保險(xiǎn)精算例題

1、作者：日期：第二章【例2.1】某人1997年1月1日借款1000元，假設(shè)借款年利率為5%,試分別以單利和復(fù)利計(jì)算：(1)如果1999年1月1日還款，需要的還款總額為多少？(2)如果1997年5月20日還款，需要的還款總額為多少？(3)借款多長時(shí)間后需要還款1200元。解:(1)1997年1月1日至U1999年1月1日為2年。在單利下，還款總額為：A(2)=A(0)(1+2i)=10001+2X5%)=1100(元)在復(fù)利下，還款總額為：A(2)=A(0)(1+i)2=l000X(1+5%)2=1102.5(元)(2)從1997年1月1日至U1997年5月20日為140天，計(jì)息天數(shù)為139天。在

2、單利下，還款總額為：1000X(1+錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！X5%)=1019.04(元)在復(fù)利下，還款總額為：1391000彳1+5%)365=1018.75(元)(4)設(shè)借款t年后需要還款1200元。在單利下，有1200=1000乂(1+0.05t)可得:在復(fù)利下，有1200=1000X1+0.05)可得：t弓.74(年)【例2.2】以1000元本金進(jìn)行5年投資，前2年的利率為5%,后3年的利率為6%,以單利和復(fù)利分別計(jì)算5年后的累積資金。解:在單利下，有A(5)=1000X(1+2X5%+3X6%)=12800(元)在復(fù)利下，有A(5)+1000X(1+5%)2F(,)x(1+6%)3=13130.

3、95(元)【例2.3】計(jì)算1998年1月1日1000元在復(fù)利貼現(xiàn)率為5%下1995年1月1日的現(xiàn)值及年利率。解：(1)1995年1月1日的現(xiàn)值為:1000X(1-0.05)3=857.38(元)(2)年利率為：=0. 0530. 95d0.05【例2.4】1998年8月1日某投資資金的價(jià)值為14000元，計(jì)算：(1)在年利息率為6%時(shí)，以復(fù)利計(jì)算，這筆資金在1996年8月1日的現(xiàn)值。(2)在利率貼現(xiàn)率為6%時(shí)，這筆資金在1996年8月1日的現(xiàn)值解:(1)以知利率時(shí)，用折現(xiàn)系數(shù)計(jì)算現(xiàn)值，14000元2年前的現(xiàn)值為:t= 4 （年）14000N專音誤！)2=12459.95(%)(3)用貼現(xiàn)率計(jì)算

4、現(xiàn)值，14000元2年前的現(xiàn)值為:14000X(1-0.06)2=12370.4(元)6%年實(shí)際利率下一年不同結(jié)算次數(shù)的名義年貼現(xiàn)率m1234612ood(m)0.0.050.057710.057850.057990.05810.05827057433660【例2.5】某人以每月3%的利率從銀行貸款1000元，那么在復(fù)利計(jì)息下，3年后他欠銀行都少錢？解:3%是月結(jié)利率，3年后的累積欠款額可以直接按36個(gè)月的復(fù)利計(jì)算本息，有1000X(1.03)36=2898.28(元)故三個(gè)月后他欠款2898.28元?！纠?.6】(1)求每月結(jié)算的年利率為12%的實(shí)際利率。(2)求每月結(jié)算的年貼現(xiàn)率為10%的

5、實(shí)際貼現(xiàn)率。(3)求相當(dāng)于每月結(jié)算的年利率為12%的半年結(jié)算的貼現(xiàn)率。解：(1)實(shí)際利率為：.(m)i=(1+jm1m=(1+錯(cuò)誤!)121故實(shí)際利率為12.68%(2)實(shí)際貼現(xiàn)率為：mm)d=1(1d_)mm=1一(1=9.63%因此，實(shí)際貼現(xiàn)率為9.63%。(3)由(1+i)-1=1d,有(m)(n)(1+L)=(1jnmn(2)(1+錯(cuò)誤！)-12=(1")22d=2X1(1+F(12%,12)6=11.59%【例2.7】某人從銀行借款4000元，這筆借款的利息每年結(jié)算4次,年利率為16%。那么，他在借款21個(gè)月后欠銀行的款為多少？解：年利率為16%,每年結(jié)算4次，也就是每3個(gè)

6、月結(jié)算一次，每次結(jié)算的利息率為4%(16%/4=4%),21個(gè)月共結(jié)算7次(21/7=7)。這樣,4000元本金在結(jié)算7次后的本利和為：4000X(1+4%)=5263.73(元)值得注意的是，在單利下，由于利率只在本金上計(jì)量，故沒有名義利率和實(shí)際利率的區(qū)別?！纠?.8】某人在1998年7月22日貸款4000元，如果利息力是14%,在復(fù)利下，試求解以下問題：(1)貸款額在2003年7月22日的價(jià)值。(2)年利率i。(3)名義利率廣)解：(1)如果一致年利率i,4000元貸款額在2003年7月22日的值為4000(1+i)5o有公式(2.20),利息力與利率有如下關(guān)系：e&=1+i從而4

7、000X(1+i)5=4000Xe0.7=8055.01(元)(2)由(1+i尸e0.14,的年利率為：i=e°.141=0.15027(3)由(2.14a)式和(2.20)式，有(12)(1+J)2=1+i=e°1412i12=12X(e014/121)=o.14082【例2.9某人以每半年結(jié)算一次的年利率6%昔款50000元，兩年后他還了30000元，又過了3年再還了20000元，求7年后的欠款額為多少？解：設(shè)他在7年后的欠款額為X,有X=5000OX1.031430000X1.031020000X1.034=12801.82(元)【例2.10】某人在1995年1月1日

8、存入銀行8000元，兩年后又存入6000元，2001年1月1日取出12000元。如果利率為5%,計(jì)算2004年1月1日其賬戶上的余額。解：依題意X=8000X1.059+6000X1.05712000X1.053=6961.73(元)【例2.11某人在1996年1月1日存款4000元，在2000年1月1日存款6000元，2003年1月1日存款5000元。如果年禾率為7%計(jì)算在2002年1月1日賬戶中的存款總額。解：X=400OX1.076+6000X1.072+5000X1.07(1)=17545.22(元)故在2002年1月1日，賬戶存款總額為17545.22元.【例2.12】某人1995年

9、1月1日在其銀行賬戶上存款2000元，1998年1月1日存款3000元，如果之后沒有存取項(xiàng)，年月日的賬戶余額為7100元，計(jì)算實(shí)際利率。解:2000(1+i)5+3000(1+i)2=7100由f(i)=2000(1+i)5+3000(1+i)27100=01171i=0.11+-xo.001=0.1115310.22(-11.71)【例2.13】某人從銀行貸款20萬元用于購買住房，規(guī)定的還款期是30年。假設(shè)貸款利率為5%如果從貸款第2年開始每年等額還款，求每年需要的還款數(shù)額。解：設(shè)每年需要的還款額為X，根據(jù)題意，有由于貸款和還款在零時(shí)刻的現(xiàn)值是相等的，有200000=X1a30iX=2000

10、00i=13010.29（元）301v【例2.14】某人用2000元一次性購買了15年確定年金，假設(shè)年利率為6%第一次年金額領(lǐng)取從購買時(shí)開始，試計(jì)算每年可以領(lǐng)取的數(shù)額。解：XX=a = 2 0002000 2000d15ai51 v由于d=錯(cuò)誤!=0.0566年中每月還款，利率為6%,求每月的還款額。解:月利率j為：(1+j)12=1.06j=0.004868在第8個(gè)月，有X的二50000(1+j)8X=1001.0921(元)設(shè)每月可以領(lǐng)取到的數(shù)額為x元，則有.300s2xat)根據(jù)名義貼現(xiàn)率的計(jì)算公式，可得:d(12)=121-(1+i)-1/12=0.02952242620a(融卡=15

11、181425914700.8012 15.11814259=81.0 3 (元)因而每月可以領(lǐng)取的年僅為81.03元。【例2.181某年金每年付款1次，連續(xù)付款10年，年利率為5%,年給付額為：第1年末支付100元，第2年末直至第9年末每次支付200元，第10年末支付100元，計(jì)算t=0時(shí)這些付款的現(xiàn)值。解：依題意，有現(xiàn)值=100a9+100a9xv二100a9(1+V)=1387.72(元)【例2.19若存入銀行10萬元，建立一項(xiàng)永續(xù)獎(jiǎng)勵(lì)基金，從第一年后開始支取年金，設(shè)利率為4%,求每年可以提取的最大數(shù)額。解：設(shè)每年可以提取的最大數(shù)額為x,則1 00000=xan=-X=4000（元）【例2

12、.20】某年金第1年末收付1000元，以后每隔一年收付額比前1年增加100元,共收付10年。若年利率為5%,求第10年末的年金總值。解：這一變額年金可以分解為每年900元的10年定額年金和100元的10年等差遞增年金。因此，第10年末的年金終值為：9 00s®+100（后加10.=900x（1-i）1+100Xs-2°ii=17733.68（元）【例2.211我國城鎮(zhèn)職工基本養(yǎng)老保險(xiǎn)采取社會統(tǒng)籌與個(gè)人賬戶相結(jié)合的方式，個(gè)人賬戶以個(gè)人繳費(fèi)工資的8%計(jì)入。如果某職工從20歲參加個(gè)人賬戶保險(xiǎn)，當(dāng)年工資為6000元，工資年增長為2%,個(gè)人賬戶的累積利率為4%。求在他60歲退休時(shí)，個(gè)

13、人賬戶的累積額。解：個(gè)人賬戶在20歲時(shí)的現(xiàn)值為：6000X0.08X（l+1.02v+l.O22v2+-+1.0239v"）140=480X1（1.02v）=13480.63（兀）1 1.02v13480.63X1.0440=64720.78（元）【例2.22在例2.21中，如果個(gè)人賬戶累積利率在剛參加個(gè)人賬戶的前10年內(nèi)為4%,退休前的10年內(nèi)為4%,退休前的10年內(nèi)為2%,中間20年為3%,求這時(shí)個(gè)人賬戶在退休時(shí)的累積額。解：在職工20歲至29歲間，個(gè)人賬戶在20歲的現(xiàn)值為:10480X1（1.02/1.04）=4405.216554（元）11.02/1.0410/ 1 、X （

14、一二）=7217. 2 91.04在職工30歲至49歲間，個(gè)人賬戶在20歲的現(xiàn)值為:20480X1.0220x1（1.02/1.03）11.02/1.036894（元）0歲的現(xiàn)值為：在職工30歲至49歲間，個(gè)人賬戶在210）=32 5 2 .134 5 34 （元）2030480X1.02XI0X(1L.)x(1.031.04個(gè)人賬戶在60歲時(shí)的累積值為：（4405.216554+7217.296894+3252.134534）X1.0410X1.0320X1.0210=48475.95（元）【例2.23】一項(xiàng)永續(xù)年金，第1年末付1000元弟2年末付2000元，以后各年每年增加1000元，直到

15、年付15000元后，支付水平保持在每年15000元的水平上不變，并一直繼續(xù)下去。在利率水平7.5%下，計(jì)算此年金的現(xiàn)值。解：這一年金可以分解為一個(gè)遞增確定的年金和一個(gè)永續(xù)年金，年金現(xiàn)值為，PV=1000(15+錯(cuò)誤！xv15=F(1,i)x1000(a15-15v2)+15000v15=126522.1(元)【例2.24】設(shè)A向B借款20000元，期限為5年，年實(shí)際利率為6%A在每年末以等額分期方式償還貸款。試計(jì)算：(1)每年末應(yīng)償還的金額。(2)各年末的未償還本金金額。(3)每年末償還金額中利息和本金金額解:依公式(2.40),有r=b°=4747.93（元）am時(shí)期每年末償還金額

16、支付利息償還本金年末未償還貸款余額020000.0014747.931200.003547.9316452.0724747.93987.123760.8012691.2734747.93761.483986.458704.8244747.93522.294225.644479.1854747.93268.754479.180【例2.25】某人用10年分期還款的方式償還一筆50000元的貸款，假設(shè)他在10年內(nèi)每半年還款一次，每半年結(jié)算的年利率為13%,從貸款6個(gè)月后開始第1次還款。求第6年末尚未還清的貸款余額。解：設(shè)未來每次還款額為P,10年內(nèi)每半年一次的還款意味著20個(gè)半年的還款，半年結(jié)算的利

17、率為6.5%（13%/2=6.5%）由于貸款開始時(shí)刻的貸款額與還款額的現(xiàn)值相等，有5000。=Pa200,065所以P=4537.82（元）第6年末尚未還清的貸款余額等于最后8個(gè)半年內(nèi)需要定期償還的貸款的現(xiàn)值。P280.065=27629.75（元）【例2.27】某筆7000元的貸款用每年末償還1000元及最后一次償付剩余不足1000元的方式還款。假定年利率為10%,第一次付款再貸款一年后。計(jì)算第9次付款后剩余的本金。解：如果用未來計(jì)算，需要先計(jì)算出還款的期限和最后一次還款的數(shù)額。在10%利率下，未來12年每年1000元的年金現(xiàn)值為：1000220.1=6813.692（元）設(shè)第13次不足10

18、00元的還款額為x,有7000=6813.692+xv13X=643.1864（元）從而，第9次付款后剩余的本金為1000a30.1+643.186v4=2926.16（元）【例2.28】某人從銀行獲得一筆貸款，期限為10年，貸款利率為5%,他采用變額分期償還法償還貸款，其中每年末的償還金額分別為20000元，19000元，18000元，試計(jì)算：（1）貸款原始本金。（2）第5年所償還的本金和利息。解：（1）貸款本金等于分期償還額的現(xiàn)值：B。=1o000Xam0.05+1o0o0X（Da）加.05=122782 .65（元）（2）按將來法，第4年末的未償還本金余額為：B-10000Xa60.05

19、+10000X（Da）60.05=69243.08（元）第5年償還的利息為：15nB4=3462（元）第5年的償還額為：R5=16000（元）故第5年償還的本金額為：P5=r5-15=12538（元）【例2.29】一筆金額為10000元的貸款,年利率10%,期限為8年，每年末償還一次，每次的償還額以30%的速度遞增，試計(jì)算前3年每年償還的本金和利息各是多少？解:這里的償還金額按幾何級數(shù)增長，設(shè)第一年的償還金額為R1,81（13）10000=RiX1=14.027Ri0.10.3Ri=712.90（元）由Ii=iB°=10000X0.1=1000（元）這時(shí),應(yīng)償還的利息大于償還的總金額

20、，償還金額不足利息支付的部分為：P尸R-Ii=-287.10（元）這樣，1年后的未償還本金余額增加為：B=B0-P-10287.10（元）第2年的各項(xiàng)余額分別為：R2=926.77（元）12=1028.71（元）P2=-101.94（元）右2=10389.04（元）【例2.30】在例2.24中，假設(shè)A以等額償債基金方式償還貸款償債基金利率也為6%,其他條件不變，試構(gòu)造償債基金表。解：本例中，i=j=0.06,A每期向償債基金儲蓄D，則D=&=3547.93（元）Snj此外,A還要向B支付當(dāng)期利息I:I=iB°=20000X0.06=1200（元）所以每期支付金額合計(jì)為R=D+

21、I=4747.93（元）【例2.31】假設(shè)例2.28中的其他條件不變，貸款利率變?yōu)?%借款人通過利率為5%的償債基金來償還貸款，求貸款本金總額。解：以公式（2.51）,有B0=k=lRk(l+j) k=l1(i-j)anj=113982（元）【例2.32】一筆貸款的期限為4年,年實(shí)際利率為12%,借款人用償債基金法償還貸款，償債基金利率為8%，借款人每年末支付的總金額依次為1000元，1000元,10000元，10000元,試計(jì)算貸款本金為多少？解：令原始貸款本金為B。,則每年應(yīng)支付的利息金額為0.12B。，則各期向償債基金儲蓄的金額分別為1000-0.12B0,1000-0.12B0,100

22、000.12B。，10000-0.12B0。他們在還款期末的累計(jì)額正是初始的貸款額：Bo=（10O0-0.12Bo2。.+9000swo=15075（元）【例2.33債券的面值為1000元，年息票率為5%,期限為6年,到期按面值償還，投資者要求的年收益率為5.5%,試計(jì)算債券購買價(jià)格。解：F=C=1000r=g=0.05i=0.055p=50a叩.055+1000/1.0556=975.02（元）【例2.34假設(shè)兩種債券的面值都為1000元，而且期限相同，收益率都為5%。其中一種債券的價(jià)格為1136.78元，年息票率為2.5%,另一種債券的價(jià)格為P年息票率為1.25%,試計(jì)算P。解：由Make

23、ham公式，有P1=K+錯(cuò)誤！X（1000-K尸1136.78（元）K=452.88（元）故P=K+錯(cuò)誤！X（1000-K）=794.83（元）【例2.35某債券面值為1000元，名義年息率為9%半年支付一次，期限為10年，前5年每半年收益率為4%,后5年每半年收益率為5%，計(jì)算債券價(jià)值。解:依題意，有前5年的息票在零時(shí)刻的現(xiàn)值為：45a討Y364.99（元）零時(shí)刻剩余10個(gè)息票的現(xiàn)值為：45a-00.05X1.0410=234.74（元）零食可贖回債券的現(xiàn)值為：1000（1.04）-1°（1.05）-10=414.73（元）債券價(jià)值為以上三者之和，即364.99+234.74+41

24、4.73=1014.46（元）【例2.36】試計(jì)算例2.33中第三個(gè)息票支付其的賬面值增加額。解:B3B2=Cl+(g-i)ajC1+(g-l)a/=4.04(元)【例2.371某5年期債券面值為1000元，名義息票率8%,沒半年支付一次，每半年結(jié)算的名義收益率為7.5%,計(jì)算支付第6次息票是賬面價(jià)值的變化。解：支付第5次息票后的賬面價(jià)值為：R=4050.0375+10O0X(1.0375)5=1011.21(元)支付第6次息票后的賬面價(jià)值為：B6=4040.0375+1000X(1.0375)4=1009.13(元)故支付第6次息票是賬面價(jià)值的變化為：B5-B6=2.08(元)【例2.381

25、3年期債券面值1000元，名義息票率6%沒半年支付一次，每半年結(jié)算的名義收益率為8%試計(jì)算：(1)支付第2次息票時(shí)，賬面價(jià)值中包含的利息是都少？(2)支付第3次息票是，賬面價(jià)值變是多少？(3)建立債券分期付款計(jì)劃表。解：(1)F=C=1000r=0.03i=0.04支付第2次息票后的賬面價(jià)值為：B2=30a40.04+1000X（1.04）-4=963.70（元）利息為：B2X0.04=38.55（元）（2）賬面價(jià)值的改變是第2次，第3次賬面價(jià)值之差，為：B3B2=8.55（元）【例2.39】某5年期的債券面值為1000元，每半年支付1次的息票為60元,每半年結(jié)算的名義收益率為8%。如果在購買

26、2年2個(gè)月后,債券以其當(dāng)時(shí)賬面幾個(gè)賣出，試用理論法計(jì)算賬面價(jià)值。解：F=1000n=10Fr=60i=4%k=4t=錯(cuò)誤！第2年末的賬面價(jià)值是：B4=Frai+Cvn-k=1104.84（元）2年2月后，用理論法計(jì)算賬面價(jià)值得：Bk-i+t=Bk-i（1+1）t=1119.38仇）【例2.40】設(shè)債券面值為2000元，年息票率為8%,投資者要求的年收益為12%,期限為3年，到期按面值償還，試計(jì)算債券在各季度末的價(jià)格和賬面值。解：根據(jù)公式，有Po=B0=C1+(g-i)an=1807.85(元)Po.25=Po(1+i)0.25=1859.81(元)按理論法：Bo.25=Po(1+i)"

27、;5-錯(cuò)誤！X(1+i)0.25-1=1821.49(元)按半理論法：Bo25=P。(1+i)025-0.25Fr=1819.81(元)按實(shí)踐方法：B0.25=P。(1+0.25i)0.25Fr=1822.09(元)第五章【例5.1某人在40歲時(shí)投保了3年期10000元定期壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金在死亡年年末賠付。以中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表(1990-1993)(男女混合)和利率5%，計(jì)算建繳凈保費(fèi)。解:建繳凈保費(fèi)為：_12310000A，0:3=10000(vxq40+vxP40xq41+vx2P4°xq42)(10.001650)(10.001812)0.001993=31.05=49.28

28、(元)【例5.2】張某在50歲時(shí)投保了一份保額100000元的30年定期壽險(xiǎn)。假設(shè)ix=1000(1-F(x,105)，預(yù)定利率為0.08,求該保單的建繳凈保費(fèi)解:該生命表的最大年齡是105歲，所以t的取值范圍是0到55,所求的賠付現(xiàn)值是:1100000 A50：3q29(t1)100000t01.08tP50q50t其中t p50l 50 t55 tl 50155t(54t)1q50tp50t55t55t故，該保單的建繳凈保費(fèi)是:1100000 A5q：3q29100000 1.08t 0(t 1)55 t55155 t=20468.70(元)【例5.3假設(shè)例5.2中張某50歲時(shí)購買的是保額

29、為100000元的終身壽險(xiǎn)。已知I1000(1),預(yù)定利率為0.08,求該保單的建lx105繳凈保費(fèi)。解：55(t1)100000A501000001。1.08tp50q501561(,)_1000001'1.08551.08111.08=22421.91(元)【例5.4】某人在40歲時(shí)買了保險(xiǎn)額為20000元的終身壽險(xiǎn)，假設(shè)他的生存函數(shù)可以表示為s(x) 1105，死亡賠付在死亡年年末，i=10%,求這一保單的精算現(xiàn)值。解:由s(x) 1x105tP40s(40s(40)t)q40 t1 P40 t65 t65165 t保單精算現(xiàn)值為:1120000 A40 20000 v tt 0

30、 tPxqx由生存函數(shù)可以看出tP40 0 t >65因此6420000A40 20000 (t 011.165 t 16565 t=3 0 70.6 5 (元)【例5.5】在例5.2中，假設(shè)5 0歲的張某購買的是一份30年的兩全保險(xiǎn)，死亡年年末給付，保額為10 0 000元，求該保單的強(qiáng)繳凈保費(fèi)。解:100000A50:30 100000A50:30 100000A50：3030=20468.70 100000 (1.08)30 P50=2 4 9 85. 8 5 (元)【例5.6某人在4 0歲時(shí)投保了一份壽險(xiǎn)保單，死亡年年末賠付。如果在40歲到6 5歲之間死亡，保險(xiǎn)公司賠付 50 0

31、 00元；在65歲到75歲之間死亡，受益人可領(lǐng)取100000元的保險(xiǎn)金；在75歲之后死亡，保險(xiǎn)金為30000元。利用轉(zhuǎn)換函數(shù)寫出保單精算的表達(dá)式。解：這份保單可以分解成一份50000元的25年定期壽險(xiǎn)、一份100000元的延期25年的10年定期壽險(xiǎn)與一份30000元延期35年的終身壽險(xiǎn)的組合。這樣，這份保單的精算現(xiàn)值可以表示為：50000（M40M6）100000M65M7J30000M75D40化簡得：50000M4050000M6570000M75D40【例5.71對（x）的一份3年期變額壽險(xiǎn)，各年的死亡賠付額和死亡概率如下表所示：Kb-qk+103000000.0213500000.04

32、24000000.06假設(shè)預(yù)定利率為6%，計(jì)算這一保單的精算現(xiàn)值解：依題意，這一保單的精算現(xiàn)值為：23300000Vqx350000vpxqx1400000v2Pxqx2=36829（元）【例5.8某人在30歲投保，假設(shè)生存函數(shù)在0到100間均勻分布,1一Z為死亡賠付現(xiàn)值隨機(jī)變量，已知利息力為0.05,求A3。行和A30。解：（1）由于生存函數(shù)在0到100間均勻分布，但x= 3 0時(shí),剩余壽命在0, 7 0 間均勻分布，概率密度1100.05tA3o：ioE(Z) 0 e-700.05tA30 E(Z) 0 edt 70dt70f=錯(cuò)誤！，故0.51e0.11240.05 700.05 701

33、 ee 0.27710.05 70【例5.91某人在30歲時(shí)投保了50000元的30年兩全保險(xiǎn)，設(shè)預(yù)定利率為6%,以中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表(1990-1 993)(男女混合),求這一保單的強(qiáng)繳凈保費(fèi)。解：在死亡均勻分布假設(shè)下，強(qiáng)繳凈保費(fèi)為:50000 A30:3050000A30:狗A30：30l0.06 M 30 M 6050000MM 50000ln1.06 D309467.26D 60D30【例5 . 1 0】在例5.9中，如果契約規(guī)定在投保的前1 0年死亡賠付5 0 000元，后20年死亡賠付300 0 0元,滿期存貨給付20000元，求這一保單的強(qiáng)繳凈保費(fèi)。解:這是一個(gè)變額保險(xiǎn)，可

34、以分解為三部分，強(qiáng)繳凈保費(fèi)為115000030000E 20000 EA30:10A40:20 1 0303 0300.0650000 (M 30 M 40) 30000 (M 40 M 60)20000D60ln1.064270.52D30D30【例5.11已知a°=0.8663,i=0.06,求a012)。解:由-12.(12)(1i)1i1.0612可算得:i(12)=0.058411再由(5.38)式,得：A012)4)A0.8899i【例2.12假設(shè)某人41歲時(shí)投保了1單位元的終身壽險(xiǎn)，死亡年末賠付。已知i=0.05,p40=0.9972,A*A。0.00822，求A*。1

35、v0.952381i2v0.90703q401P400.0028由公式AxvqxvPxAx1有A41A40A41(vq40vp40A41)A41(1VP40)4000822A410.21654第六章【例6.1】李明今年20歲,如果他能活到60歲，它將能從保險(xiǎn)公司得到1000元的一次性給付。設(shè)年利率為6%,試寫出這筆給付在李明20歲時(shí)的現(xiàn)值。解:李明從20歲活到60歲的概率是p，從20歲到60歲死亡的概4020率為(140P20)，如果活到60歲，他可以獲得1000元給付，死亡則沒有給付。因此，他獲得給付的期望值為100040P200(140P20)100040P20【例6.2設(shè)n>t,證

36、明并解釋下面兩個(gè)式子：（1）nE(2)x t 1tE nEEx n tEx1證明：n Ex11EnvnPxtn tV t px v n t px 1 t Ex n t E x t將nEx tEntExt兩邊同乘以nExtE nE1n tExt，得:1ntExt【例6.3】張華今年30歲，從今年起，只要他存活，可以在每年年初獲得1000元的生存給付，假設(shè)年利率為9%。計(jì)算這一年金的精算現(xiàn)值。解:這是一個(gè)每年給付1000元的終身生存年金，每一次給付經(jīng)過折現(xiàn)后在30歲時(shí)的價(jià)值總和合即為這筆年金在30歲時(shí)的精算現(xiàn)值。因此,給付的現(xiàn)值是：1210001000p301.0910002p301.09.k10

37、00kp301.09k0【例6.4】某人今年45歲，花費(fèi)10000元購買了一份年金產(chǎn)品，保單承諾從下一年開始，每年可以領(lǐng)到等額的給付，已知利率i=5%,一句附表中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993）（男女混合）的資料，試計(jì)算每年可以領(lǐng)取的金額。解:這是一個(gè)期末負(fù)終身年金的例子，題目中已經(jīng)給出了這份年金購買時(shí)的現(xiàn)值，要求計(jì)算年金每次的給付額。設(shè)每次的給付額為p,有Pa4510000而a45N615.128D45故P=661.03（元）【例6.5J王明在40隨時(shí)購買了一份年金產(chǎn)品，承諾在未來20年內(nèi),如果他存活，則可以在每年年初領(lǐng)取1000元的給付，一旦死亡，則給付立即停止。20年期滿，保

38、單自動(dòng)中止，無論20年后是否存活，不再繼續(xù)給付。以附表中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993）（男女混合）的資料，假設(shè)預(yù)定利率為1=6%,使計(jì)算這筆年金的精算現(xiàn)值。解：其精算現(xiàn)值為：1000a40：因1000N0N0D40=11882.82（元）【例6.6】某人在30隨時(shí)購買了一份年金，約定的給付為：從51歲起，如果被保險(xiǎn)人生存，每年可以得到5000元的給付，直到被保險(xiǎn)人死亡為止。設(shè)年利率為6%,存活函數(shù)為lxl0（1叁），試計(jì)算這筆年金x在購買時(shí)的精算現(xiàn)值。解：由存活函數(shù)可得生存概率：130k70kkp30/o又因?yàn)閗20a30在gvkp30k21k21因而這筆年金的精算現(xiàn)值為:500

39、0 20 a3070 k7050001.06k21=12358.09（元）【例6.7】對于（30）的從60歲起每年年初6000元的生存年金，預(yù)定利率為6%,以中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993）（男女混合）的資料，求保單的強(qiáng)繳凈現(xiàn)值。解：有公式（6.13）,保單的強(qiáng)繳凈保費(fèi)為:600030a306000a6030E3o=10787.38（元）【例6.8】某人在35隨時(shí)購買了一份年金產(chǎn)品，這份年金將從他60歲退休起的25年內(nèi),每年年初給付5000元生存年金。給定利率為6%,根據(jù)中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993）（男女混合），計(jì)算這一年金的精算現(xiàn)值。解：其精算現(xiàn)值為:5000

40、25a35：255000N60N85D35=11683（元）【例6.9某30歲的人投保養(yǎng)老保險(xiǎn)，保險(xiǎn)契約規(guī)定，如果被保險(xiǎn)人存活的60歲，則確定給付10年年金，若被保險(xiǎn)人在6069歲間死亡，由其指定的受益人繼續(xù)領(lǐng)取，知道領(lǐng)取滿十年為止。如果被保險(xiǎn)人在70歲仍然存活，則從70歲起以生存為條件得到年金。如果年僅每年年初支付一次，一次支付6000元，預(yù)定利率為6%,以中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表(1990-1993)(男女混合)資料，計(jì)算保單建繳凈保費(fèi)。解：強(qiáng)繳凈保費(fèi)為：.6000(a而10a60)30E30106000(-v-N70)D0iD60D3010790.86【例6.10如果一個(gè)x歲的人獲得了一

41、份每年1單位元的連續(xù)年金，試用隨機(jī)變量y表示給付變量的現(xiàn)值。(1)用(x)的余壽隨機(jī)變量T的函數(shù)表示y(2)利用y是T的函數(shù)這一條件計(jì)算年金的精算現(xiàn)值/ax(3)死亡給付1單位元終身壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值的隨機(jī)變量是Z,給付Y也Z之間的關(guān)系。(4)利用(3)中的關(guān)系，用Ax表水a(chǎn)xT.一1解:yaT1T(2)axE(Y)E()(3)因?yàn)樗?4)ax E(Y)1 E(Z) 1 A【例6.1 1 J已知某人的生命具有常數(shù)死亡力0.04，設(shè)利息力0.06,試計(jì)算:axa們超過ax的概率.解：（1）已知死亡力，則tPxaxte 0t0 vx Sdt Pxdtte10(2)Pr(aT! ax)0.06T PF

42、)ln 0.4Pr(T就ln0.4 dtT0.060.54【例6 .1 2】在例6. 7中，若年金每月支付一次，求建繳額。11 一 )24 3030解:建繳凈保費(fèi)為:(12).600030a306000(30|a3。116000N3024D60D3010357.08【例6.131某保單提供從60歲起每月500元的生存年金，如果被保險(xiǎn)人在60歲前死亡，則在死亡年末給付10000元。設(shè)預(yù)定利率為6%,如果某人30歲時(shí)購買了這種保單，根據(jù)中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表(1990-1993)(男女混合)的資料，求這一年金的精算現(xiàn)值。解:這一保單包括年金與壽險(xiǎn)兩種保險(xiǎn)形式，其精算現(xiàn)值是兩種保險(xiǎn)精算值之和，其中年金精算現(xiàn)值與例6.12相同。(12)1""10000A30:和60003