1995考研數一真題及解析

1、1995年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學一試題一、填空題(本題共5個小題,每小題3分,滿分15分.)(1) _.(2) _.(3) 設,則_.(4) 冪級數的收斂半徑_.(5) 設三階方陣、滿足關系式：,且,則_.二、選擇題(本題共5個小題,每小題3分,滿分15分.)(1) 設有直線及平面,則直線 ( )(A) 平行于 (B) 在上 (C) 垂直于 (D) 與斜交 (2) 設在上,則、或的大小順序是( ) (A) (B) (C) (D) (3) 設可導,則是在處可導的 ( ) (A) 充分必要條件 (B) 充分條件但非必要條件 (C) 必要條件但非充分條件 (D) 既非充分條件又非必要條件 (

2、4) 設,則級數 ( )(A) 與都收斂 (B) 與都發(fā)散 (C) 收斂而發(fā)散 (D) 發(fā)散而收斂 (5) 設,則必有 ( ) (A) (B) (C) (D) 三、(本題共2小題,每小題5分,滿分10分.)(1) 設,其中、都具有一階連續(xù)偏導數,且,求.(2) 設函數在區(qū)間上連續(xù),并設,求 .四、(本題共2小題,每小題6分,滿分12分.)(1) 計算曲面積分,其中為錐面在柱體內的部分.(2) 將函數展開成周期為4的余弦級數.五、(本題滿分7分)設曲線位于平面的第一象限內,上任一點處的切線與軸總相交,交點記為.已知,且過點,求的方程.六、(本題滿分8分)設函數在平面上具有一階連續(xù)偏導數,曲線積分

3、與路徑無關,并且對任意恒有,求.七、(本題滿分8分)假設函數和在上存在二階倒數,并且,試證：(1) 在開區(qū)間內；(2) 在開區(qū)間內至少存在一點,使.八、(本題滿分7分)設三階實對稱矩陣的特征值為,對應于的特征向量為,求.九、(本題滿分6分)設是階矩陣,滿足(是階單位陣,是的轉置矩陣),求.十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分.)(1) 設表示10次獨立重復射擊命中目標的次數,每次射中目標的概率為0.4,則的數學期望_.(2) 設和為兩個隨機變量,且, ,則_.十一、(本題滿分6分)設隨機變量的概率密度為求隨機變量的概率密度.1995年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學一試題解析一、填空題

4、(本題共5個小題,每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】【解析】這是型未定式求極限,令,則當時,所以,故 .(2)【答案】【解析】 .【相關知識點】積分上限函數的求導公式：.(3)【答案】【解析】利用向量運算律有 (其中).(4)【答案】【解析】令,則當時,有而當時,冪級數收斂,即時,此冪級數收斂,當時,即時,此冪級數發(fā)散,因此收斂半徑為.(5)【答案】【解析】在已知等式兩邊右乘以,得,即.因為 ,所以=.二、選擇題(本題共5個小題,每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】(C)【解析】這是討論直線的方向向量與平面的法向量的相互關系問題.直線的方向向量,平面的法向量,.應選(C).(2)【答

5、案】(B) 【解析】由可知在區(qū)間上為嚴格單調遞增函數,故由微分中值定理,.所以,故應選擇(B).(3)【答案】(A) 【解析】由于利用觀察法和排除法都很難對本題作出選擇,必須分別驗證充分條件和必要條件.充分性:因為,所以,由此可得 在處可導.必要性:設在處可導,則在處可導,由可導的充要條件知 . 根據重要極限,可得 , 結合,我們有,故.應選(A).(4)【答案】(C)【解析】這是討論與斂散性的問題.是交錯級數,顯然單調下降趨于零,由萊布尼茲判別法知,該級數收斂.正項級數中,.根據正項級數的比較判別法以及發(fā)散,發(fā)散.因此,應選(C).【相關知識點】正項級數的比較判別法：設和都是正項級數,且則1

6、 當時,和同時收斂或同時發(fā)散；2 當時,若收斂,則收斂；若發(fā)散,則發(fā)散；3 當時,若收斂,則收斂；若發(fā)散,則發(fā)散.(5)【答案】(C)【解析】是交換單位矩陣的第一、二行所得初等矩陣,是將單位矩陣的第一行加到第三行所得初等矩陣；而是由先將第一行加到第三行,然后再交換第一、二行兩次初等交換得到的,因此 ,故應選(C).三、(本題共2小題,每小題5分,滿分10分.)(1)【解析】這實質上已經變成了由方程式確定的隱函數的求導與帶抽象函數記號的復合函數求導相結合的問題.先由方程式,其中確定,并求.將方程兩邊對求導得 ,解得 . 現再將對求導,其中,可得 .將式代入得 .【相關知識點】多元復合函數求導法則

7、：如果函數都在點具有對及對的偏導數,函數在對應點具有連續(xù)偏導數,則復合函數在點的兩個偏導數存在,且有；.(2)【解析】方法一：用重積分的方法.將累次積分表成二重積分,其中如右圖所示.交換積分次序.由于定積分與積分變量無關,改寫成. .方法二：用分部積分法.注意,將累次積分寫成四、(本題共2小題,每小題6分,滿分12分.)(1)【解析】將曲面積分化為二重積分.首先確定被積函數 ,對錐面而言, .其次確定積分區(qū)域即在平面的投影區(qū)域(見右圖),按題意：,即.作極坐標變換,則,因此 .(2)【解析】這就是將作偶延拓后再作周期為4的周期延拓.于是得的傅氏系數：.由于(延拓后)在分段單調、連續(xù)且.于是有展

8、開式.五、(本題滿分7分)【解析】設點的坐標為,則處的切線方程為 .令,得,切線與軸的交點為.由,有.化簡后得伯努利方程 .令,方程化為一階線性方程 .解得 ,即 ,亦即 .又由,得,的方程為 .六、(本題滿分8分)【解析】在平面上與路徑無關(其中有連續(xù)偏導數), ,即 .對積分得 ,其中待定.代入另一等式得對, . 下面由此等式求.方法一：易求得原函數于是由式得 .即 ,亦即 .求導得 ,即 .因此 .方法二：取特殊的積分路徑：對式左端與右端積分分別取積分路徑如下圖所示.于是得 .即 ,亦即 .其余與方法一相同.七、(本題滿分8分)【解析】(1)反證法.假設,使.則由羅爾定理,與使；從而由羅

9、爾定理, ,.這與矛盾.(2)證明本題的關鍵問題是：“對誰使用羅爾定理？”換言之,“誰的導數等于零？”這應該從所要證明的結果來考察.由證明的結果可以看出本題即證在存在零點.方法一：注意到 ,考察的原函數,令,在可導,.由羅爾定理,使.即有,亦即 .方法二：若不能像前面那樣觀察到的原函數,我們也可以用積分來討論這個問題：.(取).令,其余與方法一相同.八、(本題滿分7分)【解析】設對應于的特征向量為,因為為實對稱矩陣,且實對稱矩陣的不同特征值所對應的特征向量相互正交,故,即.解之得 .于是有 ,所以 .九、(本題滿分6分)【解析】方法一：根據有,移項得 .因為,故.所以.方法二：因為,所以 ,即 .因為,故.所以.十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分.)(1)【解析】由題設,因為是獨立重復實驗,所以服從的二項分布.由二項分布的數學期望和方差計算公式,有,根據方差性質有 .(2)【解析】令,則.由概率的廣義加法公式 ,有十一、(本題滿分6分