數(shù)列通項(xiàng)、數(shù)列前n項(xiàng)和的求法例題+練習(xí)

1、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和、新課講授:求數(shù)列前N項(xiàng)和的方法1.公式法(1)等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和:特別的，當(dāng)前 n 項(xiàng)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，S2k 1(2k 1)g3k1，即前 n 項(xiàng)和為中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)。這個(gè)公式在很多時(shí)候可以簡(jiǎn)化運(yùn)算。(2)等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和：q=1 時(shí)，Snnana11 qq 1，Sn，特別要注意對(duì)公比的討論。1 q(3 )其他公式較常見(jiàn)公式:3123、Snk3丄n(n 1)2k 12例 1已知log3x2， 求x x Iog23xn的前 n 項(xiàng)和.2.錯(cuò)位相減法這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an bn的前 n 項(xiàng)和，其中 an、 bn分別是

2、等差數(shù)列和等比數(shù)列.例 3求和：Sn1 3x 5x27x3(2n 1)xn 1.例 4求數(shù)列,甲，前 n 項(xiàng)的和.2 22232n練習(xí)：求：Sn=1+5x+9x2+ +(4n-3)xn-1答案：當(dāng)x=1時(shí)，咅=1+5+9+ .+(4n-3) =2n2-n當(dāng)x工1時(shí)，Sn=記冬護(hù) +1-( 4n-3) xn例 2設(shè) Sn= 1+2+3+ +n, n N ,求f (n)(nSn32)Sn 1的最大值.1、Sn12n(n 1)2、Snn(n 1)(2 n 1)63.倒序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)(a1a

3、.).例 5求sin 1 sin 2sin23sin288sin289的值4.分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列, 若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可14,-r 7, a1歹）,?？的前1例 6求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和：11,a1 1 1練習(xí)：求數(shù)列12,24，38，?，（n丄3n 2,-an 項(xiàng)和。5.裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解,然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如:(1)anf(n 1)f(n)(2)sin1tan(n 1)co

4、s n cos(n 1)tan n(3)an1n(n 1)(4)(2n)2an(2n 1)(2n1)12n 1)(5)ann(n 1)( n 2)12n(n 1)(n1)(n 2)ann 21n(n 1) 2n2(n1) nn(n11) 2n例 9求數(shù)列一1,1 V2 V2例 10在數(shù)列an中，an例 11求證：cos0 cos1解:cos1 cos2cos0 cos1 cos1 cos21n 1nn 2 (n 1)2-,的前 n 項(xiàng)和.1ancos88 cos89cos88 cos89，則Sn11(n 1)2n-，求數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)的和.an 1cos1sin21tan(n 1) tan

5、 ncos n cos(n 1)原等式成立1丄丄丄練習(xí)：求3153563之和。6.合并法求和針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn.例 12 求 cos1 + cos2 + cos3 + + cos178 + cos179 的值.例 14在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中， 若玄5玄69,求log3a1log3a?log3a的值.7.利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來(lái)求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法.例 15求1 11 1111111之和.n個(gè)

6、1練習(xí)：求 5, 55, 555,，的前 n 項(xiàng)和。以上一個(gè) 7 種方法雖然各有其特點(diǎn)， 但總的原則是要善于改變?cè)瓟?shù)列的形式結(jié)構(gòu)， 使其能 進(jìn)行消項(xiàng)處理或能使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式以及其它已知的基本求和公式來(lái)解決，只要很好地把握這一規(guī)律，就能使數(shù)列求和化難為易，迎刃而解。求數(shù)列通項(xiàng)公式的八種方法、公式法（定義法）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)、累加、累乘法sin1（裂項(xiàng)）S1cos0 cosl1(tan 1sin11cos1 cos2tanO ) (tan21cos88 cos89（裂項(xiàng)求和）tan1 ) (tan3 tan2 ) tan89tan88 1sin 1(tan89ta

7、n 0 )=sin 1cot1cos1sin211131、累加法適用于：an 1anf（n）a2ai若an 1anf (n) (n 2)，則a3La2f(1) f(2)Lanf(n)兩邊分別相加得an 1a1f(n)例 1 已知數(shù)列an滿足an 1an2n 1,ai1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：由an 1an2n 1得an 1an2n 1則所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為例 2 已知數(shù)列an滿足an 1an3n1,a13，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解法一：由an 1an2 3n1得an 1nan23an(ann(2 32(3n123(1an 1) (an 111)3n23n1)3(2L(n3n3n所以an

8、3n1.解法二：an3an2 3nan23n32(n 1)3則ann 3n2、累乘法適用于:an 2) Ln 231)33 )(a3L(n(21)a?)32(a21)(2aj31a11) 31) 31兩邊除以3n1an 1，得盯a.3n13n 1，故扌(1 3n1)12n3122 3n3nan 1f(n)an113an 1若 -anf(n),則竺a1a3f(1),f(2),La2an 1L，f(n)an兩邊分別相乘得，a例 3 已知數(shù)列解：因?yàn)閍n 1anAan 12(n1a1aia*滿足an2(n1)5nan，an 1an 21 1)5n12(2n 1n(na3a2a2a12(naiaif(

9、k)1)5nan,ai3，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。3，所以an0，則也an2(n 1)5n，故3 2n 121) L 3 2 5(nn(n 1)n!1)5n 2 L1) (n 2) L2(22 131) 522(1 1) 51 3所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann(n 1)5n!.三、待定系數(shù)法適用于an 1qanf(n)分析：通過(guò)湊配可轉(zhuǎn)化為an 11f (n)1f( n);解題基本步驟:1、確定f(n)2、設(shè)等比數(shù)列an1f (n)，公比為23、列出關(guān)系式1f(n) 2&1f (n)4、比較系數(shù)求5、解得數(shù)列an1f (n)的通項(xiàng)公式6、解得數(shù)列an的通項(xiàng)公式例 4 已知數(shù)列an中，a1

10、1,an2a. 11(n 2)，求數(shù)列 務(wù) 的通項(xiàng)公式。113410,解法一：Q an2an i1(n 2),又Q ai1 2, an1是首項(xiàng)為 2,公比為 2 的等比數(shù)列an12n，即an2n1解法二：Q an2an 11(n2),兩式相減得an1an2(anan1)(n2)，故數(shù)列an1an是首項(xiàng)為 2,公比為 2 的等比數(shù)列，再用累加法的例 5 已知數(shù)列an滿足an 12an4 3n 1,印1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解法一：設(shè)an 113n2(an3n1)，比較系數(shù)得14,22,則數(shù)列an4 3n 1是首項(xiàng)為a14 31 15，公比為 2 的等比數(shù)列，所以an4 3n 15 2n 1即a

11、n4 3n 152* 1解法1二:兩邊同時(shí)除以3n 1得:an 13n 123an43n32，下面解法略注意:例 6 已知數(shù)列an滿足an 12an3n24n5,a11,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：2設(shè)an 1x(n 1) y(n1)z2(an2xnynz)比較系數(shù)得x 3,y10,z18,所以an 13(n 1)210( n1)182(an3n210n18)由a123 110 1 181 31320,得 K3n210n 180則苑3(n 1)10(n182，故數(shù)列an3n210n 18為以an3n210n 182a13 110 1 181 3132為首項(xiàng)，以 2 為公比的等比數(shù)列，因此2n 1

12、n 42an3n 10n 1832 2，則an2 3n 10n 18。比較系數(shù)得，x也，y也416由|gq 1也厲|g7空41644空必0,得igan爐164416ig24注意：形如an 2pan iqan時(shí)將an作為f(n)求解分析：原遞推式可化為an 2an 1( p)(an 1an)的形式，比較系數(shù)可求得an 1an為等比數(shù)列。例 7 已知數(shù)列an滿足an 25an 16an, a11,a22，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：設(shè)an 2an 1(5)(an 1ain)比較系數(shù)得3或2，不妨取2,則an 22an 13(an 12an)，則an12an是首項(xiàng)為 4，公比為 3 的等比數(shù)列an 1

13、2an4 3n 1，所以a.4 3n 15 2n 1四、 迭代法例 8 已知數(shù)列an滿足an1a；(n 1)2,印5,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)閍n 1a；(n 1)2，所以n(n 1)3n 1n! 22又a15，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an5!。注：本題還可綜合利用累乘法和對(duì)數(shù)變換法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。五、 變性轉(zhuǎn)化法1、對(duì)數(shù)變換法適用于指數(shù)關(guān)系的遞推公式,n5例 9 已知數(shù)列an滿足an12 3an，a17，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)閍n123na；,印7，所以an0,an10。,數(shù)列兩邊取常用對(duì)數(shù)得lg an 15lg annlg3Ig2設(shè)lg an 1x(n 1) y 5(lg

14、a.xn y)(同類型四)410,所以數(shù)列|g an里n里 竺是以lg 7 里 為首項(xiàng)，以 5 為公比的等比數(shù)列,41644164則lg anlg3n宴晉（Ig7lg3lg3lg 2廠n 1）5，因此41644164lg an(lg7lg3lg3 lg2)5n 1lg3nlg3 lg241644641 11n11lg(7343花24)5n1lg(343花2刁）1 11nn 1115“ 1lg(7 3431624)5lg(3431624)5n 4n 15n 11lg(75n 13162)5n 4n 15n 11則an7531624。3、換元法適用于含根式的遞推關(guān)系1例 11 已知數(shù)列an滿足an

15、 1（116解：令bn1 24an，則an4 (b1)1 ,_代入an116(1 4anJ 24an)得即4b；1(bn3)2因?yàn)閎n.1 24an0，13則2bn 1bn3，即bn 1 g2、倒數(shù)變換法適用于分式關(guān)系的遞推公式, 分子只有一項(xiàng)10 已知數(shù)列an滿足an2an訐1求數(shù)列an解：求倒數(shù)得an 1ananan 1an12an 1111- 為等差數(shù)列，首項(xiàng) -1，公差為-，ana12丄1(nan21),an4an, 1 24an），a,1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。221可化為bn132(bn3)，2)1所以bn3是以b 3. 1 24a13,124 13 2為首項(xiàng)，以-為公比的等比數(shù)列

16、，因此a.f(? (1)2（2nD21，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。（2n 1）2(1 )當(dāng)n 1時(shí),(2 1 1)21 d2-(2 1 1)28，所以等式成立。9由此可知，當(dāng)n k 1時(shí)等式也成立。七、階差法1、遞推公式中既有Sn，又有an方法求解。比數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。1解：對(duì)任意n N有sn-(an1)(an6六、數(shù)學(xué)歸納法通過(guò)首項(xiàng)和遞推關(guān)系式求出數(shù)列的前加以證明。n 項(xiàng), 猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法例 12 已知數(shù)列an滿足an 1an8(n 1)2(2n1) (2n 3)8,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。9解：由an 1an8(n 1)2 2(2n 1) (2n 3)8及a

17、1，得9（2）假設(shè)當(dāng)n k時(shí)等式成立，即akk 1時(shí),bn3#1、n21、n2（2），則bn（2）3，即_124an日23，得由此可猜測(cè)an根據(jù)（1），（ 2）可知，等式對(duì)任何n都成立。分析：把已知關(guān)系通過(guò)anS|, nSnSn 1,n2轉(zhuǎn)化為數(shù)列an或Sn的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的例 13 已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前n 項(xiàng)和Sn滿足Sn1、_(an1)(an2)，且a2,a4,a9成等6n 121當(dāng) n=1 時(shí)，Sia -(a 1)佝2)，解得ai1或ai261當(dāng)n2時(shí)，Sni(ani1)(ani2)6-整理得：(anan i)(anan 13) 0 an各項(xiàng)均為正數(shù)，anan 13當(dāng)

18、a11時(shí)，an3n2，此時(shí)a4a2a9成立2當(dāng)ai2時(shí)，an3n1，此時(shí)aa?a9不成立，故ai2舍去所以an3n 22、對(duì)無(wú)窮遞推數(shù)列例 14 已知數(shù)列an滿足ai1，anai2a?3a3L (n1)ani(n 2)，求an的通項(xiàng)公式。所以an 1a12a23a3L (n 1)an 1nan用式式得an 1annan.則an 1(n 1)an(n 2)n 1(n2)n所以ananan ia3La2n(n1)L 43a2n!a2.an 1an 2a22由ana12a23a3L(n 1)an 1(n2),取n2得a2ai2a2，則a2ai，又知ai1,則a21,代入得an13 4 5 Lnn!o2所以，a,n的通項(xiàng)公式為a,n!八、不動(dòng)點(diǎn)法解：因?yàn)閍na12a23a3L(n 1)an i(n 2)不動(dòng)點(diǎn)的定義：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若存在f(X)XoD，使f(Xo) Xo成立，則稱X。為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)或稱(Xo, f (Xo)