第二章_等額年金__ppt課件

1、第二章等額年金上）主要內(nèi)容v年金的定義v年金的類型v年金的現(xiàn)值與終值v年金的利率問(wèn)題、時(shí)間問(wèn)題求解一、年金的定義v年金是指在相等的時(shí)間間隔內(nèi)的一系列支付或收款。v等額年金：每次的支付額相等。二、年金的類型v確定性分類：確定型年金、不確定型年金。v每次的支付額分類：等額年金、變額年金。v支付時(shí)點(diǎn)分類：期初付年金、期末付年金。v支付期限分類：定期年金、永續(xù)年金。v連續(xù)性年金：離散型年金、連續(xù)型年金。三、年金的現(xiàn)值與終值v1、n年定期年金v1期末付年金v現(xiàn)值0 1 2 3 n1 1 1 1vv2vn。nnvvva2ivn1vvvn1)1(年金。元的，則每年末可得到年初存入1na上式可寫(xiě)成：nnvia

2、1期初投資期初投資1元，每年末可獲得利息元，每年末可獲得利息i，且第且第n年末可獲得本金年末可獲得本金1元。元。年金終值v.0 1 n-2 n-1 n1 1 1 11+i(1+i2(1+i)n-1。12)1 ()1 ()1 (1nniiisnsiin1)1 (每年末存入1元，第n年末可得)1 (1)1 (1iin的關(guān)系與nnsannnias)1 ( 證明：iiiisnn1)1 (1證：isann11nnnnaviiii111)1 ()1 (2期初付年金v現(xiàn)值0 1 2 n-2 n-1 n1 1 1 1 1 vv2Vn-1。121nnvvva vvn11dvn1nnvad 1或：終值v。0 1

3、n-2 n-1 n1 1 1 1 1+i(1+i)2(1+i)n。diiiisnnn1)1()1()1()1(2 dsaiassannnnnnn 11)1(或：的關(guān)系與期初付年金與期末付年金nnaia)1 ( nnsis)1 ( 其他111111nnnnnnssaaaa 例：王平從銀行貸款20，000元，他想在今后的10年內(nèi)等額還清貸款，貸款年利率為15%。求：1每年末的還款額；2每年初的還款額。v解:元04.3985200001200001010PivPPa1010200001200003485.25PavPdP元2、延期m年的n年期年金v1期末付延期年金v現(xiàn)值0 m m+1 m+n-1 m

4、+n 1 1 1Vm+1vm+n-1Vm+n。v或：mnmnmaaanmnmmmnmvvvva121nmav)(2nmvvvv終值nnnnmsiiiiis1)1 ()1 ()1 ()1 (112nmnmnmias)1 (或：或：2)期初付延期年金v現(xiàn)值11nmmmnmvvva mnmnmaaa 或：)1 (12nmvvvvnmav 。v終值 nnnnmsdiiiis 1)1 ()1 ()1 ()1 (2nmnmnmias)1 ( 或：或：例：3，000元的債務(wù)從第5年初開(kāi)始，每年初償還相同的數(shù)額，共分15次還清，年利率為8%，求年還債額。解：元51.441)08. 01)(3121. 3603

5、6. 9()(3000419154PPaaPaP 3、永續(xù)年金v1期末付年金現(xiàn)值v2期初付年金現(xiàn)值iivaannnn11limlimddvaannnn11limlim 期初投資期初投資 元，那么元，那么每年可獲得每年可獲得1元元期初投資期初投資 元，元，那么那么每年可獲得每年可獲得1元元d1i13延期m年的永續(xù)年金dvavaivavamnmnmmnmnm limlim4、其他時(shí)點(diǎn)上的年金v過(guò)期年金的終值mnmniss)1 ( 0 1 - n n+1 n+m 1 - 1mnmniss)1 ( mnmssmnmss 同理：同理：.v年金的當(dāng)前值mnnmiav)1 ( 0 1 - m n 1 - 1

6、 1 1mnnmiav)1 ( mnmasmnmas 同理：同理：例：某投資項(xiàng)目，前例：某投資項(xiàng)目，前3年每年初投資年每年初投資5萬(wàn)元，后萬(wàn)元，后3年每年每年末投資年末投資3萬(wàn)元，萬(wàn)元，i=6%，試計(jì)算該項(xiàng)投資在，試計(jì)算該項(xiàng)投資在10年末的年末的終值終值v解：前3年投資在10年末的終值為：v后3年投資在第10年末的終值為：v總的終值為：37.43萬(wàn)元萬(wàn)元06.12)1 (334343iss萬(wàn)元37.25)1 (557373iss 5、連續(xù)年金v現(xiàn)值11)1()1ln()1()1(1ln1ln0000aiiidtisvvvvvdtvannnttnnnnnttn永續(xù)年金終值例：某企業(yè)從銀行獲得一筆

7、貸款，年利率為例：某企業(yè)從銀行獲得一筆貸款，年利率為6%，假設(shè)企業(yè)每，假設(shè)企業(yè)每年末向銀行償還年末向銀行償還20，000元，元，10年后還清，如果企業(yè)打算在年后還清，如果企業(yè)打算在5年內(nèi)一次還清，試求一次還清的額度。年內(nèi)一次還清，試求一次還清的額度。v解： 元0617.196982747285. 0360087. 720000)1 (20000510PiPa李明今年李明今年30歲，他計(jì)劃每年初存歲，他計(jì)劃每年初存300元，共存元，共存30年建年建立個(gè)人養(yǎng)老金，這筆存款能使他從立個(gè)人養(yǎng)老金，這筆存款能使他從60歲退休開(kāi)始每年歲退休開(kāi)始每年初得到固定金額的養(yǎng)老金，共能取初得到固定金額的養(yǎng)老金，共能

8、取20年，假設(shè)存款利年，假設(shè)存款利率在前率在前30年為年為6%，后，后20年為年為12%，求每年得到的養(yǎng)，求每年得到的養(yǎng)老金額。老金額。v解：%1220%630300aPs 元78.3365P例：某單位計(jì)劃用例：某單位計(jì)劃用10年時(shí)間每年初存入銀行一筆固定年時(shí)間每年初存入銀行一筆固定的金額建立基金，用于的金額建立基金，用于10年末開(kāi)始每年年末開(kāi)始每年2，000元的永元的永續(xù)獎(jiǎng)勵(lì)支出，續(xù)獎(jiǎng)勵(lì)支出，i=12%,求每年需存入的金額。求每年需存入的金額。%12%12102000asP 元74.949P解：解：例：設(shè)某期初付年金共支付例：設(shè)某期初付年金共支付20年，其中：前年，其中：前6年的年金額為年的

9、年金額為5元，元，中間中間9年的年金額為年的年金額為7元，后元，后5年的年金額為年的年金額為10元，請(qǐng)寫(xiě)出年金元，請(qǐng)寫(xiě)出年金現(xiàn)值和終值的表達(dá)式?，F(xiàn)值和終值的表達(dá)式。5159661075aaa 146595)1 (5)1 (710isiss 解：現(xiàn)值解：現(xiàn)值終值終值四、年金的利率、時(shí)間問(wèn)題求解v1、利率問(wèn)題v1迭代法一v2Newton-Raphson迭代法1迭代法一v迭代公式)(1ttifi步驟v第一步 ：確定i0，求i1；vA、i0 可由線性插值法確定；vB、泰勒級(jí)數(shù)前兩項(xiàng)確定。)121(1)211 (1122inninnan) 1()(2) 1()(20nAAnnaaninn第二步：由i1求

10、i2，以此類推。 v可得i0、i1、i2-，直到it+1it為止。v確定迭代公式：Aiiann)1 (1Aiin)1(1得：。v得：Aiintt)1 (11缺點(diǎn)：收斂速度慢。即達(dá)到精確值的速度慢。2Newton-Raphson迭代公式2 , 1 , 0A)1(1 )1 (1)1 (11)1(1taniiAiiiintnttnttt其中：) 1()(20nAAni優(yōu)點(diǎn)：速度快。優(yōu)點(diǎn)：速度快。推導(dǎo)N-R近似公式v。)()()(11tttttiFiiiFiF0)(1tiF令：)()(1ttttiFiFii得：。Aiiann)1 (1令：AiiiFtntt)1 (1)(得：2 , 1 , 0A)1(1

11、 )1 (1)1 (11)1(1taniiAiiiintnttnttt其中：如果已知 ，則迭代公式ns1)1(1 )1 (1)1 (111niisiiiitnttnttt其中：其中：) 1()(22 , 1 , 00nsnsitssn例、某人存入銀行例、某人存入銀行8，000元，然后每年末從銀行支取元，然后每年末從銀行支取1，000元，共取元，共取10年，求：年，求：iv解法一：線性插值法。8100080001010aa8)(10 aif試算得：試算得：f(0.040)=0.1109=f(i2) f(0.045)=-0.0873=f(i1)04280. 0)()()()(1211210ifif

12、ifiiii令：令：解二：迭代一：045. 0) 110(8)810(20iAiintt)1 (11i(0)=0.045 i(1)=0.0448583 i(2)=0.0443989 i(6)=0.0433879 i(7)=0.0432567i(8)=0.0431539 - i(42)=0.04277506 i(43)=0.0427750 i(44)=0.0427750由公式：由公式：解法三，N-R迭代法045. 0118)810(2) 1()(20nAAni2 , 1 , 0A)1(1 )1 (1)1 (11) 1(1taniiAiiiintnttnttt其中：042775. 0042775.

13、 0042748. 004545. 0045. 043210iiiii由由N-R公式：公式：得：得：i=0.0427752、時(shí)間問(wèn)題v1解析式ivann1viannln)1ln( 2小額支付v當(dāng)n為非整數(shù)時(shí)，有小額支付問(wèn)題。0 1 k-1 k s k+1 1 1 1 w n=k+s s1最后一次支付額w1W的計(jì)算skknwvaaW的提前支付vW在第k+1年初的現(xiàn)值。v最后一次取款額為swvP swv1W的延時(shí)支付vW在第k+1年末的終值。siw1)1 (例：投資者將其例：投資者將其20，000元存入某基金，希望元存入某基金，希望在每年末領(lǐng)取在每年末領(lǐng)取1，000，i=4.5%，求：，求：v1領(lǐng)

14、取的時(shí)間及取款的次數(shù)；v2最后一次的取款額；v3最后一次取款額在當(dāng)年的現(xiàn)值和終值。解：v1求n20200001000nnaa3114.52)1ln()201ln(iin取款次數(shù)為取款次數(shù)為53次次2設(shè)小額支付為w元7 .3061000200003114.5252wwva3如果w在53年初支付，則其現(xiàn)值為：元52.3023114.0 wvA元14.316)1 (3114. 01iwB如果如果w在在53年末支付，則其終值為：年末支付，則其終值為：五、可變利率年金v假設(shè)每年的實(shí)際利率分別為i1、i2、-in。v1、期末付年金0 i1 1 i2 2 n-2 in-1 n-1 in n 1 1 1 1

15、1現(xiàn)值11111111211)1()1()1()1()1()1(iiiiiiannn11121vvvvvvnnnttssi111)1 (終值v。 )1 ()1 ()1 ()1 ()1 ()1 (1321nnnnniiiiiisnttssni1101)1 (2、期初付年金111211111211)1 ()1 ()1 ()1 ()1 ()1 (1iiiiiiannn )1()1()1()1()1()1(211nnnnniiiiiis 現(xiàn)值現(xiàn)值終值終值3、如果支付時(shí)，以當(dāng)年利率為標(biāo)準(zhǔn)。1221)1 ()1 ()1 (1nnnniiisnnniiia)1()1()1(2211nnnniiis)1 ()

16、1 ()1 (121 )1(12211)1 ()1 ()1 (1nnniiia 例：某人每年初存入銀行例：某人每年初存入銀行1，000元，前元，前4年的年利率年的年利率為為6%，后，后6年的年利率為年的年利率為10%，試求該年金的終值和，試求該年金的終值和現(xiàn)值?，F(xiàn)值。v解：元06.1670217.848789.82141000%)101 (1000%1066%64ss 元77.7467%)61 (%)101 (06.1670246終值：終值：現(xiàn)值：現(xiàn)值：例：在每年初投資例：在每年初投資1，000元，為期元，為期5年。如果前年。如果前2年的年的投資按年實(shí)際利率投資按年實(shí)際利率5%計(jì)算，后計(jì)算，后

17、3年的投資按年實(shí)際利年的投資按年實(shí)際利率率6%計(jì)算，試計(jì)算該項(xiàng)投資在第計(jì)算，試計(jì)算該項(xiàng)投資在第5年末的價(jià)值。年末的價(jià)值。v解：前2年的投資在第5年末的價(jià)值為：v后3年的投資在第5年末的價(jià)值為：v總價(jià)值為：3%52%)51 (1000s %631000s %631000s 3%52%)51 (1000s 元4 .5866第2章練習(xí)題v。1、某人想用分期付款方式購(gòu)買(mǎi)一輛現(xiàn)價(jià)為、某人想用分期付款方式購(gòu)買(mǎi)一輛現(xiàn)價(jià)為10萬(wàn)元的萬(wàn)元的汽車(chē)，如果首期支付一筆款項(xiàng)后，在今后的汽車(chē)，如果首期支付一筆款項(xiàng)后，在今后的5年內(nèi)每年內(nèi)每月末付款月末付款2，000元即可付清車(chē)款，假設(shè)每月結(jié)轉(zhuǎn)一次元即可付清車(chē)款，假設(shè)每月結(jié)

18、轉(zhuǎn)一次利息的年名義利率為利息的年名義利率為8%，試計(jì)算首期付款的金額為，試計(jì)算首期付款的金額為多少？多少？v2、某人將在10年后退休，他打算從現(xiàn)在開(kāi)始每年初向一種基金存入2，000元，如果每年的收益率為6%，試計(jì)算他在退休時(shí)可以積存多少退休金？v3、某人從2000年3月1日起，每月可以領(lǐng)取200元，直到2019年6月1日。如果每月結(jié)轉(zhuǎn)一次利息的年名義利率為6%，試計(jì)算：1年金的現(xiàn)值；2)年金的終值；3)年金在2019年12月31日的值。4、某人在今后的、某人在今后的20年內(nèi)，每年初向一基金存入年內(nèi)，每年初向一基金存入10，000元，從第元，從第30年開(kāi)始，每年末可以領(lǐng)取一筆退休金。年開(kāi)始，每年

19、末可以領(lǐng)取一筆退休金。該基金的收益率為該基金的收益率為6%。1如果限期領(lǐng)取如果限期領(lǐng)取20年，每次年，每次可以領(lǐng)取多少？可以領(lǐng)取多少？2如果無(wú)限期的領(lǐng)下去繼承人可如果無(wú)限期的領(lǐng)下去繼承人可以領(lǐng)取每次可領(lǐng)取多少以領(lǐng)取每次可領(lǐng)取多少?v5、某人留下了10萬(wàn)元的遺產(chǎn)，遺囑規(guī)定，該筆遺產(chǎn)前5年的利息收入由其長(zhǎng)子領(lǐng)取，第二個(gè)5年的利息由其次子領(lǐng)取，從第11年開(kāi)始，剩余遺產(chǎn)全部歸第三個(gè)兒子。如果實(shí)際利率為8%，試計(jì)算第三個(gè)兒子在該筆遺產(chǎn)中分別占多大份額。6、某人將一筆遺產(chǎn)每年可以領(lǐng)取的永續(xù)年金捐、某人將一筆遺產(chǎn)每年可以領(lǐng)取的永續(xù)年金捐贈(zèng)給了贈(zèng)給了A、B、C、D四家慈善機(jī)構(gòu)。在前四家慈善機(jī)構(gòu)。在前n年，每次

20、年，每次領(lǐng)取的款項(xiàng)由領(lǐng)取的款項(xiàng)由A、B、C三家平均分享，三家平均分享，n年后，剩余年后，剩余部分均由部分均由D領(lǐng)取。試確定當(dāng)領(lǐng)取。試確定當(dāng)(1+i)n為多少時(shí)，為多少時(shí)，A、B、C、D四家在該遺產(chǎn)中享有的現(xiàn)值相等。四家在該遺產(chǎn)中享有的現(xiàn)值相等。v7、假設(shè)一筆、假設(shè)一筆10，000元的貸款，計(jì)劃從第元的貸款，計(jì)劃從第5年開(kāi)始在每年末償還年開(kāi)始在每年末償還1，000元，直到還清為元，直到還清為止。如果年實(shí)際利率為止。如果年實(shí)際利率為5%，并要求將不足，并要求將不足1，000元的一次非正規(guī)付款提前在前一年末支元的一次非正規(guī)付款提前在前一年末支付，試計(jì)算最后一次付款的時(shí)間和金額。付，試計(jì)算最后一次付款

21、的時(shí)間和金額。8、如果年利率為、如果年利率為i，那么一筆在，那么一筆在36年內(nèi)每年末支付年內(nèi)每年末支付4，000元的元的年金，與另一筆在年金，與另一筆在18年內(nèi)每年末支付年內(nèi)每年末支付5，000元的年金將有相元的年金將有相等的現(xiàn)值。試計(jì)算等的現(xiàn)值。試計(jì)算1，000元的投資在年實(shí)際利率為元的投資在年實(shí)際利率為i時(shí)，經(jīng)過(guò)時(shí)，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間可以翻番。多長(zhǎng)時(shí)間可以翻番。v9、借款人原計(jì)劃在每月末償還、借款人原計(jì)劃在每月末償還1，000元，元，用用5年的時(shí)間還清貸款。每月結(jié)轉(zhuǎn)一次利息的年的時(shí)間還清貸款。每月結(jié)轉(zhuǎn)一次利息的年名義利率為年名義利率為12%。如果他希望一次性支付。如果他希望一次性支付60，000

22、元還清貸款，應(yīng)該在何時(shí)償還？元還清貸款，應(yīng)該在何時(shí)償還？v10、投資者每月初向一基金存入一筆款項(xiàng)，、投資者每月初向一基金存入一筆款項(xiàng)，5年后可以積存到年后可以積存到60，000元。如果前元。如果前2年每年每次存入次存入1，000元，后元，后3年每次存入年每次存入500元，試元，試計(jì)算每月結(jié)轉(zhuǎn)一次利息的名義利率。計(jì)算每月結(jié)轉(zhuǎn)一次利息的名義利率。11、投資者每年末向一年金存入、投資者每年末向一年金存入2，000元。如果在前元。如果在前2年的投資按年的投資按6%的年實(shí)際利率計(jì)算，在后的年實(shí)際利率計(jì)算，在后2年的投資年的投資按按5%的年實(shí)際利率計(jì)算，投資者在第四年末可以積的年實(shí)際利率計(jì)算，投資者在第四

23、年末可以積存多少價(jià)值。存多少價(jià)值。v12、投資者每年末向一基金存入、投資者每年末向一基金存入2，000元。元。如果基金在前如果基金在前2年收益率為年收益率為6%，在后，在后2年的年年的年收益率為收益率為5%，投資者在第四年可以積存多少，投資者在第四年可以積存多少價(jià)值。價(jià)值。題1。元1363200010000012%860 xax題2。v。元279432000%610sP 題3元20.1834120012%6123aP元97.33872)12%61 (20012312%6123as元71.26004)12%61 (2006912%6123aV題4元60881)1 (10000%62010%620

24、PaPis 元41898)1 (10000%610%620PaPis 題5萬(wàn)元194168. 310%851iaP萬(wàn)元173897. 2105%852viaP萬(wàn)元631935. 43P題6)1()1 (3iPiPann4)1 (ni。第1章練習(xí)題1投資投資1在利息強(qiáng)度為在利息強(qiáng)度為 的情況下，經(jīng)過(guò)的情況下，經(jīng)過(guò)27.72年將增加到年將增加到2，在每，在每2年計(jì)息一次的年名年計(jì)息一次的年名義利率義利率 的情況下，經(jīng)過(guò)的情況下，經(jīng)過(guò)n年增加到年增加到7.04，求，求n。272.27e04. 7)21 (2n80n解：2基金以每月計(jì)息一次的年名義利率基金以每月計(jì)息一次的年名義利率12%積累，基積累，基金金B(yǎng)以利息強(qiáng)度以利息強(qiáng)度t/6積累，在時(shí)刻積累，在時(shí)刻t=0.兩筆基金存入的兩筆基金存