因式分解拓展題及解答(必考題型)

1、因式分解拓展題解板塊一： 換元法例 1 分解因式：2(x24x2 2 28)2 3x(x2 4x 8) 2x2【解析】 將 x4x8u 看成一個字母，可利用十字相乘得原式2 u3xu2 2 22x2 (u x)(u 2x) (x2 4x 8 x)(x2 4x 8 2x)(x25x8)(x2 6x 8) (x 2)(x 4)(x2 5x 8)例 2 分解因式：(x25x22)(x2 5x 3) 12【解析】 方 法 1：將2 x5x 看作一個整體，設 x2 5x t ，則原式 =22(t 2)(t 3) 12 t2 5t 6 (t 1)(t 6) (x 2)(x 3)(x2 5x方法 2：將2

2、x25x 2 看作一個整體，設 x2 5x 2 t ，則原式=(t 1) 12 t 2 t 12 (t 3)(t 4) (x 2)(x 3)(x2 5x 1)方法 3：將2 x5x 3 看作一個整體，過程略 .如果學生的能力到一定的程度，甚至2連換元都不用，直接把 x2 5x 看作一個整體，將原式展開，分組分解即可，則原式22(x2 5x)25(x25x)62 2 2(x2 5x 1)(x2 5x 6) (x 2)(x 3) (x2 5x 1)【鞏固】分解因式：(x1)(x3)(x5)(x 7) 15【解析】(x 2)(x6)(x28x10)【鞏固】分解因式：(x2x1)(x2x 2) 12【

3、解析】(x 1)(x2)(x2x5)例 3 證明：四個連續(xù)整數(shù)的乘積加 1 是整數(shù)的平方【解析】設這四個連續(xù)整數(shù)為：x1、 x 2、 x 3、x4(x 1)(x2)(x 3)(x 4) 1(x1)(x 4)(x 2)(x3)1(x25x24)(x2 5x 6) 12 4 6 u x 5x22原式 (x2 5x 5)1(x2 5x 5)1 1(x25x5)21122(x2 5x 5)2【鞏固】若 x ， y 是整數(shù)，求證：x y x2y x3yx4yy4 是一個完全平方數(shù)【解析】x y x 2y x3y x44y yxyx4yx2y4x 3y y(x25xy4y2)(x25xy6y2)4 y令

4、x25xy4y2u上式u(u2y2)4 y(uy2)2(x25xy即xyx2yx3yx 4y4 y2(x2225xy 5y )225y2)2例 4 分解因式2(2a 5)(a2 9)(2a7)91【解析】 原 式(2a 5)(a 3)( a23)(2a 7) 91 (2a22a 15)(2a2 a 21) 91設 2a2 a 15x，原式 x(x 6)291 x 6x 91(x213)(x 7) (2a2 a228)(2a2 a 8)(a24)(2a 7)(2 a2 a8)a1x a0的值為 0，那么 x a 是該多項【鞏固】分 解因式 (x2 3x 2)(38x4x2)90【解析】原式 (x

5、 1)(x y 2x2 5x2)(2x1)(2x3)90(2x2 5x3)(2x25x 2) 90原式(y 3)(y 2)90 y25y84(y12)(y 7)(2x25x 12)(2 x 7)(x1)例 5 分解因式： 4(3x2x 1)(x22x23) (4x2x 4)2【解析】咋一看，很不好下手，仔細觀察發(fā)現(xiàn)：(3x2 x1) (x222x 3) 4x2 x4，故可設 3x2 x1 A,x22x32B ，則 4x2 x4AB.故原式 = 4AB(A B)2A2B22AB (AB)222222(3xx 1)(x22x3)(2x 3x 2) .【鞏固】分 解因式： (ab 2ab)( a b

6、2)(1ab)2解析】 由 于題中以整體形式出現(xiàn)的式子有兩個，共4 個地方，故采取換元法后會大大簡【解析】 則 原式= (x 2y)(x 2) (1y)22x 2xy2y 2y 2x1 (x2y)2 2(x y) 1(x y1)2 (a22b ab 1)2 (1 a)2(1例 6 分解因式：(x 1) 4 (x 3)4272化計算過程，不妨設 a b x,ab y ，b)2解析】 設 yx1x3x 2 ，則原式= (y1)44(y 1)4 272422(y4 6y2 1) 27222(y426y2 135)222(y2 9)( y215)2(y23)(y 3)(y215)2(x25)(x 1)

7、(x24x 19)鞏固】 分解因式： a4 44 (a 4)4【解析】為方便運算，更加對稱起見，我們令xa2a4 44 (a4)4(x2)4(x 2)44244 (x2224x 4)2 (x2 4x2(x424x2 16) 2562(x4224x2 144)2(x2 12)2 2(a 2)2 122板塊二： 因式定理244)2 442(a2 4a 16)2因式定理： 如果 x a 時，多項式 anxn an 1xn 1式的一個因式有理根： 有理根c p 的分子 p 是常數(shù)項 qa0的因數(shù)，分母q 是首項系數(shù)an的因數(shù).例 7 分解因式：322x x 5x 22x23x2鞏固】 a02的因數(shù)是

8、1， 2， an2 的因數(shù)是 1 ，2x 1 2x3x25x2因此，原式的有理根只可能是1， 2( 分母為1)， 1 2x32x223x25x因為 f (1) 2 15 2 6， f ( 1) 21 5 2 0，23x23x2x222x20于是 1是f (x)的一個根，從而 x 1是 f (x)的因式，這里我們可以利用豎式除法， 此時一般 將被除式按未知數(shù)的降冪排列，沒有的補0 ：2可得原式 (2x2 3x 2)(x 1) (x 2)(2x 1)(x 1)點評：觀察，如果多項式 f(x) 的奇數(shù)次項與偶數(shù)次項的系數(shù)和互為相反數(shù)， 則說明 f (1) 0；f ( 1) 0.5 4 3 22x 3

9、x 4x 3x 2x 11. 1當然不可能為根 ( 因為多項式的系數(shù)全是正的 )，經(jīng)檢驗 1如果多項式的奇數(shù)次項與偶數(shù)次項的系數(shù)和相等，則說明 【鞏固】 分 解因式： x6 解析：本題有理根只可能為原式 (x1)(x5 x42x3 2x2& x1)容易驗證1 也是 x543x 2x2x2x1的根，54xx322x 2xx 1 (x1)(x42x21) (x1)(x2 1)2 ，所以 x6542x 3x324x 3x2x1 (x221)2(x21)2鞏固】 分 解因式32 ： x 9x2y 26xy224y31，是根，所以原式有因式 x3y)(xca)x4y) abc解析】常 數(shù)項 ab

10、c的因數(shù)為a，b，c，ab，bc，ca，abca3 (a鞏固】把 x a 代入原式，得b c)a2 (ab bc ca)a abc a3 所以 a 是原式的根， x3 (a b(x3 ax2)(x a)x2分解因式：ba22ca a2b abca2c abc 0解析】x a 是原式的因式，2c)x (ab bc ca)x abc2(b c)x a(b c)x (bcx abc)并且(b c)x bc (l m)x3 (3l(x2ma)(x b)(x c).2n)x2 (2l m 3n)x2(m n)如果多項式的系數(shù)的和等于0，和減去奇次項系數(shù)的和等于 (l n) (3l 2m n) (2l所以

11、 x 1是原式的因式，并且 (l m)x3 (3l 2m n)x2 (2l0，那么 1 一定是它的根； 定是它的根0如果多項式的偶次項系數(shù)的那么 13n) 2(m n)m 3n)x 2(mn)現(xiàn)在正是這樣：3 2 2 (l m)x3 (l m)x2 (2l m n)x2 (x 1)(l m)x2 (2l m n)x 2(m 待定系數(shù)法板塊三： 如果兩個多項式恒等，則左右兩邊同類項的系數(shù)相等 即，如果n n 1 n anxan 1xan 2x2L(2ln)n)x2(mn)x2(m n)(x1)(x2)(lxmxm n)1a1x a0n nxnbn 1x1 bn 2L b1x1 b0那么 an b

12、n ， an 1 bn 1 ， a1 例 9 用待定系數(shù)法分解因式： x5 【解析】原式的有理根只可能為b1 ， a0 b0 .故 x5 x有理根，21 (x5x因而也沒有ax 1)(x32(x axx11 ，但是這 2 個數(shù)都不能使原式的值為 ( 有理系數(shù)的 )一次因式cx 1) 或 x5 x 1 (x22 cx 1) x5 (a0 ，所以原式?jīng)]有bx21)(x3 bx32ax 1)(x3 bx2 cx 1)b)x4 (ab c 1)x3 (ac b 1)x2 (a c)x 1解析： x3 9x2y 26xy2 24y3 (x 2y)(x 例 8 分解因式： x3 (a b c)x2 (ab

13、 bcab0ab 10a1cb1，所以 x5 x 1 (x2 x 1)(x3 x2 1)故b1，解得ac0c0ac1事實上，分解式是惟一的，所以不用再考慮其它情況 【鞏固】 x4 x2 1 是否能分解成兩個整系數(shù)的二次因式的乘積 解析： 我們知道 x4 x2 1 (x2 x 1)(x2 x 1).x4 x2 1 不能分解成兩個整系數(shù)的二次因式的乘積ax 1)(x2 bx 1) 或22(x2 ax 1)(x2 bx 1)比較 x3與 x2 的系數(shù)可得 :由(1)得b a，代入 (2)得 a2 2a b 0 (1)ab 2 1 (2)1 ，即 a2 3 或 a21，沒有整數(shù)a 能滿足這兩個方程如

14、果 x4 x2 1 能 夠 分 解 ， 那 么 一 定 分 解 為 (x2所以， x4 x2 1 不能分解成兩個整系數(shù)的二次因式的積(從而也不能分解成兩個有理系數(shù)的二次因式的積)【鞏固】 x6 x3 1 能否分解為兩個整系數(shù)的三次因式的積?解析： 設 x6 x3 1 (x3 ax2 bx 1)(x3 cx2 dx 1) ， ac0比較 x5， x3及 x的系數(shù)，得 ad bc 1b d 0由第一個方程與第三個方程可得c a， d b ,再把它們代入第二個方程中，得ab ab 1矛盾 !所以， x6 x3 1不可能分解為兩個整系數(shù)的三次因式的積 例 10 分解因式： x4 x3 2x2 x 3解

15、析】 原式的有理根只可能為 1， 3，但是這四個數(shù)都不能使原式的值為0 ，所以原式?jīng)]有有理根，因而也沒有 (有理系數(shù)的 ) 一次因式我們設想 x4 x3 2x2 x 3可以分為兩個整系數(shù)的二次因式的乘積次因式也應當是首 1 的于是，設 x43x2x2x3(x2 ax其中整系數(shù) a、b、c、d 有待我們?nèi)ゴ_定ac1(2)bdac 2(3)及常數(shù)項，得bcad 1(4)bd3(5)由于原式是首 1 的 (首項系數(shù)為 1) ，兩個二b)(x2 cx d) 比較式兩邊 x3，x2， x的系數(shù)b、d 是整數(shù) !根據(jù)這一點，331或這樣的方程組，一般說來是不容易解的不過，別忘了b 1b 1b從(5) 可以

16、得出或 ，當然也可能是d 3d 3d在這個例子中由于因式的次序無關緊要， 我們可以認為只有 bd 13或 db 13這兩種情況將b 1，d 3，代入 (4)，得c 3a 1 將與相減得 2a 2 ，于是 a 1，再由得 c 2 這一組數(shù)( a 1，b 1， c 2，d 3 )不僅適合、，而且適合 因此 x4 x3 2x2 x 3 (x2 x 1)(x2 2x 3) 將 b 1， d 3 ，代人，得 c 3a 1 將與 相加得 2a 0.于是 a 0 ，再由 得 c 1.這一組數(shù) ( a 0，b 1， c 1，d3) ，雖然適合、，卻不適合，因而 x4 x3 2x2 x 3 (x2 1)(x2

17、x 3).事實上，分解式是惟一的，找出一組滿足方程組的數(shù)，就可以寫出分解式， 考慮有沒有其他的解純屬多余，毫無必要板塊四：輪換式與對稱式對稱式： x、y 的多項式 x y， xy， x2 y2， x3 y3 ， x2 y xy2 ，在字母 x與 y 互換時，保持不變這樣的多項式稱為x、y 的對稱式類似地， 關于 x、y、z的多項式 x y z，x2 y2 z2， xy yz zx， x3 y3 z3， 2 2 2 2 2 2x2y x2z y2z y2x z2x z2y， xyz，在字母 x、y、z中任意兩字互換時，保持不變 這樣的多項式稱為 x、y z 的對稱式輪換式：關于x、y、z的多項式

18、x y z，x2 y2 z2，xy yz zx， x3 y3 z3， 2 2 2 2 2 2x y y z z x，xy yz zx ， xyz在將字母 x、y、z輪換(即將 x換成 y， y換成 z， z換成 x) 時，保持不變 這樣的多項式稱為 x、y、z 的輪換式顯然，關于 x、y、z 的對稱式一定是 x、y、z 的輪換式 但是，關于 x、y， z的輪換式不一定是對稱式例如， x2y y2z z2 x就不是對稱式次數(shù)低于 3 的輪換式同時也是對稱式兩個輪換式 (對稱式 )的和、差、積、商 (假定被除式能被除式整除 )仍然是輪換式 (對稱式) 例 11：分解因式： x2(y z) y2(z

19、 x) z2(x y)解析： x2(y z) y2(z x) z2(x y) 是關于 x、y、z 的輪換式如果把 x2(y z) y2(z x) z2(x y) 看作關于 x的多項式，那么在 x y時，2 2 2它的值為 y2(y z) y2(z y) z2(y y) 0. 因此， x y是 x2(y z) y2(z x) z2(x y) 的因式 由于 x2(y z) y2(z x) z2(x y)是 x、y、z的輪換式， 可知 y z 與 z x 也是它的因式從而它們的積 (x y)(y z)(z x) 2 2 2是 x2(y z) y2 (z x) z2(x y) 的因式由于 、都是 x、

20、y、z 的三次多項式， 所以兩者至多相差一個常數(shù)因數(shù) k，即有 2 2 2x2(y z) y2 (z .x) z2(x y) k(x y)(y z)(z x) 2現(xiàn)在我們來確定常數(shù) k 的值為此，比較的兩邊 x2y 的系數(shù)：左邊系數(shù)為 1， 右邊系數(shù)為 k 因此， k 1于是 x2(y z) y2(z x) z2(x y) (x y)(y z)(z x)思路 2：利用 y z (y x) (z x).例 12 分解因式： xy(x2 y2) yz(y2 z2) zx(z2 x2)解析】 此式是關于 x， y， z的四次齊次輪換式，注意到x y時，原式 0，故 x y是原式的一個因式 .同理，

21、y z， z x均是原式的因式， 有一個一次輪換式，設其為 k(x y 故原式 k(x y z)(x y)(y z)(z 故原式 (x y z)(x y)(y z)(z 思路 2：利用 x2y2 (x2z2)+(z2 y2). 家庭作業(yè) 練習 1 分解因式： 4(x 5)(x 6)(x 10)(x 原式 4(x2 17x 60)( x2 16x 60) 3x2 42 2 24(x2 16x 60)2 4x(x2 16x 60) 3x 2(x2 16x 60) x2( x2 16x 60) 3x而 (x y)(y z)(z x) 是三次輪換式， 故還應 z)，x) ，展開并比較系數(shù)可知， k 1

22、 ，x).12)(x223x216x 60) x (x2 16x 60) 3x222(2x2 31x 120)(2 x2 35x120)2(2x 15)(x 8)(2 x 2 35x120)練習 2要使 x 1x3x4x8m 為完全平方式，則常數(shù)m 的值為【解析】x1x3x4x8m(x2 5x24)(x2 5x 24)m(x25x)220(x2 5x)96m ，則m 196練習 3分解因式：22(x2 6x 8)(x214x48) 12【解析】原式 (x2)(x 4)(x 6)(x8)12(x210x216)(x210x24) 12設 t x210x 16 ，則原式 t(t8) 12 (t 2

23、)(t6)(x210x218)( x2 10x22)練習 4分解因式：2 2 2(x2 xy y2 )24xy(2 xy2)【解析】22 設 x ya， xy b，則原式(ab)24ab(a b)2(x22 yxy)2.練習 5分解因式：322x x 5x 2【解析】322x x5x 2 (x 2)(2x1)(x 1)練習 6分解因式：32x3 6x2 11x 6【解析】32x 6x211x 6 (x 1)(x25x6)(x1)(x2)(x 3)練習 7用待定系數(shù)法分解： x5 x41【解析】原 式的有理根只可能為 1 ，但是這2 個數(shù)都不能使原式的值為0，所以原式?jīng)]有2故 x5 x4有理根，因而也沒有 (x2 ax 1)(x3 4x故acbab2(x ax110( 有理系數(shù)的 )一次因式 bx2 cx 1) 或 x5 x4 bx2 cx 1)1)(x3(x2(aaxb)x41)(x3(abbx2cx 1)321)x3 (ac b 1)x2 (ac)x 1a，解得 b10c010 ，所以 x51x4(x2x 1)(x3x 1)練習 8鞏固】事實上，分解式是惟一的，所以不用再考慮其它情況 分解因式： a3(b c)a3(b b3(c33c) b3(c a)