利潤最大化與二次函數(shù)

1、利潤最大化與二次函數(shù)二次函數(shù)在市場經(jīng)濟的今天，用途特別廣泛。利潤最大問題，就是一個典型。下面就舉例說明。1、住宿問題某賓館客房部有60個房間供游客居住，當每個房間的定價為每天200元時，房間可以住滿當每個房間每天的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑對有游客入住的房間，賓館需對每個房間每天支出20元的各種費用設(shè)每個房間每天的定價增加元求：（1）房間每天的入住量（間）關(guān)于（元）的函數(shù)關(guān)系式 （2）該賓館每天的房間收費（元）關(guān)于（元）的函數(shù)關(guān)系式 （3）該賓館客房部每天的利潤（元）關(guān)于（元）的函數(shù)關(guān)系式；當每個房間的定價為每天多少元時，有最大值？最大值是多少？（2008年貴陽市）分析：因為，每個

2、房間每天的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑，現(xiàn)在增加x元，折合個10元，所以，有個房間空閑；空房間數(shù)+入住房間數(shù)=60，這樣第一問就解決了；房間收費數(shù)額應該等于房間的定價乘以房間的數(shù)量，這樣第二問的等量關(guān)系也找到了；在解答第三問時，關(guān)鍵是理解利潤的意義，利潤=每天的房間收費數(shù)-每個房間每天支出的各種費用。解：（1）房間每天的入住量（間）關(guān)于（元）的函數(shù)關(guān)系式是：y=60-，（2）賓館每天的房間收費（元）關(guān)于（元）的函數(shù)關(guān)系式是：z=（200+x）（60-），（3）賓館客房部每天的利潤（元）關(guān)于（元）的函數(shù)關(guān)系式是：W=（200+x）（60-）-20（60-），整理，得：W=-+42x+1

3、0800=-（x2-420x）+10800= -（x-210）2+15210，因為，a=-0，所以，函數(shù)有最大值，并且，當x=210時，函數(shù)W有最大值，最大值為15210，當每個房間的定價為每天410元時，有最大值，最大值是15210元。2、投資問題例2、隨著綠城南寧近幾年城市建設(shè)的快速發(fā)展，對花木的需求量逐年提高。某園林專業(yè)戶計劃投資種植花卉及樹木，根據(jù)市場調(diào)查與預測，種植樹木的利潤與投資量成正比例關(guān)系，如圖12-所示；種植花卉的利潤與投資量成二次函數(shù)關(guān)系，如圖12-所示（注：利潤與投資量的單位：萬元）（1）分別求出利潤與關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和

4、樹木，他至少獲得多少利潤？他能獲取的最大利潤是多少？（2008年南寧市）分析：根據(jù)圖像和題意知道y1是x的正比例函數(shù)，并且知道圖像上的一個點的坐標為P(1，2)，這樣就可以求出正比例函數(shù)的解析式；仔細觀察拋物線的特點，拋物線經(jīng)過原點，頂點也在原點，因此，解析式一定是形如y=ax2的形式。解：（1）因為，y1是x的正比例函數(shù)，設(shè)，y1=kx，因為，圖像經(jīng)過點P(1，2)，所以，2=k，所以，利潤y1關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式是y1=2x，x0；因為，y2是x的二次函數(shù)，設(shè)，y2=ax2，因為，圖像經(jīng)過點Q(2，2)，所以，2=4a，所以，a=，所以，利潤y2關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式是y2= x2 ，x

5、0；（2）這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，其中投資花卉x萬元，他獲得的利潤是：y=y1+ y2= x2 +2×（8-x）= x2 -2x+16=（x-2）2+14，因為，a=0，所以，函數(shù)有最小值，并且，當x=2萬元時，函數(shù)y有最小值，最小值為14萬元；因為，對稱軸是x=2，當0x2時，y隨x的增大而減小，所以，當x=0時，y有最大值，且為y=（x-2）2+14=16，當2x8時，y隨x的增大而增大，當x=8時，y有最大值，且為y=（x-2）2+14=32，所以，當x=8萬元時，獲得的利潤最大，并且為32萬元。因此，這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得14萬

6、元利潤；他能獲取的最大利潤是32萬元。3、存放問題例3、我州有一種可食用的野生菌，上市時，外商李經(jīng)理按市場價格30元/千克收購了這種野生菌1000千克存放入冷庫中，據(jù)預測，該野生菌的市場價格將以每天每千克上漲1元；但冷凍存放這批野生菌時每天需要支出各種費用合計310元，而且這類野生菌在冷庫中最多保存160元，同時，平均每天有3千克的野生菌損壞不能出售（1）設(shè)x天后每千克該野生菌的市場價格為元，試寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式（2）若存放天后，將這批野生菌一次性出售，設(shè)這批野生菌的銷售總額為元，試寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式（3）李經(jīng)理將這批野生茵存放多少天后出售可獲得最大利潤元？（利潤銷售總額收購成本各種費

7、用）（08涼山州）分析：因為，該野生菌的市場價格將以每天每千克上漲1元，所以，x天就應該上漲x×1=x元；市場價格30元+上漲價=x天后每千克該野生菌的市場價格為元，這樣第一問就解決了；銷售總額為元應該等于野生菌的價格乘以數(shù)量，這樣第二問的等量關(guān)系也找到了；在解答第三問時，關(guān)鍵是理解利潤的意義，利潤=銷售總額-損壞的野生菌的費用。解：（1）由題意得與之間的函數(shù)關(guān)系式是：（，且整數(shù)）；（2）由題意得與之間的函數(shù)關(guān)系式是：；（3）由題意得：因為，a=-30，所以，函數(shù)有最大值，并且，當x=100時，函數(shù)W有最大值，最大值為30000，所以，當時，因為，100天160天，所以，存放100天

8、后出售這批野生菌可獲得最大利潤30000元4、定價問題例4、為了落實國務院副總理李克強同志到恩施考察時的指示精神,最近，州委州政府又出臺了一系列“三農(nóng)”優(yōu)惠政策,使農(nóng)民收入大幅度增加.某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)副產(chǎn)品,已知這種產(chǎn)品的成本價為20元/千克.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),該產(chǎn)品每天的銷售量(千克)與銷售價(元/千克)有如下關(guān)系:=280.設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為(元).(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式.(2)當銷售價定為多少元時,每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少?(3)如果物價部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價不得高于28元/千克,該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利潤,銷售價應定為多少元? （2008恩施自治州）分

9、析：利潤=價格×銷售數(shù)量，這是問題解答的關(guān)鍵。解: y(x20) w(x20)(2x80)2x2120x1600，所以，y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y2x2120x1600 因為，y2x2120x16002 (x30) 2200，因為，a=-20，所以，函數(shù)有最大值，并且，當x=30時，函數(shù)y有最大值，最大值為200，所以，當x30時，y有最大值200 因此，當銷售價定為30元/千克時,每天可獲最大銷售利潤200元. 當y150時，可得方程2 (x30 )2 200150解這個方程，得 x125，x235 根據(jù)題意，x235不合題意,應舍去所以，當銷售價定為25元/千克時，該農(nóng)戶每天可獲得

10、銷售利潤150元5、補貼問題例5、某市種植某種綠色蔬菜，全部用來出口為了擴大出口規(guī)模，該市決定對這種蔬菜的種植實行政府補貼，規(guī)定每種植一畝這種蔬菜一次性補貼菜農(nóng)若干元經(jīng)調(diào)查，種植畝數(shù)（畝）與補貼數(shù)額（元）之間大致滿足如圖1所示的一次函數(shù)關(guān)系隨著補貼數(shù)額的不斷增大，出口量也不斷增加，但每畝蔬菜的收益（元）會相應降低，且與之間也大致滿足如圖2所示的一次函數(shù)關(guān)系圖1x/元50（第25題）1200800y/畝O圖2x/元10030002700z/元O（1）在政府未出臺補貼措施前，該市種植這種蔬菜的總收益額為多少？（2）分別求出政府補貼政策實施后，種植畝數(shù)和每畝蔬菜的收益與政府補貼數(shù)額之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）要使全市這種蔬菜的總收益（元）最大，政府應將每畝補貼數(shù)額定為多少？并求出總收益的最大值（2008年泰安市）分析：惠農(nóng)政策是國家的基本政策，