【龍門亮劍】2011高三數(shù)學(xué)一輪課時 第九章 第四節(jié) 空間的角提能精練 理（全國版）

1、(本欄目內(nèi)容，學(xué)生用書中以活頁形式單獨(dú)裝訂成冊！)一、選擇題(每小題6分，共36分)1(2008年四川高考題)設(shè)直線l平面，過平面外一點(diǎn)A且與l、都成30°角的直線有且只有()A1條B2條C3條 D4條【解析】所求直線在平面內(nèi)的射影必與直線l平行，這樣的直線只有兩條，選B.【答案】B2(2008年全國高考題)已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于()A. B.C. D.【解析】由題意知三棱錐A1ABC為正四面體，設(shè)棱長為a，則AB1a，棱柱的高A1Oa(即點(diǎn)B1到底面ABC的距離)，故AB1與

2、底面ABC所成角的正弦值為.另解：設(shè)，為空間向量的一組基底，的兩兩間的夾角為60°，長度均為a，平面ABC的法向量為，·a2，|a，|a.則AB1與底面ABC所成角的正弦值為.【答案】B3(2007年全國)如圖所示，正四棱柱，ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()A. B.C. D.【解析】如圖所示，連結(jié)CD1、AC，則CD1A1B，則A1B與AD1所成角即為CD1A或其補(bǔ)角設(shè)ABa，則AA12a，所以有AD1CD1a，ACa，在AD1C中，由余弦定理得cosAD1C，所以異面直線A1B和AD1所成角的余弦值為.【答案】D4設(shè)

3、直線l與直二面角的兩個面、所成的角分別為1和2，則()A0<12< B012C0<12 D12>【解析】如圖所示，ABC1，BAD2<BAC，12<.當(dāng)D、C重合時，12，當(dāng)l為、的交線時，120，012.【答案】B5如果一個二面角的兩個半平面與另一個二面角的兩個半平面互相垂直，則這兩個二面角的大小是()A相等 B互補(bǔ)C相等或互補(bǔ) D無法確定【解析】如圖，l為直二面角，a為另一個二面角，使，a.把平面固定不動，使平面繞a轉(zhuǎn)動時，滿足條件，但a的度數(shù)不能確定，應(yīng)選D.【答案】D6如圖所示，過正方形ABCD的頂點(diǎn)A，引PA平面ABCD，若PAAB，則平面ABP和

4、平面CDP所成的二面角的大小是()A30° B45°C60° D90°【解析】過P作PQAB.則PQ為面ABP與面CDP的交線，APAB，APPQ.又CDAD且CDAP，CDDP，即DPPQ，所以DPA為所求的二面角的平面角顯然DPA45°，故選B.【答案】B二、填空題(每小題6分，共18分)7(2008年四川高考)已知正四棱柱的對角線的長為，且對角線與底面所成角的余弦值為，則該四棱柱的體積等于_【解析】如圖，設(shè)正四棱柱的底邊長為a，高為h，則對角線BD1與底面所成的角為DBD1，由題意得解得a1，h2，VABCDA1B1C1D1a2h2.【答

5、案】28若一條直線與一個正四棱柱各個面所成的角都為，則cos _.【解析】為填空題，不妨設(shè)正四棱柱為一個正方體而在正方體中與各個面所成角相等的為體對角線，如圖所示即圖中CA1D.而若令正方體棱長為1，則A1D，A1C，cosCA1D.【答案】9已知點(diǎn)O在二面角AB的棱上，點(diǎn)P在內(nèi)，且POB45°.若對于內(nèi)異于O的任意一點(diǎn)Q，都有POQ45°，則二面角AB的大小是_【解析】對于內(nèi)異于O的點(diǎn)Q，都有POQ45°，PO與面所成的角即為45°，若作PQ于Q點(diǎn)，則POQ45°，QAB.又PQ，即AB的大小為90°.【答案】90°三、解

6、答題(10,11每題15分，12題16分，共46分)10如圖所示，四面體ABCS中，SA，SB，SC兩兩垂直，SBA45°，SBC60°，M為AB的中點(diǎn)求：(1)BC與平面SAB所成的角；(2)SC與平面ABC所成角的正切值【解析】(1)CSSB，CSSA，SC平面SAB，BC在平面SAB上的射影為SB.SBC為BC與平面SAB所成的角又SBC60°，故BC與平面SAB所成的角為60°.(2)連結(jié)MC，在RtASB中，SBA45°，SMAB.又ABSC，AB面SMC.面SMC面ABC.過點(diǎn)S作SOMC于點(diǎn)O，SO面ABC，SCM為SC與平面AB

7、C所成的角設(shè)SBa，則SMa，在SBC中，SCSBtan 60°a，tanSCM.11如圖所示，已知直二面角PQ，APQ，B，C，CACB，BAP45°，直線CA和平面所成的角為30°.(1)證明BCPQ；(2)求二面角BACP的大小【解析】(1)證明：在平面內(nèi)過點(diǎn)C作COPQ于點(diǎn)O，連結(jié)OB.因為，PQ，所以CO.又因為CACB，所以O(shè)AOB.而BAO45°，ABO45°，AOB90°，從而BOPQ.又COPQ，所以PQ平面OBC.因為BC平面OBC，故PQBC.(2)由(1)知，BOPQ，又，PQ，BO，所以BO.過點(diǎn)O作OHAC

8、于點(diǎn)H，連結(jié)BH，由三垂線定理知，BHAC.故BHO是二面角BACP的平面角由(1)知，CO，所以CAO是CA和平面所成的角，則CAO30°.不妨設(shè)AC2，則AO，OHAOsin 30°.在RtOAB中，ABOBAO45°，所以BOAO.于是在RtBOH中，tan BHO2.故二面角BACP的大小為arctan 2.12(2008年重慶高考題)如圖所示，在ABC中，B90°，AC，D、E兩點(diǎn)分別在AB、AC上，使2，DE3.現(xiàn)將ABC沿DE折成直二面角，求：(1)異面直線 AD與BC的距離；(2)二面角AECB的大小(用反三角函數(shù)表示)【解析】(1)因，故DEBC，又因B90°，從而ADDE.因ADEB是直二面角，ADDE，故AD底面DBCE，從而ADDB.而DBBC，故DB為異面直線AD與BC的公垂線由2，得.又已知DE3，從而BCDE.AB6.因，故DB2，為所求異面直線AD與BC的距離(2)過D作DFCE，交CE的延長線于F，連接AF.由(1)知，AD底面DBCE，由三垂線定理知AFFC，故AFD為二面角AECB的平面角在底面DBCE中，DEFBCE，DB2，EC