插值方法數(shù)值分析課程設(shè)計論文

1、數(shù)值分析課程設(shè)計報告學(xué)號 1309101104 姓名 黃圳娟 學(xué)號 1309101107 姓名 鄭美美 學(xué)號 1309101125 姓名 黃福川 學(xué)號 1309101220 姓名 黃昌貴 學(xué)號 1309101221 姓名 莊慧斌 2011年12月 23日福建工程學(xué)院數(shù)理系專業(yè)課程設(shè)計成績評定書設(shè)計題目： 插值方法 信息與計算科學(xué) 專業(yè) 指導(dǎo)教師 龍建輝 指導(dǎo)教師評語成 績： 指導(dǎo)教師 時 間： 答辯小組意見設(shè)計成績： 答辯組長： 黃福川 審定系主任： 插值方法1、摘要：插值多項式的唯一性表明，對同一組節(jié)點，它們的插值多項式是唯一的，可能由不同的方法，會得到不同形式的插值多項式，但它們之間可以相

2、互轉(zhuǎn)化，本質(zhì)相同，當(dāng)然誤差也一樣。插值方法能夠有效解決線性方程組來確定插值多項式的計算量偏大，計算步驟較多，容易使舍入誤差增大的嚴重病態(tài)。1、牛頓插值將待求的n次插值多項式改寫為具有承襲性的形式，然后利用插值條件設(shè)，若存在一簡單函數(shù),使得。確定的待定系數(shù)，以求出所要的插值函數(shù)。2、哈密爾特插值是利用Lagrange插值函數(shù)將待求的n次多項式插值函數(shù)pn(x改寫成另一種表示方式，再利用插值條件確定其中的待定函數(shù)，從而求出插值多項式。在利用插值的另一條件 求出插值函數(shù)。3、分段插值被插值函數(shù)的插值節(jié)點 由小到大 排序,然后每對相鄰的兩個節(jié)點為端點的區(qū)間上用次多項式去近似。4、樣條插值函數(shù)在區(qū)間上給

3、定節(jié)點及其函數(shù)值，函數(shù)滿足關(guān)鍵字：牛頓插值 哈密爾特插值 分段插值 樣條插值2、實驗設(shè)計目的2.1、插值多項式的唯一性表明，對同一組節(jié)點，它們的 插值多項式是唯一的，可能由不同的方法，會得到不同形式的插值多項式，但它們之間可以相互轉(zhuǎn)化，本質(zhì)相同，當(dāng)然誤差也一樣。2.2、 n +1組節(jié)點只能確定一個不超過n次的多項式，若>n次，如設(shè)為n+1(x，則有n+2有待定參數(shù)a0,a1,an, an+1需確定，而n +1個組節(jié)點，只構(gòu)成n +1個插值條 件，即構(gòu)成n+1個方程，只能確定n+1個變量的方程組。2.3、上述證明是構(gòu)造性的（給出解決問題的方法）即 以通過解線性方程組來確定插值多項式，但這種

4、方法的計算量偏大，計算步驟較多，容易使舍入誤差增大。因此實際計算中需要用其它方式進行故不能用解方程組的方法獲得插值多項式。我們利用牛頓插值、哈密爾特插值、分段插值、樣條插值的方法可以有效解決n較大，方程組較多的繁瑣的嚴重病態(tài)。3、插值方法的理論基礎(chǔ)3.1、牛頓插值法由線性代數(shù)的只是可知，任何一個n次多項式都可以表示成：的線性組合。既可以把滿足插值條件的n次插值多項式寫成如下形式：其中，為待定系數(shù)。這種形式的插值多項式稱為牛頓插值多項式，記為，即 因此，牛頓插值多項式是插值多項式的另一種表示形式。設(shè)函數(shù)在等距節(jié)點處的函數(shù)值為已知，其中是正常數(shù)，稱步長。我們稱兩個相鄰點和處函數(shù)之差為函數(shù)在點處以為

5、步長的一階向前差分，記作，即，于是，函數(shù)在各節(jié)點處的一階差分依次為又稱一階差分的差分為二階差分。一般的，定義函數(shù)在點處的階差分為。在等距節(jié)點情況下，可以利用差分表示牛頓插值多項式的系數(shù)。事實上，由插值條件可得；再由插值條件可得；一般的，由插值條件可得。于是，滿足插值條件的插值多項式為3.2、哈密爾特插值若給出的插值條件有(m+1個則可造出m次插值多項式.建立Hermite插值多項式的方法仍可采用插值基函數(shù)和均差插值的方法，較常見的一類帶導(dǎo)數(shù)插值的問題，是在給出節(jié)點上已知要求，使及是關(guān)于點的(2n+1次Hermite插值基函數(shù)，它們?yōu)?2n+1次多項式且滿足條件上存在(2n+2階導(dǎo)數(shù)，則其插值余

6、項為與x有關(guān)，。3.3、分段插值所謂分段線性插值是通過點用折線斷連接起來逼近。設(shè)已知結(jié)點上的函數(shù)值，求一折線函數(shù)滿足：1、2、 3、在每個小區(qū)間上是線性函數(shù)，則稱為分段線性插值函數(shù)。模型1：由定義可知在每個小區(qū)間上可表示為 模型2：首先確定間隔序列，使得：第二個量是局部變量,其定義為：最后一個量是一階均差則插值函數(shù)可表示為3.4、樣條插值樣條函數(shù)的概念所謂樣條，本來是工程設(shè)計中使用的一種繪圖工具，它是富有彈性細木條或細金屬條。繪圖員利用它把一些已知點連接成一條光滑曲線（稱為樣條曲線），并使連接點處有連續(xù)的曲率。數(shù)學(xué)上將具有一定光滑性的分段多項式稱為樣條函數(shù)。具體的說，給定區(qū)間的一個劃分：如果函

7、數(shù)滿足：（i） 在每個小區(qū)間上是次多項式；（ii） 在上具有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。則稱為關(guān)于劃分的次樣條函數(shù)，其圖形稱為次樣條曲線。稱為樣條節(jié)點，稱為內(nèi)節(jié)點，稱為邊界點，這類樣條函數(shù)的全體記作，稱為次樣條函數(shù)空間。顯然，折線是一次樣條曲線。若，則是關(guān)于分劃的次多項式樣條函數(shù)。次多項式樣條函數(shù)的一般形式為：,其中 和均為任意常數(shù)，而在實際中最常用的是和3的情況，即為二次樣條函數(shù)和三次樣條函數(shù)。二次樣條函數(shù)：對于上的分劃，則其中 三次樣條函數(shù)：對于上的分劃 ，則其中。利用樣條函數(shù)進行插值，即取插值函數(shù)為樣條函數(shù)，稱為樣條插值。例如分段線性插值是一次樣條插值。、二次樣條函數(shù)插值首先，我們注意到 中含有 個特定

8、常數(shù)，故應(yīng)需要 個插值條件，因此，二次樣條插值問題可分為兩類：問題（1）：已知插值節(jié)點 和相應(yīng)的函數(shù)值 (i = 0,1, n 以及端點 （或 ）處的導(dǎo)數(shù)值 （或 ），求 使得 問題（2）：已知插值節(jié)點 和相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值 以及端點 （或 ）處的函數(shù)值 （或 ），求 使得 事實上，可以證明這兩類插值問題都是唯一可解的。對于問題（1），由條件（7）引入記號為位置向量，為已知向量。于是，問題轉(zhuǎn)化為求方程組的解的問題，即可得到二次樣條函數(shù)的表達式。、三次樣條函數(shù)插值由于中含有 個待定系數(shù)，故應(yīng)需要 個插值條件，已知插值節(jié)點和相應(yīng)的函數(shù)值 ,這里提供了個條件，還需要2個邊界條件。常用的三次樣條函數(shù)的邊界條

9、件有 3 種類型：。由這種邊界條件建立的樣條插值函數(shù)稱為的完備三次樣條插值函數(shù)。特別地，時，樣條曲線在端點處呈水平狀態(tài)。如果 不知道，我們可以要求與 在端點處近似相等。這時以為節(jié)點作一個三次 Newton 插值多項式 ，以 作一個三次 Newton 插值多項式，要求由這種邊界條件建立的三次樣條稱為 的 Lagrange 三次樣條插值函數(shù)。特別地時，稱為自然邊界條件。,(這里要求次條件成為周期條件。4、程序代碼及運行結(jié)果代碼：format long;way_in = input('請選擇輸入的內(nèi)容(1或2:n1、輸入為f(x表達式，區(qū)間a,b及其等分數(shù)n的值n2、輸入為f(x表達式和插值

10、點橫坐標(biāo)xi的值n'switch way_incase 1f = input('請輸入函數(shù)表達式:f(x = ', 's'a = input('請輸入?yún)^(qū)間左端值a：'b = input('請輸入?yún)^(qū)間右端值b：'n = input('請輸入?yún)^(qū)間等分值n：'np = input('請輸入插值函數(shù)在區(qū)間內(nèi)繪圖點數(shù)(默認輸入100：'for i=1:n+1 x(i = a + (b-a/n*(i-1;y(i,1 = eval(subs(f,'x(i','x'end f

11、or j=1:nfor k=j:ntemp=y(k+1,j-y(k,j;y(k+1,j+1=temp/(x(k+1-x(k+1-j ;endc(j=y(j,j;endc(j+1=y(j+1,j+1;for k=1:np-1xx(k= a + (b-a/np*k;yy(k = eval(subs(f,'xx(k','x'endfor k=1:np-1xs=xx(k;for i=1:n+1 if i=1s(i=c(i;elses(i=c(i;for j=1:i-1s(i=s(i*(xs-x(j;end endendNn(k=sum(s;endway_out = in

12、put('請選擇要繪出的曲線(1、2或3：n1、同時輸出原始曲線f(x和插值曲線n2、只輸出插值曲線n3、只輸出原始曲線n'switch way_outcase 1figure;plot(xx,yy,'r'grid on;hold on;plot(xx,Nn,'b'legend('原始曲線f(x','插值曲線N(x'title('牛頓插值'case 2figure;plot(xx,Nn,'m'legend('插值曲線N(x'title('牛頓插值'ca

13、se 3figure;plot(xx,yy,'g'legend('原始曲線f(x'title('牛頓插值'otherwiseerrordlg('請正確選擇，輸入只能為1、2或者3！','提示','on'endcase 2f = input('請輸入函數(shù)表達式:f(x = ', 's'xb = input('請輸入插值節(jié)點的橫坐標(biāo)x:','s'x = sscanf(xb,'%f'disp('x0,x1,.,xi分別

14、為：'disp(x;n = size(x,1 - 1;if n<2errordlg('請至少輸入3個xi的值','提示','on'return;endnp = input('請輸入插值函數(shù)在區(qū)間內(nèi)繪圖點數(shù)(默認輸入100：'a = x(1;b = x(n+1; for i=1:n+1 y(i,1 = eval(subs(f,'x(i','x'end for j=1:nfor k=j:ntemp=y(k+1,j-y(k,j;y(k+1,j+1=temp/(x(k+1-x(k+1-j ;e

15、ndc(j=y(j,j;endc(j+1=y(j+1,j+1; for k=1:np-1xx(k = a + (b-a/np*k;yy(k = eval(subs(f,'xx(k','x'end for k=1:np-1xs=xx(k;for i=1:n+1 if i=1s(i=c(i;elses(i=c(i;for j=1:i-1s(i=s(i*(xs-x(j;end endendNn(k=sum(s;endway_out = input('請選擇要繪出的曲線(1、2或3：n1、同時輸出原始曲線f(x和插值曲線n2、只輸出插值曲線n3、只輸出原始曲線n

16、'switch way_outcase 1figure;plot(xx,yy,'r'grid on;hold on;plot(xx,Nn,'b'legend('原始曲線f(x','插值曲線N(x'title('牛頓插值'case 2figure;plot(xx,Nn,'m'legend('插值曲線N(x'title('牛頓插值'case 3figure;plot(xx,yy,'g'legend('原始曲線f(x'title(&#

17、39;牛頓插值'otherwiseerrordlg('請正確選擇，輸入只能為1、2或者3！','提示','on'end otherwiseerrordlg('請正確選擇，輸入只能為1或2！','提示','on'end牛頓插值代碼的運行結(jié)果：已知，n=5時：n=10時：n=20時：4.2、哈密爾特插值代碼syms xy=x2;t=1 3 -8 6 -4;yt=subs(y,t;dy=subs('x*2',t;z1=herm(t,yt,dyx=9 1025 75;z2=herm(

18、t,yt,dy,xezplot(z1,grid onhold onxc=-5.3 2.4 -4.2 -1.8 3.4;z3=herm2(t,yt,dy,xcplot(xc,z3,'o'clear syms xp=sin(x*x2;q=diff(p;figure(2 ezplot(phold ont=-3:3;y=subs(p,t;dy=subs(q,t;x0=-5.1 -3.2 -1.4 1.6 5.3;chazhi=herm2(t,y,dy,x0zhen=subs(p,x0wucha=chazhi-zhenplot(x0,chazhi,'*'gridfunct

19、ion f = Herm(x,y,dy,x0syms s;f=0.0;n=length(x;for i=1:nla=1;lp=0.0;for j=1:nif (j=ila=la*(s-x(j/(x(i-x(j;lp=lp+1/(x(i-x(j;endendtemp1=1-2*(s-x(i*lp;temp2=y(i*temp1*la2; temp3=dy(i*(s-x(i*la2;f=f+temp2+temp3; endf=simplify(f;if(nargin=3f=subs(f,s,'x'f=vpa(f,4; endif(nargin=4f=subs(f,s,x0;endf

20、unction f = Herm2(x,y,dy,tn=length(x;m=length(t;for k=1:m g(k=0.0;for i=1:nla=1;lp=0.0;for j=1:nif (j=ila=la*(t(k-x(j/(x(i-x(j;lp=lp+1/(x(i-x(j;endendtemp1=1-2*(t(k-x(i*lp;temp2=y(i*temp1*la2; temp3=dy(i*(t(k-x(i*la2;g(k=g(k+temp2+temp3; endendf=g;代碼的運行結(jié)果：z1 =x2z2 =81 100625 5625z3 =28.0900000000000

21、1 5.76000000000000 17.64000000000000 3.24000000000000 11.56000000000000chazhi =zhen =wucha =1.44425870495063 0.00002239427966 0.00000007258412 -0.00000011894419 -2.84222223656165 、分段插值代碼function y = f(xy = 1./(1+25*x.2;分段差值的主函數(shù)：function y = div_linear(x0,y0,x,n%for j = 1:length(xfor i = 1:n-1if (x &

22、gt;= x0(i && (x <= x0(i+1y = (x - x0(i+1/(x0(i - x0(i+1*y0(i + ( x - x0(i/(x0(i+1 - x0(i*y0(i+1;elsecontinue;endend%end測試函數(shù)：n = input('輸入n ='x0 = linspace( -5,5,n;for x = -1:0.001:1y = div_linear(x0,f(x0,x,n;grid on;plot(x,y,'r'hold on;plot(x,f(x,'b'end4.3.2、分段插值代碼

23、的運行結(jié)果：輸入n =5 輸入n =100 代碼>> x=2.5 3.2 4.1 4.8 5.7x =2.5000 3.2000 4.1000 4.8000 5.7000>> y=5.0 5.8 6.3 5.6 7.2y =5.0000 5.8000 6.3000 5.6000 7.2000>> p1=spline(x,y;>> x1=2.5:0.1:5.7;>> y1=ppval(p1,x1;>> plot(x,y,'ro',x1,y1,'b:'>> p2=csape(x,y,'complete',1