必做的立體幾何綜合題

1、輪復(fù)習(xí)必做的立體幾何綜合題1、如圖，在四棱錐P _ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱 PA _ 底面 ABCD, AB =、3 , BC = 1 , PA =2 ,E為PD的中點(diǎn)。(I)求直線 AC與PB所成角的余弦值；(H)在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使NE _面PAC , 并求出點(diǎn)N到AB和AP的距離。解：(I)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 A,B,C,D,P,E 的坐標(biāo)為 A(0,0,0)、B(3,0,0)、C(、. 3,1,0)、D(0,1,0)、1P(0,0, 2)、E(0, 2,1),fjl從而 AC =( .3,1,0),PB =( .3,0,-2).設(shè)AC與PB的夾角為. A

2、C PB cosI AC | 1 PB |二，則33.72、714 AC與PB所成角的余弦值為3.7。14故可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(H)由于 N點(diǎn)在側(cè)面PAB內(nèi)，NE =(-x,f,1 -z)，由 NE _ 面 PAC 可得,(x,0, z)，則NE AP =0,NE AC =0.(_x,l,1 -z) (0,0,2) =0,z_1 =0,2化簡(jiǎn)得1l:v 3x +(x,Z)(.3,1,0) =0.10.2、3(,0,1)，從而 N62、如圖所示的多面體是由底面為ABCD即N點(diǎn)的坐標(biāo)為1,f。的長(zhǎng)方體被截面 AEC1F所截面而得到的，其中點(diǎn)到AB和AP的距離分別為AB =4,BC =2,CG =3,B

3、E =1。(I)求BF的長(zhǎng)；(n)求點(diǎn)C到平面AEC1F的距離。由AF得吝0得 n aF =0,即4y +1 =0,2x +2 =0,x = 1,_ 1y4A(2,0,0), C(0,4,0), E(2,4,1),G(0,4,3)設(shè) F(0,0, z)AEGF為平行四邊形,由AEGF為平行四邊形，得,(-2,0, z) =(-2,0,2),z 2. F (0,0,2).EF=(-2,42).于是|BF |=2/6,即BF的長(zhǎng)為2-6(II )設(shè)ni為平面AEGF的法向量，顯然ni不垂直于平面ADF，故可設(shè)ni =(x, y,1) 由 q 仝V°,得 0 x 4 y “0_2xx+0x

4、 y + 2=0，則4. 3333又CCi =(0,0,3),設(shè)CCi與ni的夾角為:- CCi ni3cos-ICCil mi 3 v i iV I6 C到平面AECiF的距離為4、334.33d =| CCi | cos - - 333 iiD是側(cè)棱CG的中點(diǎn)，直線AD3、如圖，已知正三棱柱 ABC AIBiCi的底面邊長(zhǎng)是2 與側(cè)面BB,GC所成的角為45 .(I)求此正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)；(n) 求二面角A - BD -C的大??；(川)求點(diǎn)C到平面ABD的距離.Ci解：(I)設(shè)正三棱柱 ABC AIBiCi的側(cè)棱長(zhǎng)為ABC是正三角形， AE BC .又底面ABC 側(cè)面BB1CiC，且交線為

5、BC . -AE 側(cè)面 BBGC .連ED，則直線AD與側(cè)面BBGC所成的角為.ADE二45 .在 Rt. ：AED 中,.此正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為 2 2 注：也可用向量法求側(cè)棱長(zhǎng).(H)解法1 ：過(guò)E作EF _ BD于F，連AF , - AE _側(cè)面 BBQjC, AF _ BD . AFE為二面角A - BD -C的平面角.在 Rt. ：BEF 中，EF =BEsin. EBF，又BE =1,sin .EBF=CD ：-=23 ,. EF =二.BD22 +（72）233又 AE3,ae.在 Rt AEF 中，tan . AFE3 .EF故二面角 A - BD -C的大小為arctan3 .

6、解法2:（向量法，見后）（川）解法1 ：由（H）可知，BD _平面AEF ,.平面AEF _平面ABD ,且交線為 AF , .過(guò)E作EG _ AF于G，貝U EG _平面ABD .在 Rt AEF 中，EG 二 AE EF AF3010后733（閭2 （ ：）2/ E為BC中點(diǎn)，.點(diǎn)C到平面ABD的距離為2EG2 30,易得平面ABD -10 解法2:(思路)取AB中點(diǎn)H璉CH和DH，由(A C , DA DB平面CHD，且交線為 DH 過(guò)點(diǎn)C作Cl _ DH于I，則CI的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面ABD的 距離.(思路)等體積變換：由VcbD (向量法，見后)、(川)的向量解法：-VA -BCD 可求

7、.解法3:解法4:題(n)(n)解法2:如圖，建立空間直角坐標(biāo)系o -xyz.則 A(0,0,、.,B(0, -1,0), C(0,1,0), D(= 2,1,0) . a、 設(shè) n1 =(x, y,z)為平面ABD的法向量.I y= -逅z卜：2x - y 、3z = 0取 f =(- -6,- -3,1).X又平面BCD的一個(gè)法向量由n1 AB"，得AD 二 0cos : n 1, n2 二nr n2（麗2n2 = （0,0,1）.二（-6-' 3,1） （0,0,1）1（- 6）2（- 3）A1BoC7分 10y2 1210結(jié)合圖形可知，二面角 A - BD - C的大

8、小為arccos10 .（川）解法 4:由（n）解法 2, q =（-/6,-、3,1）, CA = （0,-1,、. 3）.點(diǎn)C到平面ABD的距離d工cA nn1(0,-1, .3) (-.6,-.3,1).(-6)2 (- 3)22.301016. 一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，其中正視圖和側(cè)視 圖是腰長(zhǎng)為6的兩個(gè)全等的等腰直角三角形 .（I）請(qǐng)畫出該幾何體的直觀圖，并求出它的體積；（n）用多少個(gè)這樣的幾何體可以拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體 ABCD- ABiCD?如何組拼？試證明你的結(jié)論;側(cè)視圖（川）在（n）的情形下 ，設(shè)正方體 ABCAiBCD 的棱CC的中點(diǎn)為E,求平面ABE與平面ABC

9、所成二面 角的余弦值正視圖解：（I）該幾何體的直觀圖如圖 1所示，它是有一條 側(cè)棱垂直于底面的四棱錐其中底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的 正方形，高為CC=6,故所求體積是V 6?6 = 723（n）依題意，正方體的體積是原四棱錐體積的3倍，故用3個(gè)這樣的四棱錐可以拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體,其拼法如圖2 所示.證明：面ABCD面ABBA、面AADiD為全等的 正方形，于是Vc 1 4BCD1 ABB1 A| 二 Vc1 AA1D1D 故所拼圖形成立（川）方法一：設(shè) BE, BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) G 連結(jié)GA在底面 ABC內(nèi)作BHL AG 垂足為H,連結(jié)HB,則BH丄AQ 故/ B1HB為平面 ABE與平面ABC所成二面角或其補(bǔ)角的平面角 在 Rt ABG中 , AG = ¥180,貝UBH6 12180=¥，= JBH 2 +BB,518、5 'Hb22COSNBB =-,故平面ABE與平面ABC所成二面角的余弦值為土一 -HB1 33方法二：以C為原點(diǎn)，CD CB CC所在直線分別為 x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系（如圖3）, 正方體棱長(zhǎng)為 6,貝U E （0 , 0 , 3） , B （ 0 , 6 , 6）, A （6 , 6 , 0） B1設(shè)向量n= (x , y , z),滿足n丄EB1