如果已知可積，就可以用特殊的分法和點(diǎn)的取法計(jì)算。比如說，用平行于坐標(biāo)軸的線分割、取線的交點(diǎn)為。此時(shí)，所以，。當(dāng)時(shí)，以為高以區(qū)域?yàn)榈椎那斨w的體積當(dāng)是面密度函數(shù)時(shí)，的質(zhì)量當(dāng)時(shí)，的面積。當(dāng)有千千萬萬實(shí)際意義時(shí)，隨之有千千萬萬實(shí)際意義（一次性講完了千千萬萬個(gè)例子）。上述二重積分的定義，可以很容易地推廣，得到三重積分的定義定義1.2 設(shè)是空間有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)。(1) 分割：用一組曲面網(wǎng)將區(qū)域分割成個(gè)小區(qū)域：，的體積為(2) “近似”：在，計(jì)算， (3) 求和： (4) 求極限：記上兩點(diǎn)間最大距離為，令。（當(dāng)時(shí)每個(gè)）其中稱為被積函數(shù)，稱為積分表達(dá)式，稱為積分區(qū)域

5、，稱為體積元素；稱為積分變量；稱為三重積分號(hào)與二重積分類似，。當(dāng)是體密度函數(shù)時(shí)，的質(zhì)量當(dāng)時(shí)， 的體積。注意：在重積分的過程中，積分變量總在積分區(qū)域中變化。我們不加證明地給出函數(shù)可積的充分條件：(1) 有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)必可積(2) 有界閉區(qū)域上的分片連續(xù)函數(shù)必可積思考題：1二重積分的定義中，能否用各小區(qū)域的面積的最大值趨近于零來代替各小區(qū)域的直徑趨近于零作為對(duì)積分區(qū)域的無限細(xì)分？對(duì)三重積分呢？（不行。最大面積趨于零與是不等價(jià)的。）1.2 重積分的性質(zhì)從上面積分的定義可看到，重積分實(shí)際上是定積分概念的推廣，重積分有著和定積分相類似的性質(zhì)下面以二重積分為例，不加證明地?cái)⑹鲋胤e分的性質(zhì)設(shè)在閉區(qū)域

6、上均可積，則有(1) 線性性質(zhì)（是常數(shù)）當(dāng)時(shí)，常數(shù)因子可以提出來。(2) 對(duì)積分區(qū)域的可加性：將劃分為只有公共邊界點(diǎn)而無公共內(nèi)點(diǎn)的兩個(gè)區(qū)域，則有(3) 積分不等式：若對(duì)，有，則推論 若對(duì)，則有(4) 絕對(duì)可積性：若在上可積，則在上也可積，且(5) 估值定理：設(shè)在上，區(qū)域的面積等于，則(6) 積分中值定理：若均在上連續(xù)，且在上不變號(hào)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使特別地，當(dāng)時(shí)，存在一點(diǎn)，使，為區(qū)域的面積以上性質(zhì)可類似地推廣到三重積分【例1.3】估計(jì)積分的大小其中解對(duì)函數(shù)，因，故在的內(nèi)部無極值點(diǎn)存在，從而的最值只能在邊界上取得顯然，且的面積，所以由估值定理，有【例1.4】比較與的大小，其中區(qū)域解令，則，區(qū)

7、域可變換為：，因在上，有，故，即，所以【例1.5】設(shè)閉區(qū)域，函數(shù)在上連續(xù)，求極限解因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)，由重積分的中值定理，存在點(diǎn)，使得，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，又因?yàn)檫B續(xù)，所以思考題：2若函數(shù)在區(qū)域上可積，且，問在什么條件下，必有？（在上非負(fù)。）習(xí)題10-1A類1利用二重積分的性質(zhì)估計(jì)下列積分的值*(1) ，其中；(2) ，其中；(3) ，其中；*(4) ，其中2比較下列各組積分值的大小(1) 與，其中；(2) 與，其中：；3求解下列各題(1) 極限，其中；(2) 設(shè)連續(xù)，求極限，其中4判斷下列積分的符號(hào)(1) ，其中；*(2) ，其中；(3) ，其中；*(4) ，其中B類1設(shè)閉區(qū)域在軸和軸上的投影分別為區(qū)間和設(shè)的面積為，又設(shè)點(diǎn)，證明：2判別積分的符號(hào)，其中解 記則在上，；在上，；在上，。所以*3試證：(1)若在平面閉區(qū)域上連續(xù)，且但，則 (2) 設(shè)在平面區(qū)域上連續(xù)且不變號(hào)，證明：若，則在上(3) 設(shè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，若對(duì)內(nèi)的任一子區(qū)域，都有，則在區(qū)域上，(1)若在平面閉區(qū)域上連續(xù)，且但，則證 （1）由且，存在使。根據(jù)局部保