附加題速成教材2

1、高三理科班數(shù)學(xué)附加題速成教材（一）基礎(chǔ)知識(shí) 參數(shù)極坐標(biāo)1.極坐標(biāo)定義：M是平面上一點(diǎn)，表示OM的長度，是，則有序?qū)崝?shù)實(shí)數(shù)對(duì),叫極徑，叫極角；一般地，。2.常見的曲線的極坐標(biāo)方程（1）直線過點(diǎn)M,傾斜角為常見的等量關(guān)系：正弦定理，；（2）圓心P半徑為R的極坐標(biāo)方程的等量關(guān)系：勾股定理或余弦定理；3.參數(shù)方程：（1）圓的參數(shù)方程： （2）橢圓的參數(shù)方程：（3）直線過點(diǎn)M,傾斜角為的參數(shù)方程：即， 即注：，據(jù)銳角三角函數(shù)定義， 的幾何意義是有向線段的數(shù)量；如：將參數(shù)方程為參數(shù)化為普通方程為 將代入即可，但是；如：直線為參數(shù)被圓截得的弦長為_ 直線為，弦長.4. 極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化公式： 或，的象限

2、由點(diǎn)(x,y)所在象限確定.（1）它們互化的條件則是：極點(diǎn)與原點(diǎn)重合，極軸與x軸正半軸重合. （2）將點(diǎn)變成直角坐標(biāo)，也可以根據(jù)幾何意義和三角函數(shù)的定義獲得。5. 極坐標(biāo)的幾個(gè)注意點(diǎn)：（1）極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化的必要條件是具有共同的坐標(biāo)原點(diǎn)(極點(diǎn)) 如：已知圓的參數(shù)方程為 （為參數(shù)），若是圓與軸正半軸的交點(diǎn)， 以圓心為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過點(diǎn)的圓的切線的極坐標(biāo)方程。 答案：（3）直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)一般不要混合使用：如：已知某曲線的極坐標(biāo)方程為。 （1）將上述曲線方程化為普通方程； （2）若點(diǎn)是該曲線上任意點(diǎn)，求的取值范圍。 （二）基本計(jì)算1.求點(diǎn)的極坐標(biāo)：有序?qū)崝?shù)實(shí)數(shù)對(duì),叫極徑

3、，叫極角； 如：點(diǎn)的直角坐標(biāo)是，則點(diǎn)的極坐標(biāo)為 提示：都是點(diǎn)的極坐標(biāo).2. 求曲線軌跡的方程步驟： （1）建立坐標(biāo)系；（2）在曲線上取一點(diǎn)P；（3）寫出等式； （4）根據(jù)幾何意義用表示上述等式，并化簡(jiǎn)（注意：）；（5）驗(yàn)證。 如：長為的線段，其端點(diǎn)在軸和軸正方向上滑動(dòng)，從原點(diǎn)作這條線段的垂線，垂足為， 求點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程（軸為極軸），再化為直角坐標(biāo)方程.解：設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，則，且， ，點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程為.由可得，其直角坐標(biāo)方程為.3.求軌跡方程的常用方法：直接法：直接通過建立、之間的關(guān)系，構(gòu)成,是求軌跡最基本的方法.待定系數(shù)法：可先根據(jù)條件設(shè)所求曲線的方程,再由條件確定其待定系數(shù),代回

4、方程代入法(相關(guān)點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法). 如：從極點(diǎn)作圓的弦,求各弦中點(diǎn)的軌跡方程. 解:設(shè)所求曲線上的動(dòng)點(diǎn)的極坐標(biāo)為, 圓上的動(dòng)點(diǎn)的極坐標(biāo)為由題設(shè)可知, 將其代入圓的方程得:.定義法：如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)軌跡滿足某已知曲線定義,則可由曲線定義直接寫出方程.交軌法(參數(shù)法)：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到,也沒有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí),可考慮將、均用一中間變量(參數(shù))表示,得參數(shù)方程,再消去參數(shù)得普通方程.4.參數(shù)和極徑的幾何意義的運(yùn)用：表示OM的長度；幾何意義是有向線段的數(shù)量；如：已知過點(diǎn)的直線與軸正半軸、軸正半軸分別交于A B兩點(diǎn)，則AB最小值為 答案：提示：設(shè)傾斜角為，則或AB=， 則， 令， 所以， 注

5、意：本題可以取傾斜角的補(bǔ)角為 5.參數(shù)方程的應(yīng)用-求最值： 如：已知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，（1） 求的取值范圍；（2） 若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。答案（1）. （2） .如：在橢圓上找一點(diǎn)，使這一點(diǎn)到直線的距離的最小值.解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程為， 當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)所求點(diǎn)為.典型例題1O1和O2的極坐標(biāo)方程分別為（1）把O1和O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）求經(jīng)過O1，O2交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程解（1）O1的直角坐標(biāo)方程為；O2的直角坐標(biāo)方程為（2）2求直線被圓截得的弦長解 23在極坐標(biāo)系中，直線的方程為，求點(diǎn)到直線的距離解 2說明 設(shè)計(jì)極坐標(biāo)的問題，一般采取首先將極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)，得出結(jié)論后再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)4已知直線的參數(shù)方程：（為參數(shù)）和圓的極坐標(biāo)方程：（1）將直線的參數(shù)方程化為普通方程，C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）判斷直線和C的位置關(guān)系解（1）直線的普通方程為；C的直角坐標(biāo)方程為（2）直線和C相交5已知橢圓的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)，為其左，右焦點(diǎn)，直線的參數(shù)方程為（1）求直線l和曲線C的普通方程；（2）求點(diǎn)，到直線的距離之和.解（1）直線普通方程為；曲線的普通方程為 （2）6已知M橢圓（a>b>0）上在第一象限的點(diǎn)，A（a，0）和B（0，b）是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，O為原點(diǎn)，求四邊形MAOB的面積的最大值。解說明 重點(diǎn)掌握極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程