【試卷】2020年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

1、絕密本科目考試啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)本試卷共5頁(yè)，150分，考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘考試務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題10小題，每小題4分，共40分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)1. 已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)交集定義直接得結(jié)果.【詳解】，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.2. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)幾

2、何意義得，再根據(jù)復(fù)數(shù)乘法法則得結(jié)果.【詳解】由題意得，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)幾何意義以及復(fù)數(shù)乘法法則，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.3. 在的展開式中，的系數(shù)為（ ）A. B. 5C. D. 10【答案】C【解析】【分析】首先寫出展開式的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合通項(xiàng)公式確定的系數(shù)即可.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為：，令可得：，則的系數(shù)為：.故選：C.【點(diǎn)睛】二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問(wèn)題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來(lái)確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且nr，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；第二

3、步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng)4. 某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先確定幾何體的結(jié)構(gòu)特征，然后求解其表面積即可.【詳解】由題意可得，三棱柱的上下底面為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，側(cè)面為三個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，則其表面積為：.故選：D.【點(diǎn)睛】(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理(3)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平

4、面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和5. 已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】【分析】求出圓心的軌跡方程后，根據(jù)圓心到原點(diǎn)的距離減去半徑1可得答案.【詳解】設(shè)圓心，則，化簡(jiǎn)得，所以圓心的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)取得等號(hào)，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.6. 已知函數(shù)，則不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】作出函數(shù)和的圖象，觀察圖象可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋缘葍r(jià)于，在同一直角坐標(biāo)系中作出和的圖象如圖：兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)

5、為，不等式的解為或.所以不等式的解集為：.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了圖象法解不等式，屬于基礎(chǔ)題.7. 設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為是拋物線上異于的一點(diǎn)，過(guò)作于，則線段的垂直平分線（ ）A. 經(jīng)過(guò)點(diǎn)B. 經(jīng)過(guò)點(diǎn)C. 平行于直線D. 垂直于直線【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意不妨作出焦點(diǎn)在軸上的開口向右的拋物線，根據(jù)垂直平分線的定義和拋物線的定義可知，線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即求解.【詳解】如圖所示：因?yàn)榫€段的垂直平分線上的點(diǎn)到的距離相等，又點(diǎn)在拋物線上，根據(jù)定義可知，所以線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn).故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8. 在等差數(shù)列中，記，則數(shù)列（

6、 ）A. 有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B. 有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)C. 無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D. 無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)【答案】B【解析】【分析】首先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合數(shù)列中各個(gè)項(xiàng)數(shù)的符號(hào)和大小即可確定數(shù)列中是否存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng).【詳解】由題意可知，等差數(shù)列的公差，則其通項(xiàng)公式為：，注意到，且由可知，由可知數(shù)列不存在最小項(xiàng)，由于，故數(shù)列中正項(xiàng)只有有限項(xiàng)：，.故數(shù)列中存在最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列中項(xiàng)的符號(hào)問(wèn)題，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，屬于中等題.9. 已知，則“存在使得”是“”的（ ）A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件D

7、. 既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)充分條件，必要條件的定義，以及誘導(dǎo)公式分類討論即可判斷.【詳解】(1)當(dāng)存在使得時(shí)，若為偶數(shù)，則；若為奇數(shù)，則；(2)當(dāng)時(shí)，或，即或，亦即存在使得所以，“存在使得”是“”的充要條件.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件，必要條件的定義的應(yīng)用，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，涉及分類討論思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10. 2020年3月14日是全球首個(gè)國(guó)際圓周率日（ Day）歷史上，求圓周率的方法有多種，與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似數(shù)學(xué)家阿爾·卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正邊形的周長(zhǎng)和外切正邊形（各邊均與圓相切的正邊形）的周長(zhǎng)

8、，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值按照阿爾·卡西的方法，的近似值的表達(dá)式是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】計(jì)算出單位圓內(nèi)接正邊形和外切正邊形的周長(zhǎng)，利用它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值可得出結(jié)果.【詳解】單位圓內(nèi)接正邊形的每條邊所對(duì)應(yīng)的圓周角為，每條邊長(zhǎng)為，所以，單位圓的內(nèi)接正邊形的周長(zhǎng)為，單位圓的外切正邊形的每條邊長(zhǎng)為，其周長(zhǎng)為，則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查圓周率的近似值的計(jì)算，根據(jù)題意計(jì)算出單位圓內(nèi)接正邊形和外切正邊形的周長(zhǎng)是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11. 函數(shù)的定義域是_

9、【答案】【解析】【分析】根據(jù)分母不為零、真數(shù)大于零列不等式組，解得結(jié)果.【詳解】由題意得，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)定義域，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.12. 已知雙曲線，則C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為_；C的焦點(diǎn)到其漸近線的距離是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得出雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，并求得雙曲線的漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離.【詳解】在雙曲線中，則，則雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為，即，所以，雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及焦點(diǎn)到漸近

10、線的距離，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13. 已知正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P滿足，則_；_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得以及的值.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、，則點(diǎn)，因此，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的模和數(shù)量積的計(jì)算，建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14. 若函數(shù)的最大值為2，則常數(shù)的一個(gè)取值為_【答案】（均可）【解析】【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式以及輔助角公式即可求得，可得

11、，即可解出.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，故可?故答案為：（均可）.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和的正弦公式，輔助角公式的應(yīng)用，以及平方關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15. 為滿足人民對(duì)美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改，設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為，用的大小評(píng)價(jià)在這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如下圖所示.給出下列四個(gè)結(jié)論：在這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；在時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；甲企業(yè)在這三段時(shí)間中，在的污水治

12、理能力最強(qiáng)其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_【答案】【解析】【分析】根據(jù)定義逐一判斷，即可得到結(jié)果【詳解】表示區(qū)間端點(diǎn)連線斜率的負(fù)數(shù)，在這段時(shí)間內(nèi)，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反數(shù)比乙的大，因此甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；正確；甲企業(yè)在這三段時(shí)間中，甲企業(yè)在這段時(shí)間內(nèi)，甲的斜率最小，其相反數(shù)最大，即在的污水治理能力最強(qiáng)錯(cuò)誤；在時(shí)刻，甲切線的斜率比乙的小，所以甲切線的斜率的相反數(shù)比乙的大，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；正確；在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水打標(biāo)排放量以下，所以都已達(dá)標(biāo)；正確；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查斜率應(yīng)用、切線斜率應(yīng)用、函數(shù)圖象應(yīng)用，考查基本分析識(shí)別能力，屬中檔題

13、.三、解答題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16. 如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)（）求證：平面；（）求直線與平面所成角的正弦值【答案】（）證明見(jiàn)解析；（）.【解析】【分析】（）證明出四邊形為平行四邊形，可得出，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可計(jì)算出直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（）如下圖所示：在正方體中，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面；（）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則、，設(shè)平面的法向量為，由，得

14、，令，則，則.因此，直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，同時(shí)也考查了利用空間向量法計(jì)算直線與平面所成角的正弦值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.17. 在中，再?gòu)臈l件、條件這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知，求：（）a的值：（）和面積條件：；條件：注：如果選擇條件和條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分【答案】選擇條件（）8（）, ；選擇條件（）6（）, .【解析】【分析】選擇條件（）根據(jù)余弦定理直接求解，（）先根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系求得,再根據(jù)正弦定理求,最后根據(jù)三角形面積公式求結(jié)果；選擇條件（）先根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系求得，再根據(jù)正弦定理求結(jié)果，（）根據(jù)兩角和正弦公式求，再根據(jù)三角形面積公

15、式求結(jié)果.【詳解】選擇條件（）（）由正弦定理得：選擇條件（）由正弦定理得：（）【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理，三角形面積公式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.18. 某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案：方案一、方案二為了解該校學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設(shè)所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案否支持相互獨(dú)立（）分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；（）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人支持

16、方案一的概率；（）將該校學(xué)生支持方案的概率估計(jì)值記為，假設(shè)該校一年級(jí)有500名男生和300名女生，除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為，試比較與的大小（結(jié)論不要求證明）【答案】（）該校男生支持方案一的概率為，該校女生支持方案一的概率為；（）,（）【解析】【分析】（）根據(jù)頻率估計(jì)概率，即得結(jié)果；（）先分類，再根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式以及分類計(jì)數(shù)加法公式求結(jié)果；（）先求，再根據(jù)頻率估計(jì)概率，即得大小.【詳解】（）該校男生支持方案一的概率為，該校女生支持方案一的概率為；（）3人中恰有2人支持方案一分兩種情況，（1）僅有兩個(gè)男生支持方案一，（2）僅有一個(gè)男生支持方案一，一個(gè)女生支持方案一，

17、所以3人中恰有2人支持方案一概率為：;（）【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率估計(jì)概率、獨(dú)立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.19. 已知函數(shù)（）求曲線的斜率等于的切線方程；（）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值【答案】（），（）.【解析】【分析】（）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由點(diǎn)斜式可得結(jié)果；（）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再得到切線在坐標(biāo)軸上的截距，進(jìn)一步得到三角形的面積，最后利用導(dǎo)數(shù)可求得最值.【詳解】（）因?yàn)椋裕O(shè)切點(diǎn)為，則，即，所以切點(diǎn)為，由點(diǎn)斜式可得切線方程為：，即.（）顯然，因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線方程為：，令，得，令，得，所以，不妨設(shè)時(shí)，

18、結(jié)果一樣，則，所以，由，得，由，得，所以在上遞減，在上遞增，所以時(shí)，取得極小值，也是最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于中檔題.20. 已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且（）求橢圓C的方程：（）過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓C于點(diǎn),直線分別交直線于點(diǎn)求的值【答案】（）；（）1.【解析】【分析】()由題意得到關(guān)于a,b的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程；()首先聯(lián)立直線與橢圓的方程，然后由直線MA,NA的方程確定點(diǎn)P,Q的縱坐標(biāo)，將線段長(zhǎng)度的比值轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)比值的問(wèn)題，進(jìn)一步結(jié)合韋達(dá)定理可證得，從而可得兩線段長(zhǎng)度的比值.【詳解】(1)設(shè)橢圓方程為：，由題意可得：，解得：

19、，故橢圓方程為：.(2)設(shè)，直線方程為：，與橢圓方程聯(lián)立可得：，即：，則：.直線MA的方程為：，令可得：，同理可得：.很明顯，且：，注意到：，而：，故.從而.【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題21. 已知是無(wú)窮數(shù)列給出兩個(gè)性質(zhì)：對(duì)于中任意兩項(xiàng)，在中都存在一項(xiàng)，使；對(duì)于中任意項(xiàng)，在中都存在兩項(xiàng)使得()若，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)，說(shuō)明理由；()若，判斷數(shù)列是否同時(shí)滿足性質(zhì)和性質(zhì)，說(shuō)明理由；()若是遞增數(shù)列，且同時(shí)滿足性

20、質(zhì)和性質(zhì)，證明：為等比數(shù)列.【答案】()詳見(jiàn)解析；()詳解解析；()證明詳見(jiàn)解析.【解析】【分析】()根據(jù)定義驗(yàn)證，即可判斷；()根據(jù)定義逐一驗(yàn)證，即可判斷；()解法一：首先，證明數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號(hào)，然后證明，最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列即可.解法二：首先假設(shè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)均為正數(shù)，然后證得成等比數(shù)列，之后證得成等比數(shù)列，同理即可證得數(shù)列為等比數(shù)列，從而命題得證.【詳解】()不具有性質(zhì)；()具有性質(zhì)；具有性質(zhì)；()解法一首先，證明數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號(hào)，不妨設(shè)恒為正數(shù)：顯然，假設(shè)數(shù)列中存在負(fù)項(xiàng)，設(shè)，第一種情況：若，即，由可知：存在，滿足，存在，滿足，由可知，從而，與數(shù)列的單調(diào)性矛盾，假設(shè)不成立.第二種情況：若，由知存在實(shí)數(shù)，滿足，由的定義可知：，另一方面，由數(shù)列的單調(diào)性可知：，這與的定義矛盾，假設(shè)不成立.同理可證得數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)恒為負(fù)數(shù).綜上可得，數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號(hào).其次，證明：利用性質(zhì)