第08章 單因素方差分析ppt課件

1、第八章第八章 單要素方差分析單要素方差分析引言、單要素方差分析的概念引言、單要素方差分析的概念 前面我們學(xué)習(xí)了單樣本和雙樣本的顯著性檢驗(yàn)方法。在前面我們學(xué)習(xí)了單樣本和雙樣本的顯著性檢驗(yàn)方法。在科研活動(dòng)中，有很多情況是要檢驗(yàn)的不止兩個(gè)樣本，比如：科研活動(dòng)中，有很多情況是要檢驗(yàn)的不止兩個(gè)樣本，比如：例例8.1 某學(xué)者培育了一個(gè)小麥新種類，為了掌握該新種類與某學(xué)者培育了一個(gè)小麥新種類，為了掌握該新種類與現(xiàn)有其他現(xiàn)有其他4個(gè)種類的株高之間能否有顯著差別，做了個(gè)種類的株高之間能否有顯著差別，做了5個(gè)種類個(gè)種類的比較實(shí)驗(yàn)，結(jié)果見(jiàn)表的比較實(shí)驗(yàn)，結(jié)果見(jiàn)表8-1，問(wèn)，問(wèn)5個(gè)小麥種類間能否有差別？個(gè)小麥種類間能否

2、有差別？正確的檢驗(yàn)結(jié)果正確的檢驗(yàn)結(jié)果是差別顯著。是差別顯著。假設(shè)我們用一對(duì)一的假設(shè)我們用一對(duì)一的 t 檢驗(yàn)，檢驗(yàn)， 共需檢驗(yàn)共需檢驗(yàn) 對(duì)對(duì) 。1025=C 假設(shè)每一對(duì)檢驗(yàn)接受零假設(shè)的概率都是假設(shè)每一對(duì)檢驗(yàn)接受零假設(shè)的概率都是1-=0.95，而且，而且這些檢驗(yàn)都是獨(dú)立的，這些檢驗(yàn)都是獨(dú)立的， 那么那么10對(duì)接受的概率對(duì)接受的概率0.95)10=0.60， =1-0.60=0.40，顯然，犯顯然，犯型錯(cuò)誤的概率明顯添加。型錯(cuò)誤的概率明顯添加。 那么，如何處理這類問(wèn)題的檢驗(yàn)?zāi)?？最好的方法就是那么，如何處理這類問(wèn)題的檢驗(yàn)?zāi)?？最好的方法就是今天所講的方差分析。今天所講的方差分析。 R. A. Fishe

3、r1928發(fā)明出方差分析方法發(fā)明出方差分析方法analysis variance，ANOVA，也就是前面我們所學(xué)的，也就是前面我們所學(xué)的F檢驗(yàn)。方差檢驗(yàn)。方差分析為一類特定情況下的統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)，它是兩樣本平均數(shù)分析為一類特定情況下的統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)，它是兩樣本平均數(shù)差別顯著性檢驗(yàn)的一種延伸。對(duì)于一個(gè)要素不同處置間的差別顯著性檢驗(yàn)的一種延伸。對(duì)于一個(gè)要素不同處置間的F檢驗(yàn)，我們稱作單要素方差分析檢驗(yàn)，我們稱作單要素方差分析(One-way ANOVA)。方差分析與方差分析與t檢驗(yàn)的區(qū)別：檢驗(yàn)的區(qū)別： t檢驗(yàn)判別兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)間的差別顯著性；方差分析檢驗(yàn)判別兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)間的差別顯著性；方差分析可同時(shí)

4、判別多組數(shù)據(jù)平均數(shù)間的差別顯著性?？赏瑫r(shí)判別多組數(shù)據(jù)平均數(shù)間的差別顯著性。 在一個(gè)多處置實(shí)驗(yàn)中，可以得出一系列不同的觀測(cè)值。呵斥觀測(cè)值不同的緣由是多方面的，有的是處置不同引起的，處置效應(yīng)或條件變異，有的是實(shí)驗(yàn)過(guò)程中偶爾性要素的干擾和丈量誤差所致，既實(shí)驗(yàn)誤差。方差分析的根本思想是將丈量數(shù)據(jù)的總變異按照變異緣由不同分解為處置效應(yīng)和實(shí)驗(yàn)誤差，并作出其數(shù)量估計(jì)。 經(jīng)過(guò)方差比較以確定各種緣由在總變異中所占的重要程度，即用途置效應(yīng)和實(shí)驗(yàn)誤差在一定意義下進(jìn)展比較，如二者相差不大，闡明實(shí)驗(yàn)處置對(duì)目的影響不大，如二者相差較大，處置效應(yīng)比實(shí)驗(yàn)誤差大得多，闡明實(shí)驗(yàn)處置影響是很大的，不可忽視。從而作為統(tǒng)計(jì)推斷。方差分

5、析的根本原理一平方和的分解一平方和的分解 一、平方和的分解與自在度的分解一、平方和的分解與自在度的分解=njijixx1.1iixnx =(i=1,2,3,(i=1,2,3,，a) a) =ainjijxx11.1xanx =“. .表示對(duì)一個(gè)下標(biāo)的表示對(duì)一個(gè)下標(biāo)的和和 可驗(yàn)證如下可驗(yàn)證如下3 3定理：定理：=aniijxx1.0)(=ajixx1.0)(=ainjiijxx11.0)(.xxij.xxxxiiij=)()(.xxxxiiij=ainjijxx112.)(211. )()(=ainjiiijxxxx=ainjiijxx112.)(=ainjiiijxxxx11.)(2=ainj

6、ixx112.)(0)(11.=ainjiijxx因?yàn)椋?)(211.=ainjiiijxxxx所以：=ainjijxx112.)(由此，=ainjiijxx112.)(=ainjixx112.)(這就是平方和的可分割性，即：這就是平方和的可分割性，即：總變異平方和總變異平方和=誤差變異平方和誤差變異平方和+處置變異平方和處置變異平方和 =ainjijTxxSS112.)(=aiiAxxnSS12.)(ATeSSSSSS=用用SSTSST表示總平方和表示總平方和: : 用用SSASSA表示處置平方和：表示處置平方和： 用用SSeSSe表示誤差平方和：表示誤差平方和： 二自在度的分解二自在度的分

7、解 一、平方和的分解與自在度的分解一、平方和的分解與自在度的分解如平方和的最后分割公式：如平方和的最后分割公式： 由于在計(jì)算平方和時(shí)，資料中的全部數(shù)據(jù)遭到一個(gè)條件由于在計(jì)算平方和時(shí)，資料中的全部數(shù)據(jù)遭到一個(gè)條件限制，即限制，即 =aniijxx1.0)( ，所以總自在度應(yīng)等于數(shù)據(jù)，所以總自在度應(yīng)等于數(shù)據(jù) 總個(gè)數(shù)減去總個(gè)數(shù)減去1 1，即：，即： 1= andfT 對(duì)于樣本間的自在對(duì)于樣本間的自在dfA而言，由于用而言，由于用 計(jì)算樣本間平方計(jì)算樣本間平方和時(shí)，和時(shí)， 也遭到一個(gè)條件限制，即也遭到一個(gè)條件限制，即 ，所以，所以樣本間的自在度為樣本總數(shù)減去樣本間的自在度為樣本總數(shù)減去1，即：，即：

8、。 . ix. ix=ajixx1.0)(1= adfA 對(duì)于樣本內(nèi)的自在度對(duì)于樣本內(nèi)的自在度dfedfe而言，由于在計(jì)算樣本內(nèi)平而言，由于在計(jì)算樣本內(nèi)平方和時(shí)，要遭到方和時(shí)，要遭到a a個(gè)條件限制，即：個(gè)條件限制，即： ，所，所以樣本內(nèi)的自在度就等于數(shù)據(jù)總個(gè)數(shù)減去樣本總數(shù)，即：以樣本內(nèi)的自在度就等于數(shù)據(jù)總個(gè)數(shù)減去樣本總數(shù)，即： 。 =ainjiijxx11.0)() 1( =naaandfe那么，總自在度的分割為：那么，總自在度的分割為： eATdfdfnaaandf=) 1() 1(1為了估計(jì)為了估計(jì)22，用用SSeSSe除以相應(yīng)的自在度得誤差均方除以相應(yīng)的自在度得誤差均方MSeMSe：

9、aanSSMSee=用用SSASSA除以相應(yīng)的自在度得處置均方除以相應(yīng)的自在度得處置均方MSAMSA： 1=aSSMSAA二、效應(yīng)模型及其均方期望二、效應(yīng)模型及其均方期望一固定效應(yīng)模型與隨機(jī)效應(yīng)模型的概念一固定效應(yīng)模型與隨機(jī)效應(yīng)模型的概念 對(duì)于單要素方差分析而言，常用如下線性統(tǒng)計(jì)模型對(duì)于單要素方差分析而言，常用如下線性統(tǒng)計(jì)模型linear statistical model描畫(huà)每一觀測(cè)值：描畫(huà)每一觀測(cè)值： ijiijx= = =njai, 2 , 1, 2 , 1式中：式中：xij第第i處置程度下的第處置程度下的第j次觀測(cè)值；次觀測(cè)值； 一切觀測(cè)值的總平均數(shù)；一切觀測(cè)值的總平均數(shù)； i第第i次

10、處置效應(yīng)；次處置效應(yīng)； ij隨機(jī)誤差成分。隨機(jī)誤差成分。 方差分析的目的就是要檢驗(yàn)處置效應(yīng)的有無(wú)。要求模方差分析的目的就是要檢驗(yàn)處置效應(yīng)的有無(wú)。要求模型中的隨機(jī)誤差成分型中的隨機(jī)誤差成分ijij服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布N N0 0，22的獨(dú)立的獨(dú)立隨機(jī)變量，并要求各處置的方差隨機(jī)變量，并要求各處置的方差22相等。相等。 上述模型中，包括兩類不同的處置效應(yīng)：固定效應(yīng)上述模型中，包括兩類不同的處置效應(yīng)：固定效應(yīng)fixed fixed effecteffect和隨機(jī)效應(yīng)和隨機(jī)效應(yīng)random effectrandom effect。固定效應(yīng)是由固。固定效應(yīng)是由固定要素定要素fixed factorf

11、ixed factor所引起的效應(yīng)，隨機(jī)效應(yīng)是由隨機(jī)所引起的效應(yīng)，隨機(jī)效應(yīng)是由隨機(jī)要素要素random factorrandom factor所引起的效應(yīng)。處置固定要素所用所引起的效應(yīng)。處置固定要素所用的模型稱為固定效應(yīng)模型的模型稱為固定效應(yīng)模型fixed effect modelfixed effect model，處置隨，處置隨機(jī)要素所用的模型稱為隨機(jī)效應(yīng)模型機(jī)要素所用的模型稱為隨機(jī)效應(yīng)模型random effect random effect modelmodel。那么，什么屬固定要素？什么屬隨機(jī)要素？。那么，什么屬固定要素？什么屬隨機(jī)要素？ 一言以蔽之，不同屬性的處置或同一屬性不同量級(jí)

12、的處一言以蔽之，不同屬性的處置或同一屬性不同量級(jí)的處置屬固定要素；而同一屬性無(wú)不同量級(jí)之分的組別屬隨機(jī)要置屬固定要素；而同一屬性無(wú)不同量級(jí)之分的組別屬隨機(jī)要素。固定要素如：幾個(gè)作物種類、幾種不同治療方案、幾種素。固定要素如：幾個(gè)作物種類、幾種不同治療方案、幾種不同化學(xué)藥物，幾種不同的實(shí)驗(yàn)溫度、幾種不同的實(shí)驗(yàn)濃度不同化學(xué)藥物，幾種不同的實(shí)驗(yàn)溫度、幾種不同的實(shí)驗(yàn)濃度等；隨機(jī)要素如：動(dòng)物的假設(shè)干窩組、農(nóng)家肥的假設(shè)干分組等；隨機(jī)要素如：動(dòng)物的假設(shè)干窩組、農(nóng)家肥的假設(shè)干分組等。等。 為什么要區(qū)分固定要素和隨機(jī)要素呢？這是由于固定要為什么要區(qū)分固定要素和隨機(jī)要素呢？這是由于固定要素和隨機(jī)要素方差分析的效應(yīng)

13、模型及其均方期望不同。素和隨機(jī)要素方差分析的效應(yīng)模型及其均方期望不同。 二效應(yīng)模型及其均方期望二效應(yīng)模型及其均方期望 二、效應(yīng)模型及其均方期望二、效應(yīng)模型及其均方期望效應(yīng)模型：效應(yīng)模型： 如上所述，對(duì)于一切觀測(cè)值都可用下述線性模型描畫(huà)：如上所述，對(duì)于一切觀測(cè)值都可用下述線性模型描畫(huà)： ijiijx= = =njai, 2 , 1, 2 , 1 然而，對(duì)于固定效應(yīng)模型而言，只需一個(gè)隨機(jī)變量然而，對(duì)于固定效應(yīng)模型而言，只需一個(gè)隨機(jī)變量ij ij ，處置平均數(shù)與總平均數(shù)的離差，處置平均數(shù)與總平均數(shù)的離差ii是個(gè)常量。因此：是個(gè)常量。因此： =aiaiiixx11.0)( 而對(duì)于隨機(jī)效應(yīng)模型而言，有兩

14、個(gè)隨機(jī)變量而對(duì)于隨機(jī)效應(yīng)模型而言，有兩個(gè)隨機(jī)變量i和和ij，處置，處置平均數(shù)與總平均數(shù)的離差平均數(shù)與總平均數(shù)的離差i不再是個(gè)常量因反復(fù)來(lái)自于無(wú)不再是個(gè)常量因反復(fù)來(lái)自于無(wú)限的總體，總體在變，限的總體，總體在變， i也在變，而是一個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量。也在變，而是一個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量。假設(shè)假設(shè)i具有方差具有方差2 2并且獨(dú)立于并且獨(dú)立于ij ，那么觀測(cè)值的方差為：，那么觀測(cè)值的方差為：var(xij)= 2 + 2 方差方差2和和2稱為方差分量稱為方差分量variance component。在。在這個(gè)模型中，要求這個(gè)模型中，要求ij為為NID(0, 2 )變量，變量， i為為NID(0, 2 ) 變量，變

15、量，NID表示獨(dú)立正態(tài)分布。表示獨(dú)立正態(tài)分布。 二、效應(yīng)模型及其均方期望二、效應(yīng)模型及其均方期望二效應(yīng)模型及其均方期望二效應(yīng)模型及其均方期望 均方期望：均方期望： 對(duì)于固定效應(yīng)模型而言，可以證明對(duì)于固定效應(yīng)模型而言，可以證明MSe是是2的無(wú)偏估計(jì)的無(wú)偏估計(jì)量。推導(dǎo)如下：量。推導(dǎo)如下： )(1)(eeeSSEanaanaSSEMSE=ainjiijxxEana112.)(1=ainjiiijiEana112.)(1=ainjiijEana112.)(1=ainjaiiijnEana1112.21222)(1=anaana用類似方法可求得：用類似方法可求得： =aiiAnanMSE122221，0

16、21= =i，0=i，=aiian1201，2)(=AMSE，即2)()(=eAMSEMSE對(duì)于固定效應(yīng)模型零假設(shè)對(duì)于固定效應(yīng)模型零假設(shè)H0H0：可以看出，只需當(dāng)可以看出，只需當(dāng)闡明各處置平均數(shù)間差別不顯著。闡明各處置平均數(shù)間差別不顯著。 對(duì)于隨機(jī)效應(yīng)模型而言，處置平均數(shù)與總平均數(shù)的離差對(duì)于隨機(jī)效應(yīng)模型而言，處置平均數(shù)與總平均數(shù)的離差ii不再是一個(gè)常量，而是服從不再是一個(gè)常量，而是服從N N0 0，2 2 的隨機(jī)變量。的隨機(jī)變量。因此，雖然因此，雖然 ，但，但 ，而不是固，而不是固定效應(yīng)的定效應(yīng)的 。因此，對(duì)于隨機(jī)。因此，對(duì)于隨機(jī)效應(yīng)模型，只需當(dāng)效應(yīng)模型，只需當(dāng) ， ，即，即 ，闡明各處置平均

17、數(shù)間差別不顯著。闡明各處置平均數(shù)間差別不顯著。 2)(=eMSE22)(nMSEA=aiiAnanMSE12222102=2)(=AMSE2)()(=eAMSEMSE 從上面分析可以看出，由于隨機(jī)模型和固定模型在設(shè)計(jì)從上面分析可以看出，由于隨機(jī)模型和固定模型在設(shè)計(jì)思想和統(tǒng)計(jì)推斷上有明顯不同，因此進(jìn)展方差分析時(shí)的公式思想和統(tǒng)計(jì)推斷上有明顯不同，因此進(jìn)展方差分析時(shí)的公式推導(dǎo)也有所不同，所推導(dǎo)的平方和及自在度的分解公式?jīng)]有推導(dǎo)也有所不同，所推導(dǎo)的平方和及自在度的分解公式?jīng)]有區(qū)別，但在進(jìn)展統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)假設(shè)檢驗(yàn)構(gòu)成的統(tǒng)計(jì)數(shù)是不同的。區(qū)別，但在進(jìn)展統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)假設(shè)檢驗(yàn)構(gòu)成的統(tǒng)計(jì)數(shù)是不同的。另外，模型分析的偏重

18、點(diǎn)也不完全一樣，方差期望值也不一另外，模型分析的偏重點(diǎn)也不完全一樣，方差期望值也不一佯，固定模型主要偏重于效應(yīng)值的估計(jì)和比較，而隨機(jī)模型佯，固定模型主要偏重于效應(yīng)值的估計(jì)和比較，而隨機(jī)模型那么偏重效應(yīng)方差的估計(jì)和檢驗(yàn)。因此，在進(jìn)展分析及實(shí)驗(yàn)?zāi)敲雌匦?yīng)方差的估計(jì)和檢驗(yàn)。因此，在進(jìn)展分析及實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)之前就要明確關(guān)于模型的根本假設(shè)。對(duì)于單要素方差分設(shè)計(jì)之前就要明確關(guān)于模型的根本假設(shè)。對(duì)于單要素方差分析來(lái)說(shuō)，兩種模型無(wú)多大區(qū)別。析來(lái)說(shuō)，兩種模型無(wú)多大區(qū)別。 一方差分析的檢驗(yàn)程序一方差分析的檢驗(yàn)程序 三、單要素方差分析的檢驗(yàn)及例題驗(yàn)算三、單要素方差分析的檢驗(yàn)及例題驗(yàn)算1 1、正規(guī)檢驗(yàn)程序、正規(guī)檢驗(yàn)程序

19、方差分析檢驗(yàn)方差分析檢驗(yàn) 1 假設(shè)假設(shè) 固定效應(yīng)模型：固定效應(yīng)模型： 0:210= =aH0:iAH隨機(jī)效應(yīng)模型：隨機(jī)效應(yīng)模型： 0:20=H0:2AH 2計(jì)算統(tǒng)計(jì)量；計(jì)算統(tǒng)計(jì)量； 3判別假設(shè)判別假設(shè) 固定模型：固定模型： 當(dāng)當(dāng)F0.05，接受，接受H0、回絕、回絕 ； 當(dāng)當(dāng)FF0.05，P0.05，回絕，回絕H0、接受、接受 。 隨機(jī)模型：隨機(jī)模型： 當(dāng)當(dāng)F0.05，接受，接受H0、回絕、回絕 ； 當(dāng)當(dāng)FF0.05，P0.05，回絕，回絕H0、接受、接受 。 0:iAH0:2AH0:iAH0:2AH 、假設(shè)回絕、假設(shè)回絕H0H0時(shí)進(jìn)展平均數(shù)成對(duì)檢驗(yàn)時(shí)進(jìn)展平均數(shù)成對(duì)檢驗(yàn) 方差齊性檢驗(yàn)方差齊性檢驗(yàn) 2、單要素方差分析的實(shí)戰(zhàn)檢驗(yàn)程序、單要素方差分析的實(shí)戰(zhàn)檢驗(yàn)程序 1 零假設(shè)：假設(shè)樣本間平均數(shù)差別不顯著；零假設(shè)：假設(shè)樣本間平均數(shù)差別不顯著； 2 方差齊性檢驗(yàn)方差齊性檢驗(yàn) 3 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量計(jì)算統(tǒng)計(jì)量 4 判別假設(shè)判別假設(shè) 當(dāng)當(dāng)F0.05，接受假設(shè)；，接受假設(shè)；當(dāng)當(dāng)FF0.05，P F4,20,0.05=2.87 F4,20,0.01=4.43，回絕假，回絕假設(shè)。設(shè)。24147.32總和總和0.7820