第16講不等式(組)的應用

1、第十六講 不等式（組）的應用在客觀世界中，相等的關系是相對的、局部的，不等的關系是絕對的、普遍的，因此，我們常常需要比較一些量的大小或者對某個量進行估計，列出不等式(組)，運用不等式(組)的相關知識予以求解。 不等式(組)的應用主要表現(xiàn)在：作差或作商比較數(shù)的大?。磺蟠鷶?shù)式的取值范圍；求代數(shù)式的最值，列不等式(組)解應用題。 列不等式(組)解應用題與列方程解應用題的步驟相仿，一般步驟是： 1、弄清題意和題中的數(shù)量關系，用字母表示未知數(shù)； 2、找出能夠表示題目全部含義的一個或幾個不等關系； 3、列出不等式(組)；4、解這個不等式(組)，求出解集并作答。例題 【例1】 給出四個自然數(shù)a，b、c、d，

2、其中每三個數(shù)之和分別是180、197、208、222，則a，b、c、d中最大的數(shù)是 。 (“希望杯”邀請賽試題) 思路點撥 較繁的一般解法是解關于a，b、c、d的四元一次方程組由題意知a，b、c、d互不相等，不妨設a<b<c<d，思維定向，整體考慮可優(yōu)化解題過程。 【例2】 甲從一個魚攤上買了三條魚，平均每條a元，又從另一個魚攤上買了兩條魚，平均每條b元，后來他又以每條元的價格把魚全部賣給了乙，結果發(fā)現(xiàn)賠了錢，原因是( )。Aa>b Ba<b Ca=b D與a和b的大小無關 (山東省競賽題)思路點撥 把買賣的錢數(shù)作差比較，推導出a與b的關系。注： 學習不等式 (1

3、)基本簡單 許多人非常不重視基本的東西，甚至輕視它，“基本”應該等于“重要”加上“簡單”。 (2)懂會對“懂”有時只是浮面的，只是形式上的了解，還必須經(jīng)過組織與整理，融會貫通，并從問題的演練中不斷地發(fā)現(xiàn)自己不會的地方，才可以逐漸達到“真會”的地步。在解一些涉及到多個變元的數(shù)學問題時，題設條件并沒有給出變元的大小順序，若給它們假設一個大小順序，并不影響命題的成立，則給問題的解決增加了一個可供使用的條件，從而降低問題的難度，這種方法叫排序法 【例3】已知是彼此互不相等的正整數(shù)，它們的和等于159，求其中最小數(shù)a1的最大值。 (北京市競賽題) 思路點撥 設則a1+a2+a3+a7=159，解題的關鍵

4、是怎樣把多元等式轉化為只含a1o的不等式，這里要用到整數(shù)的如下性質：設a、b為整數(shù)，若a<b，則a+1b?！纠?】現(xiàn)計劃把甲種貨物1240噸和乙種貨物880噸用一列貨車運往某地，已知這列貨車掛有A、B兩種不同規(guī)格的貨車廂共40節(jié)，使用A型車廂每節(jié)費用為6000元，使用B型車廂每節(jié)費用為8000元 (1)設運送這批貨物的總費用為y萬元，這列貨車掛A型車廂x節(jié)，試寫出y與x之間的關系式： (2)如果每節(jié)A型車廂最多可裝甲種貨物35噸和乙種貨物15噸，每節(jié)B型車廂最多可裝甲種貨物25噸和乙種貨物35噸，裝貨時按此要求安排A、B兩種車廂的節(jié)數(shù)，那么共有哪幾種安排車廂的方案? (3)在上述方案中，

5、哪個方案運費最省?最少運費為多少元? (廣州市中考題) 思路點撥 (2)解關于x的不等式組，由正整數(shù)x的值確定安排車廂的不同方案。 【例5】 某錢幣收藏愛好者想把3.50元紙幣兌換成1分、2分、5分的硬幣，他要求硬幣總數(shù)為150枚，且每種硬幣不少于20枚，5分的硬幣要多于2分的硬幣，請你據(jù)此設計兌換方案。 (河北省競賽題) 思路點撥 引入字母，列出含等式、不等式的混合組，把解方程組、解不等式組結合起來。 注： 從近年中考應用題中可以看出，應用題涉及我們日常生活中的經(jīng)營決策、商品買賣、方案設計，最佳效益等多方面，且呈現(xiàn)出數(shù)量關系復雜、背景新穎的趨勢為此，我們應對社會和自然充滿好奇心，貼近生活實際

6、，關心c社會熱點，加強應用數(shù)學的意識，努力用數(shù)學的思想和方法研究解決實際問題，同時在解題中側重于與解答有關聯(lián)的數(shù)量關系進行分析，不必追求那些自己一時不易弄懂的背景材料的實際意義。解含等式、不等式組成的混合型問題的基本策略是，通過消元轉化成只舍有一個未知數(shù)的不等式(組)，解不等式(組)通近求解，從而解決相關問題。 【例6】 (江蘇省常州市中考題)某校為了獎勵在數(shù)學競賽中獲獎的學生，買了若干本課外讀物準備送給他們如果每人送3本，則還余8本；如果前面每人送5本，則最后一人得到的課外讀物不足3本設該校買了m本課外讀物，有x名學生獲獎，請解答下列問題： (1)用含x的代數(shù)式表示m； (2)求出該校的獲獎

7、人數(shù)及所買的課外讀物的本數(shù)。 思路點撥 (1)m=3x十8； (2) 依題意得， x是正整數(shù)，x=6，m=26。 答：該校的獲獎人數(shù)為6人，所買的課外讀中的本數(shù)為26。注：在一些實際問題中，往往含有：“不足”“不超過”不低于”等關鍵詞，將這些關鍵詞轉換成不等符號，就可以建立不等式，從而使問題得以解決。 【例7】(黑龍江省中考題)為了迎接2002年的世界杯足球賽，某足球協(xié)會舉辦了一次足球賽，其記分規(guī)則和獎勵方案如下： 勝一場 平一場負一場積分310獎金(元/人)15007000當比賽進行到第12輪結束時(每隊需要比賽12場)，A隊共積19分。(1)請通過計算，判斷A隊勝、平、負各九場? (2)若

8、每賽一場，每個參賽隊員得出場費500元，設A隊其中一名，參賽隊員所得的獎金和出場費的和為W(元)，試求W的最大值。 思路點撥 設A隊勝x場，平y(tǒng)場，負z場，則有 ， 解得 由題意可知x0，y0，z0，且x、y、z均為整數(shù)， 解得 3x6， x=4，5，6。 A隊勝4場，平7場，負1場；或勝5場，平4場，負3場；或勝6場，平1場，負5場 (2)W=(1500+500)x+(700十500)y+ 500z=600x十19300， 觀察代數(shù)式600x+19300，發(fā)現(xiàn)x越小，W越大。 當x=4時，W最大值=16900元。 注： 題中有兩個明顯的相等關系，可以列出兩個方程，但問題中迫切需要求出三個未知

9、量，利用題中隱含的不等關系“三個未知量都是非負整數(shù)”建立不等式組，確定未知量的取值范圍這實際上也是利用不等式求不定方程組的整數(shù)解的一種重要方法?！纠?】 商業(yè)大廈購進某種商品1000件，銷售價定為購進價的125現(xiàn)計劃節(jié)日期間按原定銷售價讓利10，售出至多100件商品，而在銷售淡季按原定銷售價的60大甩賣，為使全部商品售完后贏利，在節(jié)日和淡季外要按原定價銷售至少多少件商品? 思路點撥 設購進價為a元，按原定價銷售x件，節(jié)日讓利銷售y件，則淡季銷售(1000xy)件。 依題意有 125ax+125(110)ay+125x60a(1000x-y)>1000a 即4x+3y>2000， y

10、100， 4x>20003y1700， 又x是整數(shù)，x425。 所以，在節(jié)日和淡季外要按原定價銷售至少435件商品才能贏利。 注：充分利用“贏利”這一不等關系，贏利即銷售金頗大于成本，題目中并沒有包含x、y的等量關系，但利用y100和不等式的傳遞性建立關于x的不等式，從而求出x的取值范圍。 【例9】 (江蘇省競賽試題)貨輪上卸下若干只箱子，其總重量為10t，每只箱子的重量不超過1t，為保證能把這些箱子一次運走，問至少需要多少輛載重3t的汽車? 思路點撥 設共需n輛汽車，它們運走的重量依次為a1，a2，an則2ai3(I=1，2，n)，ala2an=102n103n，解得 車子數(shù)n應為整數(shù)

11、， n=4或5，但4輛車子不夠例如有13只箱子，每只重量為，而3×3，4×3，即每輛車子只能運走3只箱子，4輛車子只能運走12只箱子，還剩一只箱子，故需5輛汽車。學歷訓練1若方程只有負數(shù)根，則a的取值范圍是 。2若方程組的解x、y都是正數(shù)，則m的取值范圍是 (河南省中考題)3某化工廠2001年12月在制定2002年某種化肥的生產(chǎn)計劃時，收集了如下信息： (1)生產(chǎn)該種化肥的工人數(shù)不能超過200人； (2)每個工人全年工作時數(shù)不得多于2100個； (3)預計2002年該化肥至少可售銷80000袋； (4)每生產(chǎn)一袋該化肥需要工時4個； (5)每袋該化肥需要原料20千克； (6

12、)現(xiàn)庫存原料800噸，本月還需用200噸，2002年可以補充1200噸。 根據(jù)上述數(shù)據(jù)，確定2002年該種化肥的生產(chǎn)袋數(shù)的范圍是 。 (江蘇徐州中考題) ：4設，則P、Q的大小關系是（ ）。AP>Q BP<Q CP=Q D不能確定5某種出租車的收費標準是：起步價7元(即行駛距離不超過3千米都需付7元車費)，超過3千米以后每增加1千米，加收24元(不足1千米按1千米計)某人乘這種出租車從甲地到乙地共支付車費19元，設此人從甲地到乙地經(jīng)過的路 程是x千米，那么x的最大值是( ) A11 B3 C7 D5 (南京市中考題)6韓日“世界杯“期間重慶球迷一行56人從旅館乘出租車到球場為中國隊

13、加油，現(xiàn)有A、B兩個出租車隊，A隊比B隊少3輛車，若全部安排乘A隊的車，每輛坐5人，車不夠，每輛坐6人，有的車未坐滿；若全部安排乘B隊的車，每輛車坐4人，車不夠，每輛車坐5人，有的車未坐滿，則A隊有出租車( )。 A11輛 B10輛 C 9輛 D8輛 (重慶市中考題)7為了能有效地使用電力資源，寧波市電業(yè)局從2002年1月起進行居民峰谷用電試點，每天8：00至22：00用電每千瓦時056元(“峰電價)，22：00至次日8：00每千瓦時028元(“谷電”價)，而目前不使用“峰谷”電的居民用電每千瓦時053元。(1)一居民家庭在某月使用“峰谷”電后，付電費952元，經(jīng)測算比不使用“峰谷”電節(jié)約10

14、8元，問該家庭當月使用“峰電”和“谷電”各多少千瓦時?(2)當“峰電”用量不超過每月總用電量的百分之幾時，使用“谷電”合算?(精確到1) (寧波市中考題)8為了保護環(huán)境，某企業(yè)決定購買10臺污水處理設備現(xiàn)有A、B兩種型號的設備，其中每臺的價格、月處理污水量及年消耗費如下表：A型B型價格(萬元臺)1210處理污水量(噸月)240200年消耗費(萬元臺)11經(jīng)預算，該企業(yè)購買設備的資金不高于105萬元。(1)請你設計該企業(yè)有幾種購買方案；(2)若企業(yè)每月產(chǎn)生的污水量為2040噸，為了節(jié)約資金，應選擇哪種購買方案；(3)在第(2)問的條件下，若每臺設備的使用年限為10年，污水廠處理污水費為每噸10元

15、，請你計算，該企業(yè)自己處理污水與將污水排到污水廠處理相比較，l0年節(jié)約資金多少萬元?(注：企業(yè)處理污水的費用包括購買設備的資金和消耗費)(黑龍江省中考題)9大、中、小三個正整數(shù)，大數(shù)與中數(shù)之和等于2003，中數(shù)減小數(shù)之差等于1000，那么這三個正整數(shù)的和為 。 (北京市競賽題)10已知a+b+c=0，a>b>c，則的取值范圍是 。 (江蘇省競賽題)11適合方程的正整數(shù)x的值是 。12 設為自然數(shù)，且，又，則的最大值是 (安徽省競賽題)13正五邊形廣場ABCDE的周長為2000m，甲、乙兩人分別從A、C兩點同時出發(fā)繞廣場沿ABCDEA的方向行走，甲的速度為50mmIm，乙的速度為46

16、mmin，則出發(fā)后經(jīng)過 min，甲、乙第一次行走在同一條邊上 (河北省競賽題)14如果，那么( )。 A(x+1)(x一1)>0 B(x+1)(x一1)<0 C(x+1)(x一1)0 D(x+1)(x一1)0 (山東省競賽題)15小林擬將1，2，n這n個數(shù)輸入電腦，求平均數(shù)當他認為輸入完畢時，電腦顯示只輸入了(n一1)個數(shù)，平均數(shù)為35，假設這(n一1)個數(shù)輸入無誤，則漏輸入的一個數(shù)為( )。 A10 B53 C56 D67 (江蘇省競賽題)16已知0a一b1且1a+b4，則a的取值范圍是( )。 A1ao2 B2a3 ca Da (重慶市競賽題)17某果品公司急需將一批不易存放的

17、水果從A市運到B市銷售，現(xiàn)有三家運輸公司可供選擇，這三家運輸公司提供的信息如下：運輸單位運輸速度(千米時)運輸費用(元千米)包裝與裝卸時間(時)包裝與裝卸費用(元)甲公司60641500乙公司50821000丙公司100103700解答下列問題：(1)若乙、丙兩家公司的包裝與裝卸及運輸?shù)馁M用總和恰好是甲公司的2倍，求A、B兩市的距離(精確到個位)；(2)如果A、B兩市的距離為S千米，且這批水果在包裝與裝卸及運輸過程上損耗為300元時，那么要使果晶公司支付的總費用(包裝與裝卸費用、運輸費用及損耗三項之和)最小，應選擇哪家公司? (南通市中考題)18今有濃度為5、8、9的甲、乙、丙三種鹽水分別為6

18、0克、60克、47克，現(xiàn)要配制濃度為7的鹽水100克，問甲種鹽水最多可用多少克?最少可用多少克? (北京市競賽題)19某企業(yè)有員工300人生產(chǎn)A種產(chǎn)品，平均每人每年可創(chuàng)造利潤m萬元(m為大于零的常數(shù))為減員增效，決定從中調配x人去生產(chǎn)新開發(fā)的B種產(chǎn)品根據(jù)評估，調配后繼續(xù)生產(chǎn)A種產(chǎn)品的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤可增加20，生產(chǎn)B種產(chǎn)品的員工平均每人每年可創(chuàng)造利潤154m萬元。(1)調配后企業(yè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品的年利潤為 萬元，生產(chǎn)月種產(chǎn)品的年利潤為 萬元(用含rn的代數(shù)式表示)若設調配后企業(yè)全年的總利潤為y萬元，則y關于x的關系式為 ；(2)若要求調配后企業(yè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品的年利潤不少于調配前企業(yè)年利潤的五分之四，生產(chǎn)B種產(chǎn)品的年利潤大于調配前企業(yè)年利潤的一半，應有哪幾種調配方案?請設計出來，并指出其中哪種方案全年總利潤最大(必要時運算過程可保留3個有效數(shù)字)。(3)企業(yè)決定將(2)中的年最大總利潤(m2)繼續(xù)投資開發(fā)新產(chǎn)品，現(xiàn)有六種產(chǎn)品可供選擇(不得重復投資同一種產(chǎn)品)，各產(chǎn)品所需資金以及所獲利潤如下表：產(chǎn)品CDEF