第四節(jié)數(shù)量積向量積ppt課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積 cos|sFW 實例實例) (的的夾夾角角與與為為其其中中sF 所所作作的的功功為為表表示示位位移移，則則力力，以以到到點點移移動動的的作作用用下下沿沿直直線線從從點點一一物物體體在在常常力力 21FsMMF為為的的數(shù)數(shù)量量積積與與兩兩個個向向量量定定義義 baba cos|baba ab cos|baba ,Prcos|bjba ,Prcos|ajab ajbbabPr| .Pr|bjaa 數(shù)量積也稱為數(shù)量積也稱為“點積點積”、“內(nèi)積內(nèi)積”.

2、. 結(jié)論結(jié)論 兩向量的數(shù)量積等于其中一個向量的兩向量的數(shù)量積等于其中一個向量的模和另一個向量在這向量的方向上的投影的乘積模和另一個向量在這向量的方向上的投影的乘積. .關(guān)于數(shù)量積的說明：關(guān)于數(shù)量積的說明：0)2( ba.ba )(, 0 ba, 0| , 0 ba不不妨妨設設, 0cos .ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa 證明證明證明證明,2 ,2 數(shù)量積符合下列運算規(guī)律：數(shù)量積符合下列運算規(guī)律：; )1(abba ：交交換換律律;)( )2(cbcacba ：分分配配律律),()()( )3(bababa ：為為數(shù)

3、數(shù)若若).()()( , baba ：為為數(shù)數(shù)若若證明證明, ),cos(bababa 而而, abba 所以所以. abba ; ),cos( abbaab (1). (1). 由數(shù)量積的定義有由數(shù)量積的定義有, ),cos(),cos( abba (2).(2).由數(shù)量積的定義有由數(shù)量積的定義有 cba)(由投影定理，可知由投影定理，可知 )(Prbajc所以所以)Pr(Pr)(bjajccbacc bjcajcccPrPr ba)( )( ba ),cos(baba , ),cos(baba ),cos(baba , ),cos(baba , )(Prbajcc , PrPrbjajcc

4、 . cbca 時時，按按定定義義有有因因為為當當 0 ).3( , ),cos()(bababa , ),(),(),(bababa 從而得到從而得到 ),cos(baba ),cos(baba , ),cos(baba ),()()(bababa 即即. 0)()()( bababa 當當 時，也可以類似地加以證明時，也可以類似地加以證明. .0 的的方方向向相相同同，所所以以與與的的方方向向相相同同，與與又又bbaa 顯然有顯然有時時當當, 0 , , kbjbibbkajaiaazyxzyx 設設 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx , 0 ikkjji,|k| j|i

5、 |1 .kkjjii1 zzyyxxbabababa 這就是兩個向量的數(shù)量積的坐標表達式這就是兩個向量的數(shù)量積的坐標表達式. .因此由分配律得到因此由分配律得到互互相相垂垂直直，由由于于 kji cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾角余弦的坐標表示式兩向量夾角余弦的坐標表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知兩向量垂直的充要條件為由此可知兩向量垂直的充要條件為 作向量作向量 及及 ， 就是向量就是向量 與與 MAMBAMB MAMB的夾角的夾角. .這里這里 MA0 , 1 , 1 MB1 , 0 , 1

6、MBMA ; 1100111 ; 2011222 MA; 2101222 MB從而從而解解 . )2 , 1 , 2()1 , 2 , 2()1 , 1 , 1( 1 AMBBAM ，求求角角，已已知知三三點點例例代入兩向量夾角余弦的表達式，得代入兩向量夾角余弦的表達式，得 )cos(MBMAMBMAAMB 221 由此得由此得.3 AMB證明證明cacbbca )()()()(cacbcbca 0 .)()(cacbbca . )()( 2垂垂直直向向量量與與證證明明向向量量例例acbbcac .21 )()(cbcacbca |FOQM sin|FOP 實例實例二、兩向量的向量積二、兩向量

7、的向量積LFPQO FF設設 O O為一根杠桿為一根杠桿L L 的支點，有一力的支點，有一力 作用作用于這杠桿上于這杠桿上P P 點處力點處力 與與 OP OP 的夾角為的夾角為 ， 力力 對支點對支點O O 的力矩是一向量的力矩是一向量 ，它的模，它的模MF 的方向垂直于的方向垂直于OPOP與與 所決所決定的平面定的平面, , 指向符合右手系指向符合右手系. . MF關(guān)于向量積的說明：關(guān)于向量積的說明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量積也稱為向量積也稱為“叉積叉積”、“外積外積”. . sin|bac , ) (的的夾夾角角與與為為其其中中ba

8、 它它的的模模為為，的的向向量量積積記記為為與與兩兩個個向向量量定定義義bacba . ，指指向向符符合合右右手手系系又又垂垂直直于于方方向向既既垂垂直直于于的的bac向量積符合下列運算規(guī)律：向量積符合下列運算規(guī)律：. )1(abba .)( )2(cbcacba ：分分配配律律).()()( )3(bababa ：是是數(shù)數(shù)若若)(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin ,0 或或 )(0sin |ba證明證明下面來推導向量積的坐標表示式下面來推導向量積的坐標表示式. .,0 或或 sin|ba. 0 ,ba.ba,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設設 ba)(kajai

9、azyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 這就是向量積的坐標表達式這就是向量積的坐標表達式. . ba向量積還可用三階行列式表示向量積還可用三階行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可推出按第一行展開就得到按第一行展開就得到kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( bazzyxbaaa 000, 0 yxaa根據(jù)向量積的定義，可知根據(jù)向量積的定義，可知例如，例如，a

10、bbac 兩兩個個為為零零，不不能能同同時時為為零零，但但允允許許 ,zyxbbb . 平行四邊形面積平行四邊形面積為鄰邊的為鄰邊的和和以以表示表示baba 解解bac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kj . 2,423 3 的單位向量的單位向量都垂直都垂直求與求與例例kjibkjia zyxzyxbbbaaakji 三角形三角形ABC ABC 的面積為的面積為. )7 , 4 , 2( )5 , 4 , 3(, )3 , 2 , 1( 4 的的面面積積，求求和和的的三三個個頂頂點點為為已已知知例例ABCCBAABC 142)6(42126421222 kjiSABC由于由于,2 , 2 , 2 AB,4 , 2 , 1 ACkjikjiACA