2005全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案

1、二五年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷一、選擇題1. 使關(guān)于x的不等式有解的實數(shù)k的最大值是A. B. C. D. 2. 空間四點A、B、C、D，滿足、，則的取值A(chǔ). 只有一個B. 有兩個C. 有四個D. 有無窮多個3. ABC內(nèi)接于單位圓，三個內(nèi)角A、B、C的平分線交此圓于A1、B1、C1三點，則的值是A. 2B. 4C. 6D. 84. 如圖，ABCDA'B'C'D'為正方體，任作平面與對角線AC'垂直，使與正方體的每個面都有公共點，記這樣得到的截面多邊形的面積為S，周長為l，則A. S是定值，l不是定值B. S不是定值，l是定值C. S、l均是定值D. S、l均不

2、是定值5. 方程表示的曲線是A. 焦點在x軸上的橢圓B. 焦點在x軸上的雙曲線C. 焦點在y軸上的橢圓D. 焦點在y軸上的雙曲線6. 記集合，將M中的元素按從大到小順序排列，則第2005個數(shù)是A. B. C. D. 二、填空題7. 將多項式表示為關(guān)于y的多項式 ，且，則=_。8. f(x)是定義在(0,+)上的減函數(shù)，若成立，則實數(shù)a的取值范圍是_。9. 設(shè)、滿足，若對任意，成立，則=_。10. 如圖，四面體DABC的體積為，ACB=45°，則CD=_。11. 正方形ABCD的一條邊在直線上，另外兩頂點在上，則正方形面積的最小值為_。12. 若自然數(shù)a的各位數(shù)字之和為7，則稱a是“吉

3、祥數(shù)”。將所有“吉祥數(shù)”從小到大排成一列：a1、a2、a3，若an=2005，則a5n=_。三、解答題13. 數(shù)列an滿足a0=1，證明：(1)對于任意，a為整數(shù)；(2)對于任意，為完全平方數(shù)。14. 將編號為1、2、3、9的九個小球隨機放置在圓周的九個等分點上，每個等分點上各一個小球，設(shè)圓周上所有相鄰兩球號碼之差的絕對值之和為S，求值S達到最小值的方法的概率（若某種方法，經(jīng)旋轉(zhuǎn)或鏡面反射可與另一種方法重合，則認為是相同方法）。15. 過拋物線y=x2一點A(1,1)作拋物線的切線交x軸于D，交y軸于B，C在拋物線上，E在線段AC上，F(xiàn)在線段BC上，且1+2=1，線段CD與EF交于P，當(dāng)C在拋

4、物線上移動時，求P的軌跡方程。二五年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)說明：1 評閱試卷時，請依據(jù)本評分標(biāo)準(zhǔn)。選擇題只設(shè)6分和0分兩檔，填空題只設(shè)9分和0分兩檔；其他各題的評閱，請嚴格按照本評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評分檔次給分，不要再增加其它中間檔次。2 如果考生的解題方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分，5分為一個檔次，不要再增加其他中間檔次。一、 選擇題（本題滿分36分，每小題6分）本題共有6小題，每小題均給出A，B，C，D四個結(jié)論，其中有且僅有一個是正確的。請將正確答案的代表字母填在題后的括號內(nèi)。每小題選對得6分；不選、選錯或選出的代表字母超過

5、一個（不論是否寫在括號內(nèi)），一律得0分。1使關(guān)于的不等式有解的實數(shù)的最大值是（ ）A B C D解：令則的最大值為。選D。2空間四點A、B、C、D滿足則的取值（ ）A只有一個 B有二個 C有四個 D有無窮多個解：注意到由于則=即只有一個值得0，故選A。3內(nèi)接于單位圓，三個內(nèi)角A、B、C的平分線延長后分別交此圓于、。則的值為（ ）A2 B4 C6 D8解：如圖，連，則4如圖，為正方體。任作平面與對角線垂直，使得與正方體的每個面都有公共點，記這樣得到的截面多邊形的面積為S，周長為.則（ ）AS為定值，不為定值 BS不為定值，為定值CS與均為定值 DS與均不為定值解：將正方體切去兩個正三棱錐后，得到

6、一個以平行平面為上、下底面的幾何體V，V的每個側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多邊形W的每一條邊分別與V的底面上的一條邊平行，將V的側(cè)面沿棱剪開，展平在一張平面上，得到一個，而多邊形W的周界展開后便成為一條與平行的線段（如圖中），顯然，故為定值。當(dāng)位于中點時，多邊形W為正六邊形，而當(dāng)移至處時，W為正三角形，易知周長為定值的正六邊形與正三角形面積分別為與，故S不為定值。選B。5.方程表示的曲線是（）A焦點在軸上的橢圓B焦點在軸上的雙曲線C焦點在軸上的橢圓D焦點在軸上的雙曲線解：即又方程表示的曲線是橢圓。即曲線表示焦點在軸上的橢圓，選C。6.記集合將M中的元素按從大到小的順序排列，則第2005個數(shù)是（

7、）ABCD解：用表示k位p進制數(shù)，將集合M中的每個數(shù)乘以，得中的最大數(shù)為。在十進制數(shù)中，從2400起從大到小順序排列的第2005個數(shù)是2400-2004=396。而將此數(shù)除以，便得M中的數(shù)故選C。二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）本題共有6小題，要求直接將答案寫在橫線上。7.將關(guān)于的多項式表為關(guān)于的多項式其中則.解：由題設(shè)知，和式中的各項構(gòu)成首項為1，公比為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的求和公式，得：令得取有8.已知是定義在上的減函數(shù)，若成立，則的取值范圍是解：在上定義，又僅當(dāng)或時，在上是減函數(shù)，結(jié)合（）知或9.設(shè)、滿足，若對于任意則解：設(shè)由，知，即又只有另一方面，當(dāng)有記，由于三點構(gòu)成單位圓上

8、正三角形的三個頂點.其中心位于原點，顯然有即10.如圖，四面體DABC的體積為，且滿足則.解：即又等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立，這時面ABC，.11.若正方形ABCD的一條邊在直線上，另外兩個頂點在拋物線上.則該正方形面積的最小值為80.解：設(shè)正方形的邊AB在直線上，而位于拋物線上的兩個頂點坐標(biāo)為、，則CD所在直線的方程將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，得令正方形邊長為則在上任取一點（6，,5），它到直線的距離為.、聯(lián)立解得或12.如果自然數(shù)的各位數(shù)字之和等于7，那么稱為“吉祥數(shù)”.將所有“吉祥數(shù)”從小到大排成一列若則5200.解：方程的非負整數(shù)解的個數(shù)為.而使的整數(shù)解個數(shù)為.現(xiàn)取，可知，位“吉祥數(shù)”的個數(shù)

9、為2005是形如的數(shù)中最小的一個“吉祥數(shù)”，且對于四位“吉祥數(shù)”，其個數(shù)為滿足的非負整數(shù)解個數(shù)，即個。2005是第1+7+28+28+165個“吉祥數(shù)”，即從而又而從大到小最后六個五位“吉祥數(shù)”依次是：70000，61000,60100,60010,60001,52000.第325個“吉祥數(shù)”是52000，即三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）13.數(shù)列滿足：證明：（1）對任意為正整數(shù)；(2)對任意為完全平方數(shù)。證明：（1）由題設(shè)得且嚴格單調(diào)遞增.將條件式變形得兩邊平方整理得-得由式及可知，對任意為正整數(shù).10分（2）將兩邊配方，得由0（mod3）為正整數(shù)式成立.是完全平方數(shù).20分14

10、.將編號為1,2，9的九個小球隨機放置在圓周的九個等分點上，每個等分點上各有一個小球.設(shè)圓周上所有相鄰兩球號碼之差的絕對值之和為要S.求使S達到最小值的放法的概率.（注：如果某種放法，經(jīng)旋轉(zhuǎn)或鏡面反射后可與另一種放法重合，則認為是相同的放法）解：九個編號不同的小球放在圓周的九個等分點上，每點放一個，相當(dāng)于九個不同元素在圓周上的一個圓形排列，故共有8！種放法，考慮到翻轉(zhuǎn)因素，則本質(zhì)不同的放法有種. 5分下求使S達到最小值的放法數(shù)：在圓周上，從1到9有優(yōu)弧與劣弧兩條路徑，對其中任一條路徑，設(shè)是依次排列于這段弧上的小球號碼，則上式取等號當(dāng)且僅當(dāng)，即每一弧段上的小球編號都是由1到9遞增排列.因此.10

11、分由上知，當(dāng)每個弧段上的球號確定之后，達到最小值的排序方案便唯一確定.在1,2，9中，除1與9外，剩下7個球號2,3，8，將它們分為兩個子集，元素較少的一個子集共有種情況，每種情況對應(yīng)著圓周上使S值達到最小的唯一排法，即有利事件總數(shù)是種，故所求概率20分15.過拋物線上的一點A（1,1）作拋物線的切線，分別交軸于D，交軸于B.點C在拋物線上，點E在線段AC上，滿足;點F在線段BC上，滿足，且，線段CD與EF交于點P.當(dāng)點C在拋物線上移動時，求點P的軌跡方程.解一：過拋物線上點A的切線斜率為：切線AB的方程為的坐標(biāo)為是線段AB的中點. 5分設(shè)、，則由知，得EF所在直線方程為：化簡得10分當(dāng)時，直

12、線CD的方程為：聯(lián)立、解得，消去，得P點軌跡方程為：15分當(dāng)時，EF方程為：方程為：，聯(lián)立解得也在P點軌跡上.因C與A不能重合，所求軌跡方程為20分解二：由解一知，AB的方程為故D是AB的中點. 5分令則因為CD為的中線，而是的重心. 10分設(shè)因點C異于A，則故重心P的坐標(biāo)為消去得故所求軌跡方程為20分2005年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題（二）一、（本題滿分50分）如圖，在ABC中，設(shè)AB>AC，過A作ABC的外接圓的切線l，又以A為圓心，AC為半徑作圓分別交線段AB于D；交直線l于E、F。證明：直線DE、DF分別通過ABC的內(nèi)心與一個旁心。（注：與三角形的一邊及另兩邊的延長線均相切的圓稱為三

13、角形的旁切圓，旁切圓的圓心稱為旁心。）證明：（1）先證DE過ABC的內(nèi)心。如圖，連DE、DC，作BAC的平分線分別交DC于G、DE于I，連IC，則由AD=AC，得，AGDC，ID=IC.又D、C、E在A上，IAC=DAC=IEC，A、I、C、E四點共圓，CIE=CAE=ABC，而CIE=2ICD，ICD=ABC.AIC=IGC+ICG=90°+ABC，ACI=ACB，I為ABC的內(nèi)心。 （2）再證DF過ABC的一個旁心.連FD并延長交ABC的外角平分線于I1，連II1、B I1、B I，由（1）知，I為內(nèi)心，IBI1=90°=EDI1，D、B、l1、I四點共圓，BI l1 =BDI1=90°ADI1=（BAC+ADG）ADI=BAC+IDG，A、I、I1共線.I1是ABC的BC邊外的旁心二、（本題滿分50分）設(shè)正數(shù)a、b、c、x、y、z滿足求函數(shù)的最小值.解：由條件得，即，同理，得a、b、c、x、y、z為正數(shù)，據(jù)以上三式知，故以a、b、c為邊長，可構(gòu)成一個銳角三角形ABC， ，問題轉(zhuǎn)化為：在銳角ABC中，求函數(shù)、）=的最小值.令則且同理，+（取等號當(dāng)且僅當(dāng)，此時，三、（本題滿分50分）對每個正整數(shù)n，定義函數(shù)（其中x表示不超過x的最大整數(shù)， 試求：的值.解：對任意，若，則，設(shè)則讓a跑遍區(qū)間）中的所有整數(shù)，則于