常微分方程的數(shù)值解法ppt課件

1、第九節(jié) 常微分方程的數(shù)值解法 一階常微分方程的初值問題： 節(jié)點(diǎn)：x1x2 xn 步長 為常數(shù)00)(),(yxyyxfdxdy1iixxh 一 歐拉方法折線法） yi+1=yi+hf(xi,yi)(i=0,1, , n 1) 優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡單。 缺點(diǎn)：精度不高。 二 改進(jìn)的歐拉方法)(21),(),(11cpipiiciiipyyyyxhfyyyxhfyy 三 龍格庫塔法(Runge-Kutta) 歐拉公式可改寫為 （它每一步計(jì)算f(xi,yi) 一次，截?cái)嗾`差為O(h2),(111iiiiyxfkhkyy 改進(jìn)的歐拉公式可改寫為 （它每一步計(jì)算f(x,y)兩次，截?cái)嗾`差為O(h3),(),()

2、(2121211hkyhxfkyxfkkkhyyiiiiii 標(biāo)準(zhǔn)四階龍格庫塔公式 （每一步計(jì)算f(x,y)四次，截?cái)嗾`差為O(h5),()2,2()2,2(),()22(6342312143211hkyhxfkkhyhxfkkhyhxfkyxfkkkkkhyyiiiiiiiiii 例 分別用改進(jìn)的歐拉格式和四階龍格庫塔格式解初值問題取步長h=0.2）：1)0(2yyxyy) 10( x 表74 節(jié)點(diǎn) 改進(jìn)歐拉法 四階龍格庫塔法 準(zhǔn)確解 0 1 1 1 0.2 1.186667 1.183229 1.183216 0.4 1.348312 1.341667 1.341641 0.6 1.493

3、704 1.483281 1.483240 0.8 1.627861 1.612514 1.612452 1 1.754205 1.732142 1.732051 （注：書中P60已指出過準(zhǔn)確解 ）xy21 四 誤差的控制 我們常用事后估計(jì)法來估計(jì)誤差，即從xi出發(fā)，用兩種辦法計(jì)算y(xi+1)的近似值。 記 為從xi出發(fā)以h為步長得到的y(xi+1)的 近似值，記 為從xi出發(fā)以 h/2 為步長跨 兩步得到的y(xi+1)的近似值。設(shè)給定精度為 。如果不等式 成立，那么 即為y(xi+1)的滿足精度要求的近似值。)(1hiy)2/(1hiy)(1)2/(1hihiyy)2/(1hiy 為了使

4、初值問題的數(shù)值解達(dá)到事先指定的精度要求，我們采用不斷縮短步長的辦法類似于變步長梯形法則所做的那樣）。 從xi出發(fā)求y(xi+1)的滿足精度要求的近似值的具體步驟如下： 第一步 由xi出發(fā)，以xi+1為目標(biāo)， 計(jì)算 及 第二步 假如 ， 即為 y(xi+1)的滿足精度要求的近似值，否則，繼續(xù)下一步)2/(1)(1,hihiyy)(1)2/(11hihiyy1)2/(1hiy 第三步 假如 ，則將步長h折半， 從xi出發(fā)以區(qū)間xi,xi+1的中點(diǎn)記為 ） 為目標(biāo)，判別 假如 ，則得 的滿足精度要求 的近似值 ，然后從 動(dòng)身，以 xi+1為 目的，重復(fù)上述步驟，否則繼續(xù)下一步12/1ix)(2/1)

5、2/(2/12/1hihiyy2/1)(2/ 1ixy)2/(2/ 1hiy2/1ix 第四步 假如 ，則將步長再 折半，從xi出發(fā)以區(qū)間 的中點(diǎn) （記為 ）為目標(biāo)，判別 假如 ，則得 的滿足精度 要求的近似值 ，然后從 動(dòng)身， 以xi+1為目標(biāo)，重復(fù)上述步驟，否則繼續(xù) 下一步2/1,2/1iixx4/1ix)(4/1)2/(4/14/1hihiyy4/1)(4/1ixy)2/(4/1hiy4/1ix 第N+2步 必有 ，從而得 的滿足精度要求的近似值 ， 然后從 動(dòng)身，以xi+1為目標(biāo)，重復(fù)上 述步驟， ，最后得到y(tǒng)(xi+1)的滿足精度 要求的近似值yi+1 N2/1)(2/1Nixy)2/(2/1hiNyNix2/1卷積 在求拉氏逆變換的過程中，卷積往往有著重要的應(yīng)用價(jià)值。 定義 稱為函數(shù)f1(t)與f2(t)的卷積。 注意：當(dāng)t0時(shí)，f1(t)=f2(t) 0 dtfffft)()(*20121 交換律 f1*f2=f2*f1 例1 求t*sint 分配律 f1*(f2+f3)=f1*f2+f1*f3 例2 求 函數(shù)是卷積的“單位元”。f* 卷積定理 Lf1(t)*f2(t)=Lf1(t)Lf2(t)=F1(p)F2(p) (或 F1(p)F2(p)=f1(t)*f2(t) )