CahnHilliard方程的高精度數(shù)值方法

1、中國海洋大學(xué)碩士學(xué)位論文Cahn-Hilliard方程的高精度數(shù)值方法姓名：趙睿申請學(xué)位級別：碩士專業(yè)：計算數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：謝樹森20090601方程的高精度數(shù)值方法摘要方程是一類重要的四階非線性擴散方程，此類方程很難求得解析解，只能借助于數(shù)值方法來求它的近似解。此方程具有很強的非線性性質(zhì)，解對初值是敏感的，數(shù)值方法也不容易得到結(jié)果。本文主要討論方程的數(shù)值解法。主要內(nèi)容如下：我們首先在引言部分介紹了方程的應(yīng)用背景，總結(jié)了國內(nèi)外學(xué)者的研究工作現(xiàn)狀，簡要介紹了本文工作的主要思路，把理論分析所需要的基本知識進行了概述。正文部分，分為三章來分別研究方程和擴展的方程（方程組）初邊值問題的高精度方法。首先在

2、第二章對一維方程用樣條方法進行離散，建立解此方程的離散有限元格式，證明了此格式保有該方程的兩個重要性質(zhì)：總能量非增性和質(zhì)量守恒性。由引理證明在最大值范數(shù)意義下解是有界的，進而給出有限元解的穩(wěn)定性分析，得到誤差階是（）的范數(shù)誤差估計。第三章分別構(gòu)造了解方程兩層和三層緊差分格式，兩種格式同樣保有原方程的質(zhì)量守恒性質(zhì)，利用歸納假設(shè)的方法進行了穩(wěn)定性和收斂性分析，得到的近似解的離散范數(shù)（）階誤差估計式。第四章對描述相分離現(xiàn)象的另一種方程，也是方程的擴展形式方程組用樣條方法近似求解，并根據(jù)能量法對近似解進行了穩(wěn)定性和收斂性分析。關(guān)鍵詞：方程，樣條方法，緊差分格式，誤差分析，（，），（），一）方程的高精度

3、數(shù)值方法，：，獨創(chuàng)聲明本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進行的研究工作及取得的研究成果。據(jù)我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不包含未獲得或其他教育機構(gòu)的學(xué)位或證書使用過的材料。與我一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻均已在論文中作了明確的說明并表示謝意。學(xué)位論文作者簽名：叛唐簽字日期：碲歲月弗日學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，有權(quán)保留并向國家有關(guān)部門或機構(gòu)送交論文的復(fù)印件和磁盤，允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán)學(xué)?？梢詫W(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進行檢索，可以采用影印、縮印

4、或掃描等復(fù)制手段保存、匯編學(xué)位論文。（保密的學(xué)位論文在解密后適用本授權(quán)書）學(xué)位論文作者簽名：越詹導(dǎo)師簽字：確、緣叮搪簽字日期：如節(jié)年歲月）乒日簽字日期年，月印日學(xué)位論文作者畢業(yè)后去向：工作單位：電話：通訊地址：郵編：第章引言方程背景眾所周知，能求得精確解的微分方程為數(shù)不多。特別是偏微分方程定解問題，要求出它們的精確解是非常困難的。在這種情況下，求解微分方程的數(shù)值方法具有十分重要的實際意義。方法，有限差分法都是求解偏微分方程定解問題有效的數(shù)值方法。自從計算機問世以來，求解偏微分方程定解問題的數(shù)值方法取得了長足的發(fā)展，在數(shù)值分析中占有極其重要的地位。有限差分法因為其良好的性質(zhì)得到普遍的應(yīng)用，它能產(chǎn)

5、生稀疏陣，節(jié)約存儲，計算簡單。構(gòu)造高精度的差分格式一直是數(shù)值分析工作者努力的方向。高精度的緊差分方法不僅能節(jié)省計算量，而且能得到較精確的數(shù)值結(jié)果。方法作為一種求解偏微分方程定解問題的有力數(shù)值方法，是以變分原理為基礎(chǔ)的。其基本思想是：先將偏微分方程定解問題化成與之等價的變分問題，再用有限維空間來逼近變分問題中的無窮維空間，最后通過求解常微分方程組或代數(shù)方程組得到某種精度的近似解，其關(guān)鍵是逼近空間的構(gòu)造，根據(jù)逼近空間構(gòu)造方法的不同，方法常用的有兩種：一種是譜方法。所謂譜方法是建立在三角插值基礎(chǔ)上的配置方法。由于三角插值具有很好的逼近性質(zhì)，這使得譜方法成為一種高精度的數(shù)值方法。但是譜方法的應(yīng)用范圍受

6、到限制，主要反映在求解問題的邊值條件上面。另一種是有限元方法，它基于樣條函數(shù)提供的一種選取逼近空間的“局部基函數(shù)”或“分片多項式空間”技巧，這是二十世紀(jì)六十年代迅速發(fā)展起來的求解偏微分方程定解為題的一種有效的數(shù)值方法，在固體力學(xué)、流體力學(xué)、物理學(xué)和其它工程學(xué)科中得到了廣泛的應(yīng)用。方程是一類重要的四階非線性擴散方程，最初是由和于年在研究熱力學(xué)中兩種物質(zhì)（如合金、聚合物等等）之間相互擴散現(xiàn)象時提出的，后來在描述生物種群競爭與排斥現(xiàn)象，河床遷移過程】，固體表面上微滴的擴散等許多擴散現(xiàn)象的研究中也提出了同樣的數(shù)學(xué)模型。系統(tǒng)研究方程是從八十年代以后才開始的。由于方程具有很強的非線性性質(zhì)，構(gòu)造高效的數(shù)值方

7、法具有一定的方程的高精度數(shù)值方法難度。近年來關(guān)于該方程的數(shù)值方法研究受到了廣泛關(guān)注，對于該方程的數(shù)值方法已有豐富的研究，從中發(fā)現(xiàn)，建立保持能量非增及質(zhì)量不變的離散格式是數(shù)值方法的關(guān)鍵。如和等應(yīng)用協(xié)調(diào)有限元方法和隱式時間離散格式進行數(shù)值計算，在其全離散格式中，由于不存在泛函，其數(shù)值解的有界性估計不能建立。隨后和應(yīng)用非協(xié)調(diào)有限元方法對方程進行了數(shù)值研究。，和等利用方程的混合形式，給出了一個半離散格式，此格式保持了方程所具有的能量非增及質(zhì)量守恒性質(zhì)。和，張鐵討論了空間半離散和全離散的有限元方法，而且在光滑初值和非光滑初值的條件下給出了誤差的最優(yōu)階。和引入了一維協(xié)調(diào)有限元，并證明了如果初值仳（，）屬于

8、磁三，（），厶，那么方程就會有唯一解亂（，）日，（，丁）。和討論了一維方程的問題，利用混合形式，建立了半離散和全離散格式，并證明此格式保持能量非增性質(zhì)。建立了一個保持能量非增和質(zhì)量不變性質(zhì)的差分格式。葉，程等利用譜方法、配點法對一維方程進行了研究，應(yīng)用混合有限元法研究了高維方程。，將方法發(fā)展到方程上。，和研究了方程解的穩(wěn)定性。提出了一個線性的有限差分格式，并證明了此格式有唯一解且是二階收斂的。其它關(guān)于方程的研究見文獻本文的具體內(nèi)容如下：研究一維的方程家蓐等，（吼），籌；亂轡，應(yīng)用具有較好光滑性的三次樣條插值函數(shù)對方程進行離散近似；再對方程中的時間變量進行離散。這樣做的原因是：樣條有限元適合于各

9、種邊界條件，對邊界條件作為約束條件的影響極微，所使用的三次樣條有限元空間維數(shù)為（為剖分子空間的個數(shù)），而一般逐段三次多項式有限元空間為維，且三次樣條內(nèi)插式為儼函數(shù)比三次內(nèi)插（函數(shù)）更光滑。第三章分別采用了兩層和三層高精度的差分格式對上述方程進行離散，對差分格式的性質(zhì)進行了分析，用歸納假設(shè)的方法給出了穩(wěn)定性和收斂性估計。第四章研究方程的推廣形式方程組的樣條方隊方程的高精度數(shù)值方法法，進行了理論分析。預(yù)備知識空間（妒空間）設(shè)船為一有界區(qū)域，在上可測，且定義川（）。，的函數(shù)（）全體為汐（），如果。，定義范數(shù)馴）（）如）；，則汐（）是一個空間。如果。，定義范數(shù)，（）。（）：。（）（）則也構(gòu)成一個空間，

10、稱它為本性有界函數(shù)空間，相應(yīng)的函數(shù)稱為本性有界函數(shù)。定義（空間）設(shè)為非負整數(shù)，。，記，（）正二（），），并賦予范數(shù)私”巾（）；，：，。，訓(xùn)溉脅蚣其中儼缸表示及階廣義導(dǎo)數(shù)，（，），并記。這樣得到的線性賦范空間護（）稱為空間。利用（）空間的完備性可推得，（）的完備性，特別地，當(dāng)時，還可引進內(nèi)積（，）（滬，滬），方程的高精度數(shù)值方法其中（，）厶（）（）為（）中的內(nèi)積。不難驗證它構(gòu)成一個內(nèi)積空間，從而也是一個空間，一般記為（）當(dāng)時，拶（）汐（）。在，（）中還可以引進半范數(shù)。，（三“驢。，）；，。嵌入定理是空間中十分重要的理論，這里只簡單地介紹幾個的主要結(jié)果。設(shè)玩，凰是兩個線性賦范空間，它們的范數(shù)分別是

11、和”如若他們滿足：。凰日，。存在常數(shù)，使得脅耽風(fēng)，研成立則稱空間皿嵌入到空間凰，記為日凰若除了。一。外，嵌入還滿足。恒等算子：日是緊的，即它將研中的有界集變?yōu)榛酥械木o集，則稱這嵌入是緊的，記為日二日定理（一維情形）設(shè)（，）酞為有界區(qū)間，若亂巾（，），。，則存在一個在，】上連續(xù)且與牡幾乎處處相等的函數(shù)，仍記為，使得亂勰“（）其中是與亂無關(guān)的常數(shù)，即（，）二司另外，當(dāng)；時有：，（）（與【，按嵌入算子定義，如下結(jié)果是顯然的，（，）哪（儼，（，）七，（皿隊方程的高精度數(shù)值方法幾個常用不等式引理（連續(xù)形式的不等式）設(shè)妒（芒）和（）為，卅上的非負連續(xù)函數(shù)，且砂（）在【，刁上可微，若存在常數(shù)，使得對任意（，

12、），有咖（）（亡）（），或等價地砂（）（。）（?。ǘ。瑒t有（）?？Вā＃ǘ。ǎ嵊?。，明引理（離散形式的不等式）設(shè)為非負整數(shù)，）為離散函一數(shù)，滿足不等式口咖，七，七，正其中，為常數(shù)，若。墅咖則有（），仇，后，引理【不等式）設(shè)是時甲的有界區(qū)域，。，則（）若仉吉，上川如（佗）上如，（約若滿足局部條件，（），。則上仳一亂如（佗，）如，其中一高上毗引理（不等式）和為正實數(shù)，且；則有口一一，特別地，當(dāng)時，上述不等式也稱為不等式。設(shè)，在上述不等式中用和分別代替和，可得引理（帶的不等式）設(shè)和為正實數(shù)，且三百，則有一特別地，當(dāng)時有口三“去，稱它為帶的不等式。引理（不等式）設(shè)，且；，若，（），（），則，

13、（），且上抓，夕刮出（上叭圳如）坳（上叭刪如）引理（不等式）設(shè)。：，汐（），則，十（），且，夕，（）廠，（）夕，（）引理（不等式）設(shè)，（），則（六）：（）吲）樣條有關(guān)性質(zhì)樣條曲線方程定義為：（）只北刖，方程的高精度數(shù)值方法其中，只（，）是控制多邊形的頂點，批，七（亡），佗稱為后階（次）樣條基函數(shù)，其中每一個稱為樣條，它是一個稱為節(jié)點矢量，即非遞減的參數(shù)序列：所決定的后階分段多項式，也即為七階（七一次）多項式樣條。下面簡單介紹它的有關(guān)性質(zhì)。（）局部性由于樣條的局部性，尼階樣條曲線上參數(shù)為，】的一點（）至多與七個控制頂點弓一凳，）有關(guān)，與其他控制頂點無關(guān)；移動該曲線的第個控制頂點至多影響到定義在區(qū)

14、間（，）上那部分曲線的形狀，對曲線的其余部分不發(fā)生影響。（）連續(xù)性（）在重節(jié)點屯（七扎）處的連續(xù)階不低于七一一，整條曲線（）的連續(xù)階不低于七一二一，其中表示位于區(qū)間（“一，）內(nèi)的節(jié)點的最大重數(shù)。（）凸包性（）在區(qū)間，如十），七一上的部分位于后個點只一七十，最的凸包內(nèi)，整個曲線則位于各凸包的并集之內(nèi)。（）分段參數(shù)多項式（）在每一個區(qū)間藝件），七一扎上都是次數(shù)不高于七一的參數(shù)的多項式，（）是參數(shù)的七一分段多項式。（）導(dǎo)數(shù)公式由樣條基的微分差分公式，有似）（壹只刖）妻只詘（）（七一。卅，【一，（）幾何不變性）樣條曲線的形狀和位置與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)。：第章樣條格式考慮方程的如下初邊值問題：豢：等等，（

15、瓦礤瓦，氕，。，（）（）（）（）（）魯叫州象，讓（，）蜘（），豢：裳：，歷瓦蕊。：。：孬，一瓦弘瓦否其中系數(shù)，口和都是常數(shù)并且，。方程中牡（，）代表兩種混合物中的一種成分的分布函數(shù)。方程是年和在研究一個叫做旋節(jié)線分解的體相分離現(xiàn)象時提出的。當(dāng)一個包含著兩種到三種成分的均質(zhì)系統(tǒng)從較高的溫度迅速冷卻一個臨界溫度時，相分離現(xiàn)象就發(fā)生了。函數(shù)表示局部自由能稱為自由能。函數(shù)與魯有以下關(guān)系啦一（啦）和（出一）礦（）從而很容易得到丟互（賽）（）本章對上述初邊值問題建立一個全離散三次樣條逼近格式，證明近似解滿足質(zhì)量守恒和總能量遞減的性質(zhì)，進而給出近似解的穩(wěn)定性和收斂階估計。用日（，）表示通常意義下的空間，相應(yīng)

16、的范數(shù)為糾，日。（，）（，），相應(yīng)的內(nèi)積和范數(shù)分別記為（。，）和”。記贍（，），（）（）問題（），（，）的等價變分問題是：求（亡）（，明日芻，滿足（）（籍，），磁，（）也（），其中毗鏡，磬，：，。護：，讓（，護）。為了能得到姿（一：）樣條插值近似解，我們向兩邊擴充兩個點一和十。這樣尋次樣條基函數(shù)（），一，可表示為，一，】薩）嘗川羔芝，眥，嘉。擴爐（）（）（一玉）陋一，。！優(yōu)者設(shè)缸方程的全局三次樣條近似解可表示為十【，（，）島（）西（），其中如（）是關(guān)于時間變量的函數(shù)，滿足（）（）（）如一靠如，要（）去（一一如巧），方程的高精度數(shù)值方法利用邊界條件（，）釷（己，），并記仍，一，妒（）（），妒一（

17、）（），則近似解（）（，亡）傷（）島（）令妒（），）是贍的有限維子空間，顯然贍記僥瀘可，時§學(xué)問題（）的格式為：求，滿足妒（鏟觸），氓其中仁圳（伊（扣；噶方程（）的矩陣形式如下（）州。（）擴，其中（）（）擴（囂，曰，婚，），（七），（），（啄），（啄）七（妒忌，町），七（妒七），（妒），啄（）§妒七，（叻）。），勺七（妒七），（）實際計算上述（）（）陣由、單元矩陣疊加得到。隊方程的高精度數(shù)值方法穩(wěn)定性證明本部分主要證明由格式（）給出的解在日和范數(shù)下是有界的，即上述格式是穩(wěn)定的。證明包括兩部分。守恒性質(zhì)我們知道方程滿足質(zhì)量守恒性和總能量非增性，即如¨、；“如；（）（

18、。）如一廣厶一廠上一出廠厶卜囪我們將讓明袼式保待上述蔭個性質(zhì)質(zhì)量守恒性格式（）中取詵即得。二（矽如一工）二寫筍如一，那么：質(zhì)量守恒性質(zhì)得證?？偰芰窟f減性由（）圭（）互（）一去（，），則壺（）如擊知州坩，（籌）¨如一忐妒鄧州州坩吼伊抄（籌）¨如由及（）可知，（簣），），（簣）址）所以腳如一（如（秘；）如，即（礦）如（）如（）穩(wěn)定性證明定理刈五麗去刁巧（擴）如五三）方程的高精度數(shù)值方法讓明：汪思到，田個寺虱及，得三（礦。）如（礦）如丟，丟，一去，）如一（）一五；一三口（）如（一，一互）（）（礦）如一互血（鴨）咄一蘭各川妒憶。衙驪麗麗。面推論由定理及不等式一何，匾得到下誤差估計由

19、近似解的上述有界性估計及樣條插值的逼近性質(zhì)，并利用橢圓投影等技巧，本部分將對格式（），（）給出的數(shù)值解進行誤差估計。本節(jié)中的：，表示廣義常數(shù)，在不同位置有所不同。定義雙線性泛函（，）（。，王）（，），月暑顯然雙線性泛函是有界的。由邊界條件札。（）（）可知如）（：（）幽）外）似）同理設(shè)壚（咄）幽）郇二。）小刪。如方程的高精度數(shù)值方法即產(chǎn)（三一）“：（）（）（一）（），（）遽（）（三一）（一）仳拓（）上面兩式相加得三（）。，嘶工量工（一咖如由此可知陘勘北所以。（鄴）一“（亂扣圳）似，一百，（珊訓(xùn)），即此雙線性泛函滿足強制性條件（鏗，牡）毯；，其中一§，一罄，）為了估計誤差，定義一個橢圓投

20、影如，滿足：磁一，（，）（），壇，（）設(shè)亂（，）是方程（）的解，是方程（）的近似解。方程（）可以記為，（等）卅，）正，王，一乃，其中，死瓢壙（等）葉，（叫；礦方程的高精度數(shù)值方法根據(jù)籌的表達式，（）可化為（島礦，）一（越專，）（讓，）（牡）幾讓葉，）（冗，）一（正，口）方程（）可寫為（僥礦，）一互，（）（；，（）。）（）矽，（）船）（丑，（）一（衛(wèi)，）（）（）設(shè)礦一礦，。由的定義，很容易得到（，魄），（），（）兩式相減得到誤差方程如下（僥礦，慨）（鏟，魂）一（譬；，（）。）一瓠口；，（弼）盅）（“十，（）。）（口“，（）（牡）礦；一（）礦§，（）（死，）一（正，）（）由（）得（專，（

21、）（，），所以上式記為（反儼，）一（聰壹，（）（礦，（）￥）（目，（）。）一（，）一（“，）（五，魄）一（正，）（死，（），其中（札十§）一（十），記（十）（）；§設(shè)線性算子札囂，那么對于橢圓問題（）吼：乏小。，。，有且只有一個醒，并且有正則性估計引理存在一個與鐵無關(guān)的常數(shù)，使得（），磙方程的高精度數(shù)值方法證明：，其中（，）（一玩，）（，）（，一凰）一如訓(xùn)“吲，取一硫札，則讓一“證畢（矗亂）饑，亂只芻日缸。一滬（），七”曠一七（下）”、證明：取儼代入（）得儼一州一圳唰；（礦；僥）（竺齜（圳啦”譬）螄岫（譬）古嘲，蠢亡。去亡篚；，（）同理定理設(shè)“（，??；日）和分別是償矽和俾的

22、解，初值滿足則存在常數(shù)使得方程的高精度數(shù)值方法其中乃（亂）一（葉§）（）；一（亂）十；（亂）一（）；§（）互（礦十互一）§（礦“）（讓一）嶇亂）十§葉（§葉§）（口種¨護釧所以壓瓦（）式可記為（口釧：）代入（。），并?。簩?，則一刈（警一絲池釧（一百么）酬州一云圳，奠中杪；妒砒，訓(xùn)礬護“刪擊慨蜒等一訓(xùn)瞄托打，隅（，芻）一（）釧承壙（等）時吉臚（，丟）一讓；仳茁（，；）一五譬歸（，妻）一）葉卅§，下面估計丑右邊三項礦（，§）一亂；亂（吼腫§）一亂掣“廠酬掣一川。妣百（）”厶刪（）擾妒（，十丟）一（讓

23、）蚪；礦種亂（，如）一（，）時鏟（，十吾）礦§（仳）葉§亂（，；）（亂（，釁；）一亂§）仳§（，）牡）（仳（，喜）一亂§）：（）外妒（）一班掣門舭滬一（一虹百剮艫釧砒（§：擊圳脅）刪（警憫托一如），”滬臚亡妻”臚礦（亡喜”刨件；崦丁“亂川班）州州小舭知酬固，（），（），嬰努七七一鼉（）¨¨、所以由以上得到：由引理，（）得到由不等式及已知條件可知存在常數(shù)，使得定理證畢。方程的高精度數(shù)值方法圖：方程數(shù)值解（，一，）圖：方程數(shù)值解（一，（，）王方程的高精度數(shù)值方法圖：方程數(shù)值解（一，一，：）圖：離散格式的總能量方程的高精

24、度數(shù)值方法數(shù)值實驗本節(jié)通過數(shù)值實驗證明我們的格式是穩(wěn)定的并且給出合理的數(shù)值解。圖表明數(shù)值解對系數(shù)的變化是顯著的，這也符合】中方程對的解釋，口表示體相分離現(xiàn)象中的“界面能”。圖表示的數(shù)值結(jié)果在，和，下得到。初值由（，）（）（）（）（）給定。圖所示的數(shù)值結(jié)果和圖的各項系數(shù)及初值都相同，除了一。圖中的系數(shù)。系數(shù)口接近于表示“界面能”逐漸減少。本文中的數(shù)值實驗和【】中用有限差分法所得結(jié)果一致。但是】中為了得到穩(wěn)定解需要運行步，我們的格式只需運行步就可以得到穩(wěn)定解。圖表示離散的總能量，（）所用數(shù)值由圖中數(shù)據(jù)計算得來。從數(shù)值結(jié)果可以看到穩(wěn)定時的自由能是最小的。）（第章高精度差分格式本章仍然考慮一維方程：札

25、（寫，）也（），甓碚瓦（，（，三）冗，（）離望纛，其中瓦礎(chǔ)等：礎(chǔ)孬，十孬，其中常數(shù)，。（）為了便于表達，令伽籌，轡，碚，方（），（）可記為塑：口，。、伽礎(chǔ)讓，（）本章結(jié)構(gòu)如下：在第一部分中構(gòu)造出兩種緊的差分格式。在第二部分證明格式保有原方程的質(zhì)量守恒的性質(zhì)，第三部分證明格式的穩(wěn)定性和收斂性。首先定義一些本章常用記號砝（叼）：警，壙墮鞋（叼）墮嬰，離散內(nèi)積及范數(shù)定義如下（叼），。（”“）三九蚤吁哆丟¨危，（，），三叼方程的高精度數(shù)值方法差分格式的建立對求解區(qū)域，×，刀作網(wǎng)格剖分，取空間步長，時間方向步長為丁叫，巧，禮丁。記，如佗，定義網(wǎng)格函數(shù)哼（巧，如），扎由展式及定義的記號

26、：。孬，（巧，）西稃，（，）麗礤（巧，如）（，）西麗（巧，藝）麗礤）（），（）其中白，仍（一，）將上式上標(biāo)為竹和竹的兩個等式相加并除以，可得鯉笙：蘭：（巧，§）上么（巧，氣§）（麗（乩。蠹（奶勘）蠹（巧扎）（）÷面礤（一日一弦礤（麗，習(xí)）西利用（）中；（似一讓），硭吉嵋¨一孵怯一（礦）尹筆磋（嵋¨一喀怯一（礦）蘆）啊，（）其中（）（危），（礦）。：同理（仳時）（？）礦礦（）（？）（）篋蘭學(xué)：。（，死；）上么。（，），（）方程的高精度數(shù)值方法。（）（危）。把地代入上式，得鹺竺：（哼）。西。文，）。，由（），（）有（）哼一叼型型：鹺。艫一他釅一他酲

27、酲、一§，。（）（嵋一哼十一（哼）（嵋一耐§一（哼）磋鶯§，（）設(shè)叼是問題（）的近似解，并考慮初始條件及對時間的差分，由（），（）得到如下差分格式（）：（，筆磋）里！丟翌邊界條件為§，（）（）（，西一呀“一（呀）弼，鹺叼倒醴叼：，（）（）酲岬：硅町：同理可得到三層差分格式（）邊界條件為（，吲扒？叩華磋華（）（）一（）（，蠢髭）上礦：磋華，醴叼磚叼：，（）（）醴町畦町：利用格式（）需要知道初值，可由格式（）得到。方程的高精度數(shù)值方法證明守恒性質(zhì)本部分主要證明方程的質(zhì)量守恒性質(zhì)，即證：吁觸四五（）首先由離散分布求和公式可有下面兩式的化簡盟觸一巡垃觸十一一毋一

28、（力一劬）醴辦（力一易）醴乃）羔。一鯫）磋掣孚九，（刊磋學(xué)九，一觸由（）式得磋辦酲辦¨嚴(yán)擊蓬曠一；、。：等吁一、：厶鹺。塢產(chǎn)爐一心畦：隧卻島一羞（）即蘆蘆可知差分格式（）滿足質(zhì)量守恒。類似的，由（）式，得爭叼。九，、所以差分格式（）也滿足質(zhì)量守恒性質(zhì)。方程的高精度數(shù)值方法穩(wěn)定性和收斂性的證明本節(jié)中的常數(shù)艦，島在不同的地方有所不同。格式（）的穩(wěn)定性與收斂性證明本小節(jié)用歸納假設(shè)的方程法證明差分格式（）是穩(wěn)定且收斂的，收斂階是（釅十一）的。：設(shè)方程（）的解（，）在內(nèi)，是的有界連續(xù)函數(shù)，即存在常數(shù)使得仳（，工）×（，），（）設(shè)差分格式（）的解擴有界，且存在常數(shù)“，使得”（）引理設(shè)哼

29、（，釓）是定解問題！的解，則差分格式，的截斷誤差為礙（）引理設(shè)，是定義在上的網(wǎng)格函數(shù)，若滿足邊界條件（），即，一，則有下面式子成立觸則有下面式子成立酲吩忍一！砝砝吩危（）引理設(shè)，巧是定義在，上的網(wǎng)格函數(shù)，若滿足邊界條件（），（），！磋霹巧¨蘆磋鹺吩危（）定理設(shè)哼，叼分別是定解問題（）和差分格式，）的解，且?。ㄎ＃嬖谂c，無關(guān)的常數(shù)，使得讓“（）讓明：由引理知礙（?。?，努（學(xué)卜野黜銣礦沁鰳料礙，侶）、令髟喀一叼，（）一（），得誤差方程為其中霉（哼）§喀一（啄）¨§哆¨將（）與做內(nèi)積，及（），（），引理得到（州）一西慨：一刈），壺去（磋一鯉）一例”釧喊礦釧白驢郜，憷釧西?！埃ǎΓ?。吩，¨一（霹）計霹（嵋）哼¨一（喀）啄；（虧）：，螺一（啄）卅啄§（弓）：勺§互“（，矽）虧（茁）虧田假設(shè)（），（）知，（；十砉（）酲薔（）可寫為（）是與，”有關(guān)的常數(shù)。所以由（），不等式及逆估計去和胛）一“。一洲），杰面幾川一崍）一（：筆外刮鹺¨§卑箬磋時拈§乏導(dǎo)警（。）吾扣郜，隊方程的高精度