CahnHilliard方程的高精度數(shù)值方法

1、中國(guó)海洋大學(xué)碩士學(xué)位論文Cahn-Hilliard方程的高精度數(shù)值方法姓名：趙睿申請(qǐng)學(xué)位級(jí)別：碩士專業(yè)：計(jì)算數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：謝樹(shù)森20090601方程的高精度數(shù)值方法摘要方程是一類重要的四階非線性擴(kuò)散方程，此類方程很難求得解析解，只能借助于數(shù)值方法來(lái)求它的近似解。此方程具有很強(qiáng)的非線性性質(zhì)，解對(duì)初值是敏感的，數(shù)值方法也不容易得到結(jié)果。本文主要討論方程的數(shù)值解法。主要內(nèi)容如下：我們首先在引言部分介紹了方程的應(yīng)用背景，總結(jié)了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究工作現(xiàn)狀，簡(jiǎn)要介紹了本文工作的主要思路，把理論分析所需要的基本知識(shí)進(jìn)行了概述。正文部分，分為三章來(lái)分別研究方程和擴(kuò)展的方程（方程組）初邊值問(wèn)題的高精度方法。首先在

2、第二章對(duì)一維方程用樣條方法進(jìn)行離散，建立解此方程的離散有限元格式，證明了此格式保有該方程的兩個(gè)重要性質(zhì)：總能量非增性和質(zhì)量守恒性。由引理證明在最大值范數(shù)意義下解是有界的，進(jìn)而給出有限元解的穩(wěn)定性分析，得到誤差階是（）的范數(shù)誤差估計(jì)。第三章分別構(gòu)造了解方程兩層和三層緊差分格式，兩種格式同樣保有原方程的質(zhì)量守恒性質(zhì)，利用歸納假設(shè)的方法進(jìn)行了穩(wěn)定性和收斂性分析，得到的近似解的離散范數(shù)（）階誤差估計(jì)式。第四章對(duì)描述相分離現(xiàn)象的另一種方程，也是方程的擴(kuò)展形式方程組用樣條方法近似求解，并根據(jù)能量法對(duì)近似解進(jìn)行了穩(wěn)定性和收斂性分析。關(guān)鍵詞：方程，樣條方法，緊差分格式，誤差分析，（，），（），一）方程的高精度

3、數(shù)值方法，：，獨(dú)創(chuàng)聲明本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果。據(jù)我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的研究成果，也不包含未獲得或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書(shū)使用過(guò)的材料。與我一同工作的同志對(duì)本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說(shuō)明并表示謝意。學(xué)位論文作者簽名：叛唐簽字日期：碲歲月弗日學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書(shū)本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，有權(quán)保留并向國(guó)家有關(guān)部門(mén)或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和磁盤(pán)，允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán)學(xué)?？梢詫W(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印

4、或掃描等復(fù)制手段保存、匯編學(xué)位論文。（保密的學(xué)位論文在解密后適用本授權(quán)書(shū)）學(xué)位論文作者簽名：越詹導(dǎo)師簽字：確、緣叮搪簽字日期：如節(jié)年歲月）乒日簽字日期年，月印日學(xué)位論文作者畢業(yè)后去向：工作單位：電話：通訊地址：郵編：第章引言方程背景眾所周知，能求得精確解的微分方程為數(shù)不多。特別是偏微分方程定解問(wèn)題，要求出它們的精確解是非常困難的。在這種情況下，求解微分方程的數(shù)值方法具有十分重要的實(shí)際意義。方法，有限差分法都是求解偏微分方程定解問(wèn)題有效的數(shù)值方法。自從計(jì)算機(jī)問(wèn)世以來(lái)，求解偏微分方程定解問(wèn)題的數(shù)值方法取得了長(zhǎng)足的發(fā)展，在數(shù)值分析中占有極其重要的地位。有限差分法因?yàn)槠淞己玫男再|(zhì)得到普遍的應(yīng)用，它能產(chǎn)

5、生稀疏陣，節(jié)約存儲(chǔ)，計(jì)算簡(jiǎn)單。構(gòu)造高精度的差分格式一直是數(shù)值分析工作者努力的方向。高精度的緊差分方法不僅能節(jié)省計(jì)算量，而且能得到較精確的數(shù)值結(jié)果。方法作為一種求解偏微分方程定解問(wèn)題的有力數(shù)值方法，是以變分原理為基礎(chǔ)的。其基本思想是：先將偏微分方程定解問(wèn)題化成與之等價(jià)的變分問(wèn)題，再用有限維空間來(lái)逼近變分問(wèn)題中的無(wú)窮維空間，最后通過(guò)求解常微分方程組或代數(shù)方程組得到某種精度的近似解，其關(guān)鍵是逼近空間的構(gòu)造，根據(jù)逼近空間構(gòu)造方法的不同，方法常用的有兩種：一種是譜方法。所謂譜方法是建立在三角插值基礎(chǔ)上的配置方法。由于三角插值具有很好的逼近性質(zhì)，這使得譜方法成為一種高精度的數(shù)值方法。但是譜方法的應(yīng)用范圍受

6、到限制，主要反映在求解問(wèn)題的邊值條件上面。另一種是有限元方法，它基于樣條函數(shù)提供的一種選取逼近空間的“局部基函數(shù)”或“分片多項(xiàng)式空間”技巧，這是二十世紀(jì)六十年代迅速發(fā)展起來(lái)的求解偏微分方程定解為題的一種有效的數(shù)值方法，在固體力學(xué)、流體力學(xué)、物理學(xué)和其它工程學(xué)科中得到了廣泛的應(yīng)用。方程是一類重要的四階非線性擴(kuò)散方程，最初是由和于年在研究熱力學(xué)中兩種物質(zhì)（如合金、聚合物等等）之間相互擴(kuò)散現(xiàn)象時(shí)提出的，后來(lái)在描述生物種群競(jìng)爭(zhēng)與排斥現(xiàn)象，河床遷移過(guò)程】，固體表面上微滴的擴(kuò)散等許多擴(kuò)散現(xiàn)象的研究中也提出了同樣的數(shù)學(xué)模型。系統(tǒng)研究方程是從八十年代以后才開(kāi)始的。由于方程具有很強(qiáng)的非線性性質(zhì)，構(gòu)造高效的數(shù)值方

7、法具有一定的方程的高精度數(shù)值方法難度。近年來(lái)關(guān)于該方程的數(shù)值方法研究受到了廣泛關(guān)注，對(duì)于該方程的數(shù)值方法已有豐富的研究，從中發(fā)現(xiàn)，建立保持能量非增及質(zhì)量不變的離散格式是數(shù)值方法的關(guān)鍵。如和等應(yīng)用協(xié)調(diào)有限元方法和隱式時(shí)間離散格式進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，在其全離散格式中，由于不存在泛函，其數(shù)值解的有界性估計(jì)不能建立。隨后和應(yīng)用非協(xié)調(diào)有限元方法對(duì)方程進(jìn)行了數(shù)值研究。，和等利用方程的混合形式，給出了一個(gè)半離散格式，此格式保持了方程所具有的能量非增及質(zhì)量守恒性質(zhì)。和，張鐵討論了空間半離散和全離散的有限元方法，而且在光滑初值和非光滑初值的條件下給出了誤差的最優(yōu)階。和引入了一維協(xié)調(diào)有限元，并證明了如果初值仳（，）屬于

8、磁三，（），厶，那么方程就會(huì)有唯一解亂（，）日，（，?。?。和討論了一維方程的問(wèn)題，利用混合形式，建立了半離散和全離散格式，并證明此格式保持能量非增性質(zhì)。建立了一個(gè)保持能量非增和質(zhì)量不變性質(zhì)的差分格式。葉，程等利用譜方法、配點(diǎn)法對(duì)一維方程進(jìn)行了研究，應(yīng)用混合有限元法研究了高維方程。，將方法發(fā)展到方程上。，和研究了方程解的穩(wěn)定性。提出了一個(gè)線性的有限差分格式，并證明了此格式有唯一解且是二階收斂的。其它關(guān)于方程的研究見(jiàn)文獻(xiàn)本文的具體內(nèi)容如下：研究一維的方程家蓐等，（吼），籌；亂轡，應(yīng)用具有較好光滑性的三次樣條插值函數(shù)對(duì)方程進(jìn)行離散近似；再對(duì)方程中的時(shí)間變量進(jìn)行離散。這樣做的原因是：樣條有限元適合于各

9、種邊界條件，對(duì)邊界條件作為約束條件的影響極微，所使用的三次樣條有限元空間維數(shù)為（為剖分子空間的個(gè)數(shù)），而一般逐段三次多項(xiàng)式有限元空間為維，且三次樣條內(nèi)插式為儼函數(shù)比三次內(nèi)插（函數(shù)）更光滑。第三章分別采用了兩層和三層高精度的差分格式對(duì)上述方程進(jìn)行離散，對(duì)差分格式的性質(zhì)進(jìn)行了分析，用歸納假設(shè)的方法給出了穩(wěn)定性和收斂性估計(jì)。第四章研究方程的推廣形式方程組的樣條方隊(duì)方程的高精度數(shù)值方法法，進(jìn)行了理論分析。預(yù)備知識(shí)空間（妒空間）設(shè)船為一有界區(qū)域，在上可測(cè)，且定義川（）。，的函數(shù)（）全體為汐（），如果。，定義范數(shù)馴）（）如）；，則汐（）是一個(gè)空間。如果。，定義范數(shù)，（）。（）：。（）（）則也構(gòu)成一個(gè)空間，

10、稱它為本性有界函數(shù)空間，相應(yīng)的函數(shù)稱為本性有界函數(shù)。定義（空間）設(shè)為非負(fù)整數(shù)，。，記，（）正二（），），并賦予范數(shù)私”巾（）；，：，。，訓(xùn)溉脅蚣其中儼缸表示及階廣義導(dǎo)數(shù)，（，），并記。這樣得到的線性賦范空間護(hù)（）稱為空間。利用（）空間的完備性可推得，（）的完備性，特別地，當(dāng)時(shí)，還可引進(jìn)內(nèi)積（，）（滬，滬），方程的高精度數(shù)值方法其中（，）厶（）（）為（）中的內(nèi)積。不難驗(yàn)證它構(gòu)成一個(gè)內(nèi)積空間，從而也是一個(gè)空間，一般記為（）當(dāng)時(shí)，拶（）汐（）。在，（）中還可以引進(jìn)半范數(shù)。，（三“驢。，）；，。嵌入定理是空間中十分重要的理論，這里只簡(jiǎn)單地介紹幾個(gè)的主要結(jié)果。設(shè)玩，凰是兩個(gè)線性賦范空間，它們的范數(shù)分別是

11、和”如若他們滿足：?；巳眨?。存在常數(shù)，使得脅耽風(fēng)，研成立則稱空間皿嵌入到空間凰，記為日凰若除了。一。外，嵌入還滿足。恒等算子：日是緊的，即它將研中的有界集變?yōu)榛酥械木o集，則稱這嵌入是緊的，記為日二日定理（一維情形）設(shè)（，）酞為有界區(qū)間，若亂巾（，），。，則存在一個(gè)在，】上連續(xù)且與牡幾乎處處相等的函數(shù)，仍記為，使得亂勰“（）其中是與亂無(wú)關(guān)的常數(shù)，即（，）二司另外，當(dāng)；時(shí)有：，（）（與【，按嵌入算子定義，如下結(jié)果是顯然的，（，）哪（儼，（，）七，（皿隊(duì)方程的高精度數(shù)值方法幾個(gè)常用不等式引理（連續(xù)形式的不等式）設(shè)妒（芒）和（）為，卅上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且砂（）在【，刁上可微，若存在常數(shù)，使得對(duì)任意（，

12、），有咖（）（亡）（），或等價(jià)地砂（）（。）（?。ǘ。瑒t有（）?？В?。）（丁）（）撫右。，明引理（離散形式的不等式）設(shè)為非負(fù)整數(shù)，）為離散函一數(shù)，滿足不等式口咖，七，七，正其中，為常數(shù)，若。墅咖則有（），仇，后，引理【不等式）設(shè)是時(shí)甲的有界區(qū)域，。，則（）若仉吉，上川如（佗）上如，（約若滿足局部條件，（），。則上仳一亂如（佗，）如，其中一高上毗引理（不等式）和為正實(shí)數(shù)，且；則有口一一，特別地，當(dāng)時(shí)，上述不等式也稱為不等式。設(shè)，在上述不等式中用和分別代替和，可得引理（帶的不等式）設(shè)和為正實(shí)數(shù)，且三百，則有一特別地，當(dāng)時(shí)有口三“去，稱它為帶的不等式。引理（不等式）設(shè)，且；，若，（），（），則，

13、（），且上抓，夕刮出（上叭圳如）坳（上叭刪如）引理（不等式）設(shè)。：，汐（），則，十（），且，夕，（）廠，（）夕，（）引理（不等式）設(shè)，（），則（六）：（）吲）樣條有關(guān)性質(zhì)樣條曲線方程定義為：（）只北刖，方程的高精度數(shù)值方法其中，只（，）是控制多邊形的頂點(diǎn)，批，七（亡），佗稱為后階（次）樣條基函數(shù)，其中每一個(gè)稱為樣條，它是一個(gè)稱為節(jié)點(diǎn)矢量，即非遞減的參數(shù)序列：所決定的后階分段多項(xiàng)式，也即為七階（七一次）多項(xiàng)式樣條。下面簡(jiǎn)單介紹它的有關(guān)性質(zhì)。（）局部性由于樣條的局部性，尼階樣條曲線上參數(shù)為，】的一點(diǎn)（）至多與七個(gè)控制頂點(diǎn)弓一凳，）有關(guān)，與其他控制頂點(diǎn)無(wú)關(guān)；移動(dòng)該曲線的第個(gè)控制頂點(diǎn)至多影響到定義在區(qū)

14、間（，）上那部分曲線的形狀，對(duì)曲線的其余部分不發(fā)生影響。（）連續(xù)性（）在重節(jié)點(diǎn)屯（七扎）處的連續(xù)階不低于七一一，整條曲線（）的連續(xù)階不低于七一二一，其中表示位于區(qū)間（“一，）內(nèi)的節(jié)點(diǎn)的最大重?cái)?shù)。（）凸包性（）在區(qū)間，如十），七一上的部分位于后個(gè)點(diǎn)只一七十，最的凸包內(nèi)，整個(gè)曲線則位于各凸包的并集之內(nèi)。（）分段參數(shù)多項(xiàng)式（）在每一個(gè)區(qū)間藝件），七一扎上都是次數(shù)不高于七一的參數(shù)的多項(xiàng)式，（）是參數(shù)的七一分段多項(xiàng)式。（）導(dǎo)數(shù)公式由樣條基的微分差分公式，有似）（壹只刖）妻只詘（）（七一。卅，【一，（）幾何不變性）樣條曲線的形狀和位置與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)。：第章樣條格式考慮方程的如下初邊值問(wèn)題：豢：等等，（

15、瓦礤瓦，氕，。，（）（）（）（）（）魯叫州象，讓（，）蜘（），豢：裳：，歷瓦蕊。：。：孬，一瓦弘瓦否其中系數(shù)，口和都是常數(shù)并且，。方程中牡（，）代表兩種混合物中的一種成分的分布函數(shù)。方程是年和在研究一個(gè)叫做旋節(jié)線分解的體相分離現(xiàn)象時(shí)提出的。當(dāng)一個(gè)包含著兩種到三種成分的均質(zhì)系統(tǒng)從較高的溫度迅速冷卻一個(gè)臨界溫度時(shí)，相分離現(xiàn)象就發(fā)生了。函數(shù)表示局部自由能稱為自由能。函數(shù)與魯有以下關(guān)系啦一（啦）和（出一）礦（）從而很容易得到丟互（賽）（）本章對(duì)上述初邊值問(wèn)題建立一個(gè)全離散三次樣條逼近格式，證明近似解滿足質(zhì)量守恒和總能量遞減的性質(zhì)，進(jìn)而給出近似解的穩(wěn)定性和收斂階估計(jì)。用日（，）表示通常意義下的空間，相應(yīng)

16、的范數(shù)為糾，日。（，）（，），相應(yīng)的內(nèi)積和范數(shù)分別記為（。，）和”。記贍（，），（）（）問(wèn)題（），（，）的等價(jià)變分問(wèn)題是：求（亡）（，明日芻，滿足（）（籍，），磁，（）也（），其中毗鏡，磬，：，。護(hù)：，讓（，護(hù)）。為了能得到姿（一：）樣條插值近似解，我們向兩邊擴(kuò)充兩個(gè)點(diǎn)一和十。這樣尋次樣條基函數(shù)（），一，可表示為，一，】薩）嘗川羔芝，眥，嘉。擴(kuò)爐（）（）（一玉）陋一，。！優(yōu)者設(shè)缸方程的全局三次樣條近似解可表示為十【，（，）島（）西（），其中如（）是關(guān)于時(shí)間變量的函數(shù)，滿足（）（）（）如一靠如，要（）去（一一如巧），方程的高精度數(shù)值方法利用邊界條件（，）釷（己，），并記仍，一，妒（）（），妒一（

17、）（），則近似解（）（，亡）傷（）島（）令妒（），）是贍的有限維子空間，顯然贍記僥瀘可，時(shí)§學(xué)問(wèn)題（）的格式為：求，滿足妒（鏟觸），氓其中仁圳（伊（扣；噶方程（）的矩陣形式如下（）州。（）擴(kuò)，其中（）（）擴(kuò)（囂，曰，婚，），（七），（），（啄），（啄）七（妒忌，町），七（妒七），（妒），啄（）§妒七，（叻）。），勺七（妒七），（）實(shí)際計(jì)算上述（）（）陣由、單元矩陣疊加得到。隊(duì)方程的高精度數(shù)值方法穩(wěn)定性證明本部分主要證明由格式（）給出的解在日和范數(shù)下是有界的，即上述格式是穩(wěn)定的。證明包括兩部分。守恒性質(zhì)我們知道方程滿足質(zhì)量守恒性和總能量非增性，即如¨、；“如；（）（

18、。）如一廣厶一廠上一出廠厶卜囪我們將讓明袼式保待上述蔭個(gè)性質(zhì)質(zhì)量守恒性格式（）中取詵即得。二（矽如一工）二寫(xiě)筍如一，那么：質(zhì)量守恒性質(zhì)得證。總能量遞減性由（）圭（）互（）一去（，），則壺（）如擊知州坩，（籌）¨如一忐妒鄧州州坩吼伊抄（籌）¨如由及（）可知，（簣），），（簣）址）所以腳如一（如（秘；）如，即（礦）如（）如（）穩(wěn)定性證明定理刈五麗去刁巧（擴(kuò)）如五三）方程的高精度數(shù)值方法讓明：汪思到，田個(gè)寺虱及，得三（礦。）如（礦）如丟，丟，一去，）如一（）一五；一三口（）如（一，一互）（）（礦）如一互血（鴨）咄一蘭各川妒憶。衙驪麗麗。面推論由定理及不等式一何，匾得到下誤差估計(jì)由

19、近似解的上述有界性估計(jì)及樣條插值的逼近性質(zhì)，并利用橢圓投影等技巧，本部分將對(duì)格式（），（）給出的數(shù)值解進(jìn)行誤差估計(jì)。本節(jié)中的：，表示廣義常數(shù)，在不同位置有所不同。定義雙線性泛函（，）（。，王）（，），月暑顯然雙線性泛函是有界的。由邊界條件札。（）（）可知如）（：（）幽）外）似）同理設(shè)壚（咄）幽）郇二。）小刪。如方程的高精度數(shù)值方法即產(chǎn)（三一）“：（）（）（一）（），（）遽（）（三一）（一）仳拓（）上面兩式相加得三（）。，嘶工量工（一咖如由此可知陘勘北所以。（鄴）一“（亂扣圳）似，一百，（珊訓(xùn)），即此雙線性泛函滿足強(qiáng)制性條件（鏗，牡）毯；，其中一§，一罄，）為了估計(jì)誤差，定義一個(gè)橢圓投

20、影如，滿足：磁一，（，）（），壇，（）設(shè)亂（，）是方程（）的解，是方程（）的近似解。方程（）可以記為，（等）卅，）正，王，一乃，其中，死瓢壙（等）葉，（叫；礦方程的高精度數(shù)值方法根據(jù)籌的表達(dá)式，（）可化為（島礦，）一（越專，）（讓，）（牡）幾讓葉，）（冗，）一（正，口）方程（）可寫(xiě)為（僥礦，）一互，（）（；，（）。）（）矽，（）船）（丑，（）一（衛(wèi)，）（）（）設(shè)礦一礦，。由的定義，很容易得到（，魄），（），（）兩式相減得到誤差方程如下（僥礦，慨）（鏟，魂）一（譬；，（）。）一瓠口；，（弼）盅）（“十，（）。）（口“，（）（牡）礦；一（）礦§，（）（死，）一（正，）（）由（）得（專，（

21、）（，），所以上式記為（反儼，）一（聰壹，（）（礦，（）￥）（目，（）。）一（，）一（“，）（五，魄）一（正，）（死，（），其中（札十§）一（十），記（十）（）；§設(shè)線性算子札囂，那么對(duì)于橢圓問(wèn)題（）吼：乏小。，。，有且只有一個(gè)醒，并且有正則性估計(jì)引理存在一個(gè)與鐵無(wú)關(guān)的常數(shù)，使得（），磙方程的高精度數(shù)值方法證明：，其中（，）（一玩，）（，）（，一凰）一如訓(xùn)“吲，取一硫札，則讓一“證畢（矗亂）饑，亂只芻日缸。一滬（），七”曠一七（下）”、證明：取儼代入（）得儼一州一圳唰；（礦；僥）（竺齜（圳啦”譬）螄岫（譬）古嘲，蠢亡。去亡篚；，（）同理定理設(shè)“（，??；日）和分別是償矽和俾的

22、解，初值滿足則存在常數(shù)使得方程的高精度數(shù)值方法其中乃（亂）一（葉§）（）；一（亂）十；（亂）一（）；§（）互（礦十互一）§（礦“）（讓一）嶇亂）十§葉（§葉§）（口種¨護(hù)釧所以壓瓦（）式可記為（口釧：）代入（。），并?。簩?，則一刈（警一絲池釧（一百么）酬州一云圳，奠中杪；妒砒，訓(xùn)礬護(hù)“刪擊慨蜒等一訓(xùn)瞄托打，隅（，芻）一（）釧承壙（等）時(shí)吉臚（，丟）一讓；仳茁（，；）一五譬歸（，妻）一）葉卅§，下面估計(jì)丑右邊三項(xiàng)礦（，§）一亂；亂（吼腫§）一亂掣“廠酬掣一川。妣百（）”厶刪（）擾妒（，十丟）一（讓

23、）蚪；礦種亂（，如）一（，）時(shí)鏟（，十吾）礦§（仳）葉§亂（，；）（亂（，釁；）一亂§）仳§（，）牡）（仳（，喜）一亂§）：（）外妒（）一班掣門(mén)舭滬一（一虹百剮艫釧砒（§：擊圳脅）刪（警憫托一如），”滬臚亡妻”臚礦（亡喜”刨件；崦丁“亂川班）州州小舭知酬固，（），（），嬰努七七一鼉（）¨¨、所以由以上得到：由引理，（）得到由不等式及已知條件可知存在常數(shù)，使得定理證畢。方程的高精度數(shù)值方法圖：方程數(shù)值解（，一，）圖：方程數(shù)值解（一，（，）王方程的高精度數(shù)值方法圖：方程數(shù)值解（一，一，：）圖：離散格式的總能量方程的高精

24、度數(shù)值方法數(shù)值實(shí)驗(yàn)本節(jié)通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明我們的格式是穩(wěn)定的并且給出合理的數(shù)值解。圖表明數(shù)值解對(duì)系數(shù)的變化是顯著的，這也符合】中方程對(duì)的解釋，口表示體相分離現(xiàn)象中的“界面能”。圖表示的數(shù)值結(jié)果在，和，下得到。初值由（，）（）（）（）（）給定。圖所示的數(shù)值結(jié)果和圖的各項(xiàng)系數(shù)及初值都相同，除了一。圖中的系數(shù)。系數(shù)口接近于表示“界面能”逐漸減少。本文中的數(shù)值實(shí)驗(yàn)和【】中用有限差分法所得結(jié)果一致。但是】中為了得到穩(wěn)定解需要運(yùn)行步，我們的格式只需運(yùn)行步就可以得到穩(wěn)定解。圖表示離散的總能量，（）所用數(shù)值由圖中數(shù)據(jù)計(jì)算得來(lái)。從數(shù)值結(jié)果可以看到穩(wěn)定時(shí)的自由能是最小的。）（第章高精度差分格式本章仍然考慮一維方程：札

25、（寫(xiě)，）也（），甓碚瓦（，（，三）冗，（）離望纛，其中瓦礎(chǔ)等：礎(chǔ)孬，十孬，其中常數(shù)，。（）為了便于表達(dá)，令伽籌，轡，碚，方（），（）可記為塑：口，。、伽礎(chǔ)讓，（）本章結(jié)構(gòu)如下：在第一部分中構(gòu)造出兩種緊的差分格式。在第二部分證明格式保有原方程的質(zhì)量守恒的性質(zhì)，第三部分證明格式的穩(wěn)定性和收斂性。首先定義一些本章常用記號(hào)砝（叼）：警，壙墮鞋（叼）墮嬰，離散內(nèi)積及范數(shù)定義如下（叼），。（”“）三九蚤吁哆丟¨危，（，），三叼方程的高精度數(shù)值方法差分格式的建立對(duì)求解區(qū)域，×，刀作網(wǎng)格剖分，取空間步長(zhǎng)，時(shí)間方向步長(zhǎng)為丁叫，巧，禮丁。記，如佗，定義網(wǎng)格函數(shù)哼（巧，如），扎由展式及定義的記號(hào)

26、：。孬，（巧，）西稃，（，）麗礤（巧，如）（，）西麗（巧，藝）麗礤）（），（）其中白，仍（一，）將上式上標(biāo)為竹和竹的兩個(gè)等式相加并除以，可得鯉笙：蘭：（巧，§）上么（巧，氣§）（麗（乩。蠹（奶勘）蠹（巧扎）（）÷面礤（一日一弦礤（麗，習(xí)）西利用（）中；（似一讓），硭吉嵋¨一孵怯一（礦）尹筆磋（嵋¨一喀怯一（礦）蘆）啊，（）其中（）（危），（礦）。：同理（仳時(shí)）（？）礦礦（）（？）（）篋蘭學(xué)：。（，死；）上么。（，），（）方程的高精度數(shù)值方法。（）（危）。把地代入上式，得鹺竺：（哼）。西。文，）。，由（），（）有（）哼一叼型型：鹺。艫一他釅一他酲

27、酲、一§，。（）（嵋一哼十一（哼）（嵋一耐§一（哼）磋鶯§，（）設(shè)叼是問(wèn)題（）的近似解，并考慮初始條件及對(duì)時(shí)間的差分，由（），（）得到如下差分格式（）：（，筆磋）里！丟翌邊界條件為§，（）（）（，西一呀“一（呀）弼，鹺叼倒醴叼：，（）（）酲岬：硅町：同理可得到三層差分格式（）邊界條件為（，吲扒？叩華磋華（）（）一（）（，蠢髭）上礦：磋華，醴叼磚叼：，（）（）醴町畦町：利用格式（）需要知道初值，可由格式（）得到。方程的高精度數(shù)值方法證明守恒性質(zhì)本部分主要證明方程的質(zhì)量守恒性質(zhì)，即證：吁觸四五（）首先由離散分布求和公式可有下面兩式的化簡(jiǎn)盟觸一巡垃觸十一一毋一

28、（力一劬）醴辦（力一易）醴乃）羔。一鯫）磋掣孚九，（刊磋學(xué)九，一觸由（）式得磋辦酲辦¨嚴(yán)擊蓬曠一；、。：等吁一、：厶鹺。塢產(chǎn)爐一心畦：隧卻島一羞（）即蘆蘆可知差分格式（）滿足質(zhì)量守恒。類似的，由（）式，得爭(zhēng)叼。九，、所以差分格式（）也滿足質(zhì)量守恒性質(zhì)。方程的高精度數(shù)值方法穩(wěn)定性和收斂性的證明本節(jié)中的常數(shù)艦，島在不同的地方有所不同。格式（）的穩(wěn)定性與收斂性證明本小節(jié)用歸納假設(shè)的方程法證明差分格式（）是穩(wěn)定且收斂的，收斂階是（釅十一）的。：設(shè)方程（）的解（，）在內(nèi)，是的有界連續(xù)函數(shù)，即存在常數(shù)使得仳（，工）×（，），（）設(shè)差分格式（）的解擴(kuò)有界，且存在常數(shù)“，使得”（）引理設(shè)哼

29、（，釓）是定解問(wèn)題！的解，則差分格式，的截?cái)嗾`差為礙（）引理設(shè)，是定義在上的網(wǎng)格函數(shù)，若滿足邊界條件（），即，一，則有下面式子成立觸則有下面式子成立酲吩忍一！砝砝吩危（）引理設(shè)，巧是定義在，上的網(wǎng)格函數(shù)，若滿足邊界條件（），（），！磋霹巧¨蘆磋鹺吩危（）定理設(shè)哼，叼分別是定解問(wèn)題（）和差分格式，）的解，且?。ㄎ＃?，存在與，無(wú)關(guān)的常數(shù)，使得讓“（）讓明：由引理知礙（?。▽W(xué)卜野黜銣礦沁鰳料礙，侶）、令髟喀一叼，（）一（），得誤差方程為其中霉（哼）§喀一（啄）¨§哆¨將（）與做內(nèi)積，及（），（），引理得到（州）一西慨：一刈），壺去（磋一鯉）一例”釧喊礦釧白驢郜，憷釧西?！?，（）（喀）蚪。吩，¨一（霹）計(jì)霹（嵋）哼¨一（喀）啄；（虧）：，螺一（啄）卅啄§（弓）：勺§互“（，矽）虧（茁）虧田假設(shè)（），（）知，（；十砉（）酲薔（）可寫(xiě)為（）是與，”有關(guān)的常數(shù)。所以由（），不等式及逆估計(jì)去和胛）一“。一洲），杰面幾川一崍）一（：筆外刮鹺¨§卑箬磋時(shí)拈§乏導(dǎo)警（。）吾扣郜，隊(duì)方程的高精度