百度文庫小學數學奧數方法講義40講(三)

1、A thesis submitted toin partial fulfillment 第二十一講 守恒法姚老師數學樂園廣安岳池 姚文國應用題中的數量有的是變化的，有的是始終不變的。解應用題時，抓住始終不變的數量，分析不變的數量與其他數量的關系，從而找到解題的突破口，把應用題解答出來的解題方法，叫做守恒法，也叫抓不變量法。（一）總數量守恒有些應用題中不變的數量是總數量，用守恒法解題時要抓住這個不變的總數量。例1 晶晶要看一本書，計劃每天看15頁，24天看完。如果要12天看完，每天要看多少頁？如果改為每天看18頁，幾天可以看完？（適于三年級程度）解：無論每天看多少頁，總是看這一本書，只要抓住這本

2、書的“總頁數不變”這個關鍵，問題就好辦了。這本書的總頁數是：15×24=360（頁）如果要12天看完，每天要看的頁數是：360÷12=30（頁）如果改為每天看18頁，看完這本書的天數是：360÷18=20（天）答略。此題由于第一步是用乘法求出總數，因此也叫做“歸總”應用題。*例2 用一根鐵絲圍成一個長26厘米，寬16厘米的長方形。用同樣長的鐵絲圍成一個正方形，正方形所圍成的面積是多少？（適于三年級程度）解：這根鐵絲的長是不變的量，鐵絲圍成的長方形的周長和正方形的周長相同。即：26×2+16×2=52+32=84（厘米）正方形的邊長是：84

3、47;4=21（厘米）正方形所圍成的面積是：21×21=441（平方厘米）答略。解：書架上書總的本數是不變的數量，設它為單位1。從“上層書的本書總的本數分成5份，上層的書占總本數的因此，書總的本數是：原來書架的上層有書：原來書架的下層有書：90-18=72（本）（二）部分數量守恒當應用題中不變的數量是題中的一部分數量時，要抓住這個不變的部分數量解題。例1 一輛汽車，從甲站到乙站，要經過20千米的平路，45千米的上坡路，15千米的下坡路。如果這輛汽車在平路上每小時行40千米，在上坡路上每小時行30千米，在下坡路上每小時行45千米。照這樣的速度行駛，這輛汽車在甲、乙兩站間往返一次需要多少

4、時間？（適于五年級程度）解：無論汽車行駛在平路上、上坡路上，還是在下坡路上，每一段路上的速度是不變的。這輛汽車往返一次共行：在平路（20+20）千米在上坡路（45+15）千米在下坡路（15+45）千米這輛汽車往返一次需要的時間是：答略。例2 有含鹽15的鹽水20千克，要使鹽水含鹽10，需要加水多少千克？（適于六年級程度）解：題中鹽的重量是不變的數量，鹽的重量是：20×15=3（千克）在鹽水含鹽10時，鹽的對應分率是10，因此鹽水的重量是：3÷10=30（千克）加入的水的重量是：30-20=10（千克）答略。解：文藝書的本數是不變的數量。文藝書有：=720（本）從后來兩種書總

5、的本數中減去原來兩種書總的本數，得到買進科技書的本數：720-630=90（本）綜合算式：=720-630=90（本）答略。（三）差數守恒當應用題中兩個數量的差是不變的數量時，要抓住這個差，分析數量關系解題。例1 父親今年35歲，兒子5歲。多少年后父親的年齡是兒子年齡的3倍？（適于四年級程度）解：父子年齡的差是個不變的數量，始終是35-5=30（歲）在父親年齡是兒子年齡的3倍時，父子年齡的差恰好是兒子年齡的2倍。因此，這時兒子的年齡是：30÷2=15（歲）15-5=10（年）答：10年后父親的年齡是兒子年齡的3倍。*例2 小明有200個棗，大平有120個棗。兩人吃掉個數相同的棗后，小

6、明剩下的棗是大平剩下棗的5倍。問兩個人一共吃掉多少個棗。（適于四年級程度）解：兩個人相差的棗的個數是不變的數量：200-120=80（個）兩人吃掉個數相同的棗后，小明剩下的棗是大平剩下棗的5倍。這就是說大平剩下的棗是1份數，小明剩下的棗比大平剩下的棗多4份數。因為兩人吃掉的棗的個數相同，所以相差數還是80個。這80個是4份數。因此，大平剩下的棗是其中的一份數：80÷4=20（個）大平吃掉的棗是：120-20=100（個）因為兩個人吃掉的棗一樣多，所以一共吃掉棗：100×2=200（個）答略。*例3 有甲、乙兩個車間，如果從甲車間調出18人給乙車間，甲車間就比乙車間少3人；如

7、果從兩個車間各調出18人，乙車間剩下人數就是甲車間解：由“從甲車間調出18人給乙車間，甲車間就比乙車間少3人”可看出，甲車間比乙車間多2個18人又少3人，即甲車間比乙車間多：18×2-3=33（人）由“從兩個車間各調出18人，乙車間剩下的人數就是甲車間剩下人數的甲車間原有的人數是：88+18=106（人）乙車間原有的人數是：106-33=73（人）答略。*例4 甲種布的長是乙種布長的3倍。兩種布各用去8米時，甲種布剩下的長是乙種布剩下長度的4倍。兩種布原來各長多少米？（適于六年級程度）解：甲、乙兩種布的長度差是不變的數量，解題時要以這個不變的數量作為標準量。原來乙種布的長是標準量的：

8、乙種布先后兩個分率的差是：乙種布的長是：甲種布的長是：48+24=72（米）答略。第二十二講 兩差法解應用題時，首先確定一個標準數（即1倍數），再根據已知的兩數差與倍數差，用除法求出1倍數，然后以此為基礎，用乘法求出另一個數的解題方法，叫做兩差法。用兩差法一般是解答差倍問題。 差倍問題的數量關系是：兩數差÷倍數差=1倍數1倍數×倍數=幾倍數較小數+兩數差=較大數例1 某廠女職工人數是男職工人數的6倍，男職工比女職工少65人。這個廠男女職工共有多少人？（適于四年級程度）解：根據“人數差÷倍數差=1倍數”，有：65÷（6-1）=13（人）那么，這個廠男女職工

9、共有的人數是：13×（6+1）=91（人）答略。例2 小李買3本日記本，小華買同樣的8本日記本，比小李多用2.75元。小李、小華兩人分別用去多少錢？（適于五年級程度）解：小華比小李多用2.75元（總價差），是因為小華比小李多買（8-3）本（數量差）日記本，用這兩個差求出每本日記本的價錢。小李用的錢數是：0.55×3=1.65（元）小華的錢數是：0.55×8=4.40（元）答略。例3 甲、乙兩數的差是28，甲數是乙數的3倍。問甲乙兩數各是多少？（適于四年級程度）解：甲-乙=28，甲是乙的3倍，那么乙就是1倍數，28所對應的倍數是3-1=2（倍），則乙數可以求出。解法

10、是：28÷（3-1）=14乙數14×3=42甲數答：甲數是42，乙數是14。例4 一個植樹小組植樹。如果每人栽5棵，還剩14棵；如果每人栽7棵，就缺4棵。這個植樹小組有多少人？一共有多少棵樹苗？（適于五年級程度）解：把題中的條件簡要摘錄如下：       每人5棵       剩14棵       每人7棵       缺4棵比較兩次分配

11、的情況可看出，由于第二次比第一次每人多栽（7-5）棵，一共要多栽（14+4）棵樹。根據兩次每人栽的棵數差和所栽總棵數的差，可求出植樹小組的人數，然后再求出原有樹苗的棵數。（14+4）÷（7-5）=9（人）人數5×9+14=59（棵）棵數答略。例5 用一個杯子向一個空瓶里倒水。如果倒進3杯水，連瓶共重440克；如果倒進5杯水，連瓶共重600克。一杯水和一個空瓶各重多少克？（適于五年級程度）解：解這類題，要先找出“暗差”的等量關系，再找解題的最佳方法。這道題的“暗差”有兩個：一個是5-3=2（杯），另一個是600-440=160（克）。這里兩個暗差的等量關系是：2杯水的重量=1

12、60克。這樣就能很容易求出一杯水的重量：160÷2=80（克）一個空瓶的重量：440-80×3=200（克）答略。*例6 甲從西村到東村，每小時步行4千米。3.5小時后，乙因有急事，從西村出發(fā)騎自行車去追甲，每小時行9千米。問乙需要幾小時才能追上甲？（適于高年級程度）解：乙出發(fā)時，甲已經行了（4×3.5）千米，乙每行1小時便可比甲每小時多行（9-4）千米，那么（4×3.5）千米中含有幾個（9-4）千米，乙追上甲就需要多少個小時。所以：答：乙需2.8小時才能追上甲。例6是典型的“追及問題”。由此可知，追及問題也可以利用兩差法來解答。*例7 某電風扇廠生產一

13、批電風扇。原計劃每天生產120臺電風扇，實際每天比原計劃多生產30臺，結果提前12天完成任務。這批電風扇的生產任務是多少臺？（適于高年級程度）解：在同樣的時間（計劃天數）里，實際比原計劃多生產電風扇的臺數是：（120+30）×12。因為實際每天比原計劃多生產30臺，因此：計劃完成任務的天數是60天，那么這批電風扇的生產任務就是：120×60=7200（臺）答略。*例8 甲每小時走5千米，乙每小時走4千米，兩人同走一段路，甲比乙少用了3小時。問這段路長多少千米？（適于五年級程度）解：解答這道題應從“差異”入手。因為凡是發(fā)生差異必定有它的道理。題中的差異是“甲比乙少用了3小時”

14、，抓住它作如下追問，即可發(fā)現解題途徑。為什么會“甲比乙少用了3小時”？因為甲比乙的速度快。（1）在3個小時里甲比乙多走多少千米的路呢？在3小時里甲比乙正好多走：4×3=12（千米）（2）甲每小時可以追上乙多少千米呢？5-4=1（千米）（3）走完這12千米的差數甲要走幾小時呢？12÷1=12（小時）（4）這段路長多少千米？5×12=60（千米）綜合算式：5×4×3÷（5-4）=5×12÷1=5×12=60（千米）答略。解：此題是“差倍”問題的變形。答略。兩堆煤原來各有多少噸？（適于六年級程度）解：這里已知兩

15、堆煤的總數和運走的總數，不知道兩堆煤在總數中占多大比率，也無法把運走的煤分為甲堆運走的和乙堆運走的。雖然知道甲堆運知道，無法發(fā)生聯(lián)系，因此這兩個分率無法參加運算。本題的難點在于兩堆煤運走的分率不同，若分率相同，分析就會有所進展。然后再看假設引出了什么差異。已知條件告訴我們共運走180噸，與方才算得的162噸相差180-162=18（噸），為什么會產生這18噸的差異呢？270-120=150（噸）甲堆答略。*例11 祖父給兄弟二人同樣數目的零花錢，祖母給了哥哥1100日元，給了弟弟550日元，這樣兄弟二人所得到的零花錢數的比為75。求祖父給兄弟二人的錢數都是多少日元？（適于六年級程度）解：因為祖

16、父給兄弟二人的錢數相同，所以祖母給兄弟二人的錢數之差，就是他們分別得到的所有零花錢錢數之差。1100-550=550（日元）由兄弟二人所得到的零花錢錢數的比為75可知，把哥哥的錢看成是7份的話，弟弟的錢數就是5份，它們相差：7-5=2（份）所以，每一份的錢數是：550÷2=275（日元）哥哥有零花錢：275×7=1925（日元）其中祖父給的是：1925-1100=825（日元）答：祖父給兄弟二人的錢都是825日元。*例12 一位牧羊人趕著一群羊走過來，小明問他：“你的羊群里有山羊、綿羊各幾只？”牧羊人說：“山羊的只數加上99只就是綿羊的只數，綿羊的只數加上99只就是山羊的3

17、倍，你去算吧?！闭埬銕椭∶魉阋凰恪＃ㄟm于五年級程度）解：由“山羊的只數加上99只就是綿羊的只數”知道，綿羊比山羊多99只。由“綿羊的只數加上99只就是山羊的3倍”知道，綿羊的只數加上99只后，綿羊的只數比山羊多（99+99）只。此時，如果把山羊只數看作1倍，綿羊只數就是3倍，比山羊多（3-1）倍，這（3-1）倍正好是（99+99）只（圖22-1）。用除法可以求出1倍數（山羊只數），再用加法就可以求出綿羊只數。（99+99）÷（3-1）=198÷2=99（只）山羊只數99+99=198（只）綿羊只數答略。*例13 某工廠有大、小兩個車間。如果從小車間調10人到大車間，則大車

18、間的人數是小車間的3倍；如果從大車間調30人到小車間，則兩個車間的人數相等。求大、小兩個車間各有多少人？（適于高年級程度）解：根據“如果從大車間調30人到小車間，則兩個車間的人數相等”知道，大車間比小車間多30×2人；根據“如果從小車間調10人到大車間，則大車間的人數是小車間的3倍”知道，這樣調動后，大車間比小車間多（30×2+10×2）人。把調動后小車間的人數看作1倍數，則大車間的人數就是3倍數，比小車間的人數多（3-1）倍數，這（3-1）倍數正好是（30×2+10×2）人。用除法可以求出1倍數（調動后，小車間人數），加上10就得小車間原有人

19、數。（30×2+10×2）÷（3-1）+10=80÷24+10=50（人）（小車間原有人數）50+30×2=110（人）（大車間原有人數）答略。在差倍問題中，有一類比較特殊，這就是年齡問題。年齡問題一般用差倍問題的解題思路、計算公式來分析、解答。但要注意年齡問題所單獨具有的“定差”特點，即大、小兩個年齡，相當于大、小兩個數，無論現在、過去、將來，這兩個年齡的差不變。抓住這個特點，再利用差倍問題的數量關系和解題方法，便可解答年齡問題。*例14 今年哥哥18歲，弟弟8歲。問幾年前哥哥的年齡是弟弟的3倍？（適于高年級程度）解：作圖22-2。哥哥和弟弟

20、年齡之差（18-8）歲始終不變。把幾年前弟弟的年齡看作1倍數，哥哥的年齡就是3倍數，比弟弟多（3-1）倍數，這（3-1）倍數正好對應于（18-8）歲。用除法可以求出1倍數，就是幾年前弟弟的年齡，再用減法便可求出幾年前哥哥的年齡是弟弟的3倍。8-（18-8）÷（3-1）=3（年）答略。*例15 今年父親40歲，兒子4歲。問幾年后父親的年齡是兒子的4倍？（適于高年級程度）解：作圖22-3。父子年齡之差（40-4）歲始終不變。把幾年后兒子的年齡看作1倍數，父親的年齡就是4倍數，比兒子多（4-1）=3倍數，這（4-1）倍數正好對應于（40-4）歲。用除法可求出1倍數，即幾年后兒子的年齡，再用

21、減法便可求出幾年后父親的年齡是兒子的4倍。（40-4）÷（4-1）-4=36÷3-4=8（年）答略。第二十三講 比例法比和比例是傳統(tǒng)算術的重要內容，在較早的年代，許多實際問題都是應用比和比例的知識來解答的。近年來，小學數學教材中比和比例的內容雖然簡化了，但它仍是小學數學教學的重要內容之一，是升入中學繼續(xù)學習的必要基礎。 用比例法解應用題，實際上就是用解比例的方法解應用題。有許多應用題，用比例法解簡單、方便，容易理解。用比例法解答應用題的關鍵是：正確判斷題中兩種相關聯(lián)的量是成正比例還是成反比例，然后列成比例式或方程來解答。（一）正比例兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著

22、變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。如果用字母x、y表示兩種相關聯(lián)的量，用k表示比值（一定），正比例的數量關系可以用下面的式子表示：例1 一個化肥廠4天生產氮肥32噸。照這樣計算，這個化肥廠4月份生產氮肥多少噸？（適于六年級程度）解：因為日產氮肥的噸數一定，所以生產氮肥的噸數與天數成正比例。設四月份30天生產氮肥x噸，則：答略。例2 某工廠要加工1320個零件，前8天加工了320個。照這樣計算，其余的零件還要加工幾天？（適于六年級程度）解：因為每一天加工的數量一定，所以加工的數量與天數成正比例。還需要加工的數量是：13

23、20-320=1000（個）設還需要加工x天，則：例3 一列火車從上海開往天津，行了全程的60，距離天津還有538千米。這列火車已行了多少千米？（適于六年級程度）解：火車已行的路程剩下的路程=60（1-60）=32。設火車已行的路程為x千米。答略。米。這時這段公路余下的長度與已修好長度的比是23。這段公路長多少米？（適于六年級程度）解：余下的長度與已修好長度的比是23，就是說，余下的長度是已這段公路的長度是：答略。（二）反比例兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。如果用字母x、y表示兩種相關聯(lián)的

24、量，用k表示積（一定），反比例的數量關系可以用下面的式子表達：x×y=k（一定）例1 某印刷廠裝訂一批作業(yè)本，每天裝訂2500本，14天可以完成。如果每天裝訂2800本，多少天可以完成？（適于六年級程度）解：由于要裝訂的本數一定，因此，每天裝訂的本數與可以裝訂的天數成反比例。設x天可以完成，則：答略。例2 一項工程，原來計劃30人做，18天完成?，F在減少了3人，需要多少天完成？（適于六年級程度）解：工作總量一定，每人的工作效率也是一定的，所以所需要的人數與天數成反比例?，F在減少3人，現在的人數就是：30-3=27（人）設需要x天完成，則：答略。例3 有一項搬運磚的任務，25個人去做，

25、6小時可以完成任務；如果相同工效的人數增加到30人，搬運完這批磚要減少幾小時？（適于六年級程度）解：題中的總任務和每人的工作效率一定，所以搬運磚的人數與所需要的時間成反比例。設增加到30人以后，需要x小時完成，則：6-5=1（小時）答：增加到30人后，搬運完這批磚要減少1小時。例4 某地有駐軍3600人，儲備著吃一年的糧食。經過4個月后，復員若干人。如果余下的糧食可以用10個月，求復員了多少人？（適于六年級程度）解：按原計劃，4個月后余下的糧食可以用：12-4=8（個月）因為復員一部分人后，人數少了，所以原來可以用8個月的糧食，現在就可以用10個月。糧食的數量一定，人數與用糧的時間成反比例。設

26、余下的糧食供x人吃10個月，則：答：復員了720人。（三）按比例分配按比例分配的應用題可用歸一法解，也可用解分數應用題的方法來解。用歸一法解按比例分配應用題的核心是：先求出一份是多少，再求幾份是多少。這種方法比解分數應用題的方法容易一些。用解分數應用題的方法解按比例分配問題的關鍵是：把兩個（或幾個）部分量之比轉化為部分量占總量的（幾個部分量之和）幾分之幾。這種轉化稍微難一些。然而學會這種轉化對解答某些較難的比例應用題和分數應用題是有益的。究竟用哪種方法解，要根據題目的不同，靈活采用不同的方法。有些應用題敘述的數量關系不是以比或比例的形式出現的，如果我們用按比例分配的方法解這樣的題，要先把有關數

27、量關系轉化為比或比例的關系。1.按正比例分配甲、乙、丙三個數的連比是：4+5+8=17答略。例2 有甲、乙、丙三堆煤，甲堆比乙堆多12.5，乙堆比丙堆少解：因為甲堆比乙堆多12.5，所以要把乙堆看作“1”，這樣甲堆就是（1+12.5）。甲乙=（1+12.5）1=98甲乙丙=9810已知甲堆比丙堆少6噸，這6噸所對應的份數是1，所以，甲堆煤的噸數是：6×9=54（噸）乙堆煤的噸數是：6×8=48（噸）丙堆煤的噸數是：6×10=60（噸）答略。2.按反比例分配*例1 某人騎自行車往返于甲、乙兩地用了10小時，去時每小時行12千米，返回時每小時行8千米。求甲、乙兩地相距

28、多少千米？（適于六年級程度）解：此人往返的速度比是：128=32因為在距離一定的情況下，時間與速度成反比例，所以，由此人往返的速度比是32，可推出此人往返所用的時間比是23。去時用的時間是：兩地之間的距離：12×4=48（千米）答略。*例2 一個文藝演出隊去少數民族地區(qū)慰問演出，路上共用了110個小這也是騎馬、乘輪船、坐火車的時間比。將110小時按821的比例分配。騎馬的時間是：坐火車的時間是：答略。3.按混合比例分配把價格不同、數量不等的同類物品相混合，已知各物品的單價及混合后的平均價（或總價和總數量），求混合量的應用題叫做混合比例應用題。混合比例應用題在實際生活中有廣泛的應用。*

29、例1 紅辣椒每500克3角錢，青辣椒每500克2角1分錢。現將紅辣椒與青辣椒混合，每500克2角5分錢。問應按怎樣的比例混合，菜店和顧客才都不會吃虧？（適于六年級程度）解：列出表23-1。表23-1表中，價格一欄是根據題意填的，其他欄目是在分析題的過程中填的。混合后的辣椒是每500克賣2角5分錢，而混合辣椒中紅、青兩種辣椒的比不能是11，因為在混合后的辣椒中每有500克紅辣椒，紅辣椒就要少賣5分錢，所以應算是每500克紅辣椒損失了5分錢，在“損”一欄中，橫對紅辣椒和3角，填上5分；又因為在混合后的辣椒中每有500克青辣椒，青辣椒就要多賣4分錢，所以應算是每500克青辣椒多賣了（益）4分錢，在“

30、益”一欄中，橫對青辣椒和2角1分，填上4分。5與4的最小公倍數是20。20÷54，20÷45，只有在混合的辣椒中，有4份的紅辣椒，5份的青辣椒，500克混合后的辣椒正好賣2角5分錢。4份的紅辣椒是4個500克，它的價錢是，0.3×4=1.2（元）5份的青辣椒是5個500克，它的價錢是，0.21×5=1.05（元）4份紅辣椒與5份青辣椒的總價是，1.2+1.05=2.25（元）而9個500克的混合辣椒的總價是，0.25×9=2.25（元）9份（9個500克）紅辣椒和青辣椒的總價正好與9個500克混合辣椒的總價相等。所以在混合的辣椒中，紅辣椒與青辣

31、椒的比應是45。這個比正好是益損兩數比的反比。答略。*例2 王老師買甲、乙兩種鉛筆共20支，共用4元5角錢。甲種鉛筆每支3角，乙種鉛筆每支2角。兩種鉛筆各買多少支？（適于六年級程度）解：20支鉛筆的平均價格是：4.5÷20=0.225（元）=2.25（角）列出表23-2。表23-2因為甲種鉛筆每支3角，而平均價格是每支2.25角，所以每支甲種鉛筆損失了0.75角錢。在表中“損”一欄橫對“甲”填上0.75角/支；因為乙種鉛筆每支2角，而平均價格是每支2.25角，所以每支乙種鉛筆是增加（益）了0.25角。在表中“益”一欄橫對“乙”填上0.25角/支。兩種鉛筆的混合比，正好是損、益兩數比的

32、反比，所以在混合比一欄中，橫對甲填0.25，而橫對乙填0.75。把0.25和0.75化簡后得1和3?，F在可以認為兩種鉛筆的總份數是：1+3=4（份）甲種鉛筆的支數是：乙種鉛筆的支數是：答略。（四）連比如果甲數量與乙數量的比是ab，乙數量與丙數量的比是bc，那么表示甲、乙、丙三個數量的比可以寫作abc，abc就叫做甲、乙、丙三個數量的連比。注意：“比”中的比號相當于除號，也相當于分數線，而“連比”中的比號卻不是相當于除號、分數線。*例1 已知甲數和乙數的比是56，丙數和乙數的比是78，求這三個數的連比。（適于六年級程度）解：已知甲、乙兩數的比是56，丙數與乙數之比為78，即乙數與丙數之比為87。

33、第一個比的后項是6，第二個比的前項為8，這說明甲、丙兩個數不是以相同標準劃分的，甲、乙、丙三個數不能直接寫成連比。用下面的方法可以統(tǒng)一甲、丙的標準，把甲、乙、丙三個數寫成連比。把5擴大8倍，得40；把6擴大8倍，得48。把6擴大8倍得48，也就是把8擴大6倍，得48，所以也要把7擴大6倍得42。甲、乙、丙三個數的連比是：4O4842=202421。答略。*例2 甲、乙、丙三堆煤共重1480噸，已知甲堆煤重量的 又根據，甲乙=32，乙丙=56，可求出甲、乙、丙三個數的連比是：甲乙丙=151012把1480噸煤按151012的比例分配。甲堆煤重：乙堆煤重：答略。答略。第二十四講 轉換法解答應用題時

34、，通過轉換（即轉化）題中的情節(jié)，分析問題的角度、數據從而較快找到解題思路，或簡化解題過程的解題方法叫做轉換法。（一）轉換題中的情節(jié)轉換題中的情節(jié)是運用聯(lián)想改變原題的某個情節(jié)，使題目變得易于解答。14+6=20（噸）30噸所對應的分率是：答略。例2 一項工程，甲、乙兩隊合做要用12天完成。如果甲隊先獨做16天，余下的再由乙隊獨做6天完成。如果全部工程由甲隊獨做，要用幾天完成？（適于六年級程度）解：求甲隊獨做要用幾天完成全部工程，得先求出甲隊的工作效率?？墒穷}中已知的是甲、乙合做要用的時間，和甲、乙一前一后獨做的時間，很難求出甲的工作效率。如果將“一前一后獨做”這一情節(jié)變換為“先合做，后獨做”就便

35、于解題了?？蛇@樣設想，從甲隊的工作量中劃出6天的工作量與乙隊6天的工作量合并起來，也就是假定兩隊曾經合做了6天。情節(jié)這樣變動后，原題就變換成：一項工程，甲、乙兩隊合做要用12天完成，這項工程先由甲乙兩隊合做6天后，余下的工程由甲隊單獨做10天完成。如果全部工程由甲隊獨做要用幾天完成？這樣就很容易求出甲隊的工作效率是：甲隊獨做完成的時間是：答略。（二）轉換看問題的角度解應用題時，如果看問題的角度不適當就很難解出題。如果轉換看問題的角度，把原來從正面看問題轉換為從側面看或從反面看，把這一數量轉換為另一數量進行分析，就可能找到解題思路。解：一般都沿著女工占總人數的分率去尋找與之相對應的具體人數，但這

36、樣往往會誤入歧途，難以找到正確答案。不如根據女工所占分率，換一個角度，想一想男工的情況。男工人數便占總人數的：后來女工的總人數是：=560-480=80（人）答略。*例2 求圖24-1中陰影部分的面積。（單位：厘米）（適于六年級程度）解：如果直接計算圖中陰影部分的面積，幾乎是不可能的。如果把角度轉換為，從大扇形面積減去右面空白處的面積，就容易求出陰影部分的面積了。=200.96-81.5=119.46（平方厘米）答：陰影部分的面積是119.46平方厘米。（三）轉換題中的數據轉換題中的數據就是將題中已知的數據進行等價變換，從而協(xié)調各個數據之間的關系。例1 兩輛汽車同時從相距465千米的兩地相對開

37、出，4.5小時后兩車還相距120千米。一輛汽車每小時行37千米。另一輛汽車每小時行多少千米？（適于五年級程度）解：如果兩地的距離減少120千米，兩車經過4.5小時正好相遇，兩車4.5小時行的路程是：465-120=345（千米）兩車的速度之和是：綜合算式：（465-120）÷4.5-37=345÷4.5-37解：如果從分數角度分析，不易找出數量間的關系。如果把分數轉換為比來分析，就會得出，第一天與第二天種的棵數的比是35，第二天與第三天種的棵數比是56。所以，第一、二、三天種的棵數的比是356。第一天種：第三天種：答略。（四）轉換為統(tǒng)一標準當題中兩個或幾個數量的單位“1”不

38、統(tǒng)一，不便于解答時，如把某個數量作為標準單位“1”，把其他數量轉化為以它為標準的分率，就會突破障礙，順利解題。例1甲、乙、丙、丁四人合買一批化肥。甲付的錢是其他人所付錢數之 解：把甲、乙、丙、丁所付錢數統(tǒng)一為以總數量作為標準量的分率。由 答略。色電視機的臺數沒有發(fā)生變化，我們以彩色電視機的臺數作為單位 彩色電視機的臺數是：黑白電視機的臺數是：答略。（五）轉換隱蔽條件為明顯條件有些應用題的解題條件十分隱蔽。認真體會題中字、詞、句的含義，看清這些字、詞、句實質上說的是什么，必要時借助圖形分析，或適當改變題中的條件，就可能把原來題中隱蔽的條件轉換為明顯條件，從而較快解題。*例1甲、乙二人分別從A、B

39、兩地同時出發(fā)，相向而行，在離B點18千米的地方相遇。相遇后二人繼續(xù)往前行，甲到B地和乙到A地立即返回，在離A地8千米的地方又相遇。求A、B兩地相距多少千米？（適于高年級程度）解：解答此題的條件十分隱蔽。借助圖24-2分析問題，可將隱蔽條件轉換為明顯條件。（1）從開始出發(fā)到二人第一次相遇，甲、乙共同走完一個全程的路程，其中乙走了18千米。這就是說甲、乙二人共同走完一個全程的路程時乙走18千米，若共同走完三個全程，那么乙就走18×3千米的路程。（2）甲、乙第二次相遇時，二人走了三個全程的路程，而乙走了一個全程加8千米。（3）乙走的一個全程加8千米應等于18×3千米，所以，A、B

40、兩地的距離是：18×3-8=46（千米）答：甲乙兩地相距46千米。220-100=120（千克）甲袋米重答略。（六）轉換敘述方式對數量關系復雜、不易理出頭緒、不易分析解答的應用題，經過逐字、逐句地分析，弄清每一句話的意思，然后轉換原題的敘述方式，就可化繁為簡，化難為易，使原題變得易于解答。*例1李老師帶領學生植100棵樹。李老師先植一棵，然后對同學們說：“男同學每人植兩棵，女同學每兩人合植一棵?！边@樣正好把余下的樹苗植完。問李老師帶領的學生中有多少名男生，多少名女生？（適于高年級程度）解：逐層分析每一句話的意思。李老師植一棵，那么學生就是植了99棵；男同學每人植兩棵，女同學每兩人合植

41、一棵，可以看作一名男生和兩名女生組成一組，植樹3棵。99÷3=33（組）這樣就可以認為學生正好分成33組。根據上面的分析，上面的題就可以這樣敘述：有33組學生去植樹，每一組學生中有一名男生、兩名女生。求去植樹的學生中有多少名男生、女生？1×33=33（名）男生人數2×33=66（名）女生人數答：有男生33名，有女生66名。*例2 一位天文愛好者說：“土星直徑比地球直徑的9倍還多4800千米，土星直徑除以24等于水星直徑，水星直徑加上2000千米等于火星直徑，火星直徑的一半減去500千米等于月亮直徑，月亮直徑是3000千米。求地球直徑是多少千米？（適于高年級程度）解

42、：把原題倒過來敘述：月亮直徑是3000千米，月亮直徑加上500千米后的2倍等于火星直徑，火星直徑減去2000千米等于水星直徑，水星直徑的24倍等于土星直徑，土星直徑減去4800千米是地球直徑的9倍。水星直徑：（3000+500）×2-2000=5000（千米）土星直徑：5000×24=120000（千米）地球直徑：（120000-4800）÷9=12800（千米）答略。（七）轉換解題的方法當題目用通常方法很難解答或不能解答時，應轉換解題方法，使問題得到解決。例1 汽車7小時行300千米，照這樣計算，行駛7500千米需要多少小時？（適于三年級程度）解：此題如果這樣考

43、慮，求行7500千米需要多少小時，要先求出汽車每小時行多少千米，然后7500千米再除以汽車每小時的速度，即：7500÷（300÷7）這樣列式計算時，小括號內的300÷7是除不盡的，三年級的學生還沒學過計算小數的近似值。本題用上面的方法列式解答看來不行，應換一種解題方法。如果求出7500千米中含有多少個300千米，就可求出這輛汽車行多少個7小時。這時可這樣列式解答：7×（7500÷300）=7×25=175（小時）答：行駛7500千米需要175小時。*例2 一個長方體，表面積是66.16平方分米，底面積是19平方分米，底面周長是17.6

44、分米。這個長方體的高是多少分米？（適于五年級程度）解：以一般方法解此題，求長方形的高，需要用底面積去除體積。可是已知條件中沒有體積，而且不容易求出，這就需要轉換解題方法。題中已知長方體的表面積。因為長方體共有6個面，每一對相對面的面積相等，所以可以把表面積轉化為三個不同面積之和：66.16÷2=33.08（平方分米）又因為底面積已知，所以可求出另外兩個面的面積之和：33.08-19=14.08（平方分米）14.08平方分米這個面積是由“長×高+寬×高=（長+寬）×高”得到的。14.08平方分米這個面積的長（即長與寬的和）是：17.6÷2=8.8

45、（分米）所以，這個長方體的高是：14.08÷8.8=1.6（分米）答略。例3 一輛快車和一輛慢車同時分別從A、B兩站相對開出，經過4小時后兩車相遇。相遇后快車繼續(xù)行駛3小時到達乙地。已知慢車每小時比快車少行15千米。求A、B兩站相距多少千米？（適于六年級程度）解：此題要是依靠具體的數量進行分析，解題就會遇到困難。如果轉換解題思路，用解工程問題的方法可化難為易。慢車每小時行全程的：A、B兩地的距離是：答略。 第二十五講 假設法當應用題用一般方法很難解答時，可假設題中的情節(jié)發(fā)生了變化，假設題中兩個或幾個數量相等，假設題中某個數量增加了或減少了，然后在假設的基礎上推理，調整由于假

46、設而引起變化的數量的大小，題中隱蔽的數量關系就可能變得明顯，從而找到解題方法。這種解題方法就叫做假設法。 用假設法解應用題，要通過豐富的想象，假設出既合乎題意又新奇巧妙，既簡單又便于計算的條件。有些用一般方法能解答的應用題，用假設法解答可能更簡捷。（一）假設情節(jié)變化解：假設籃球沒有借出，足球借出一個，那么，可以把現有籃球的個數看作是3份數，把現有足球的個數看作2份數，兩種球的總份數是：3+2=5（份）原來籃球的個數是：原來足球的個數是：21-12=9（個）答略。例2 甲乙兩個煤場共存煤92噸，從甲場運出28噸后，乙場的存煤比甲場的4倍少6噸。兩場原來各存煤多少噸？（適于六年級程度）解：假設從甲

47、場運出的不是28噸，而是比28噸少6噸的22噸，那么，乙場的存煤數就正好是甲場的4倍，甲場的存煤是1份數，乙場的存煤是4甲場原來存煤：92-50=42（噸）答略。（二）假設兩個（或幾個）數量相等例1有兩塊地，平均畝產糧食185千克。其中第一塊地5畝，平均畝產糧食203千克。如果第二塊地平均畝產糧食170千克，第二塊地有多少畝？（適于五年級程度）解：假設兩塊地平均畝產糧食都是170千克，則第一塊地的平均畝產量比兩塊地的平均畝產多：203-170=33（千克）5畝地要多產：33×5=165（千克）兩塊地實際的平均畝產量比假設的平均畝產量多：185-170=15（千克）因為165千克中含有

48、多少個15千克，兩塊地就一共有多少畝，所以兩塊地的畝數一共是：165÷15=11（畝）第二塊地的畝數是：11-5=6（畝）答略。解：此題可以有三種答案。答：剩下的兩根繩子一樣長。答：甲繩剩下的部分比乙繩剩下的部分長。（3）假設兩根繩子都比1米長。任意假定為1.5米，則甲繩剪去 答：乙繩剩下的部分比甲繩剩下的部分長。例3一項工作，甲、乙兩隊單獨做各需要10天完成，丙隊單獨做需要7.5天完成。在三隊合做的過程中，甲隊外出1天，丙隊外出半天。問三隊合做完成這項工作實際用了幾天？（適于六年級程度）解：假設甲沒有外出，丙也未外出，也就是說，甲、乙、丙三個隊的工作天數一樣多，則三隊合做的工作量可

49、達到：三隊合做這項工作，實際用的天數是：答略。*例4 一項工程，甲、乙兩隊合做80天完成。如果先由甲隊單獨做72天，再由乙隊單獨做90天，可以完成全部工程。甲、乙兩隊單獨完成全部工程各需要用多少天？（適于六年級程度）解：假設甲隊做72天后，乙隊也做72天，則剩下的工程是：乙隊還需要做的時間是：90-72=18（天）乙隊單獨完成全部工程的時間是：甲隊單獨完成全部工程的時間是：答略。（三）假設兩個分率（或兩個倍數）相同*例1某商店上月購進的藍墨水瓶數是黑墨水瓶數的3倍，每天平均賣出黑墨水45瓶，藍墨水120瓶。過了一段時間，黑墨水賣完了，藍墨水還剩300瓶。這個商店上月購進藍墨水和黑墨水各多少瓶？

50、（適于高年級程度）解：根據購進的藍墨水是黑墨水的3倍，假設每天賣出的藍墨水也是黑墨水的3倍，則每天賣出藍墨水：45×3=135（瓶）這樣，過些日子當黑墨水賣完時藍墨水也會賣完。實際上，藍墨水剩下300瓶，這是因為實際比假設每天賣出的瓶數少：135-120=15（瓶）賣的天數：300÷15=20（天）購進黑墨水：45×20=900（瓶）購進藍墨水：900×3=2700（瓶）答略。*例2 甲、乙兩個機床廠今年一月份都超額完成了生產計劃，甲廠完成計劃的112，乙廠完成計劃的110。兩廠共生產機床400臺，比原計劃超產40臺。兩廠原計劃各生產多少臺機床？（適于六

51、年級程度）解：假設兩個廠一月份都完成計劃的110，則兩個廠一月份共生產機床：（400-40）×110=396（臺）甲廠計劃生產：（400-396）÷（112-110）=4÷2=200（臺）乙廠計劃生產：400-40-200=160（臺）答略。（四）假設某個數量不比其他數量多或不比其他數量少例1 某校三、四年級學生去植樹。三年級去150人，四年級去的人數比三年級人數的2倍少20人。兩個年級一共去了多少人？（適于三年級程度）解：假設四年級去的人數正好是三年級的2倍，而不是比三年級的2倍少20人，則兩個年級去的人數正好是三年級人數的3倍。兩個年級去的人數是：150

52、15;3=450（人）因為實際上，四年級去的人數比三年級2倍少20人，所以兩個年級去的實際人數是：450-20=430（人）答略。*例2 甲、乙、丙三個鄉(xiāng)都拿出同樣多的錢買一批化肥。買好后，甲、丙兩個鄉(xiāng)都比乙鄉(xiāng)多18噸，因此甲鄉(xiāng)和丙鄉(xiāng)各給乙鄉(xiāng)1800元。問每噸化肥的價格是多少元？（適于高年級程度）解：假設甲、丙兩個鄉(xiāng)買的化肥不比乙鄉(xiāng)多18噸，而是與乙鄉(xiāng)買的同樣多，則應把多出來的2個18噸平均分。平均分時每個鄉(xiāng)多得：18×2÷3=12（噸）因為甲、丙兩個鄉(xiāng)都比乙鄉(xiāng)多得18噸，而平均分時每個鄉(xiāng)得12噸，所以乙鄉(xiāng)實際比甲、丙兩個鄉(xiāng)都少：18-12=6（噸）每噸化肥的價格：1800

53、÷6=300（元）答略。（五）假設某個數量增加了或減少了6-4=2（人）全班人數是：女生人數是：答略。*例2 學校運來紅磚和青磚共9750塊。紅磚用去20，青磚用去1650塊后，剩下的紅磚和青磚的塊數正好相等。學校運來紅磚、青磚各多少塊？（適于六年級程度）解：假設少運來1650塊青磚，則一共運來磚：9750-1650=8100（塊）以運來的紅磚的塊數為標準量1，則剩下的紅磚的分率是：1-20=80因為剩下的紅磚的塊數與青磚的塊數正好相等，所以青磚的分率也是80。因為8100塊中包括全部紅磚和紅磚的（1-20）（青磚），所以8100塊的對應分率是（1+1-20）。運來的紅磚是：（975

54、0-1650）÷（1+1-20）=8100÷1.8=4500（塊）運來的青磚是：9750-4500=5250（塊）答：運來紅磚4500塊，運來青磚5250塊。（六）假設某個數量擴大了或縮小了例1 把雞和兔放在一起共有48個頭、114只爪和腳。雞和兔各有多少只？（適于四年級程度）解：假設把雞爪和兔子腳的只數都縮小2倍，則雞爪數和雞的頭數一樣多，兔的腳數是兔頭數的2倍。這樣就可以認為，114÷2所得商中含有全部雞的頭數，也含有兔子頭數2倍的數，而48中包含全部雞的頭數和兔子頭數1倍的數。所以兔的只數是：114÷2-48=9（只）雞的只數是：48-9=39（只

55、）答略。解：假設把從甲、乙兩堆煤里取出的煤的數量擴大4倍，則從兩堆煤取出的總數量比原來的兩堆煤多：708×4-2268=2832-2268=564（千克）甲堆煤的重量是：乙堆煤的重量是：2268-940=1328（千克）答略。第二十六講 設數法當應用題中沒有解題必需的具體的數量，并且已有數量間的關系很抽象時，如果假設題中有個具體的數量，或假設題中某個未知數的數量是單位1，題中數量之間的關系就會變得清晰明確，從而便于找到解答問題的方法，我們把這種解答應用題的方法叫做設數法。 實際上設數法是假設法中的一種方法，因為它的應用比較多，所以我們把它單列為一種解題方法。在用設數法解答應用題設具體

56、數量時，要注意兩點：一是所設數量要盡量小一些；二是所設的數量要便于分析數量關系和計算。（一）設具體數量例1 一艘輪船從甲港開往乙港，去時順水，每小時行駛30千米；返回時逆水，每小時行駛20千米。求這艘輪船往返的平均速度。（適于五年級程度）解：甲、乙兩港之間的路程沒有給，要求往返的平均速度就比較困難。我們可以設甲、乙兩港之間的路程為60千米（60是輪船往返速度30和20的最小公倍數）。這樣去時用的時間是：60÷30=2（小時）返回時用的時間是：60÷20=3（小時）往返一共用的時間是：3+2=5（小時）往返的平均速度是：60×2÷5=24（千米/小時）綜合

57、算式：60×2÷（60÷30+60÷20）=120÷（2+3）=120÷5=24（千米/小時）答略。*例2光華小學中、高年級共有學生600名，如果中年級派出本年級人數位“1”。假設高年級增加20名學生，這樣中、高年級人數從原來的600名增加到：600+20=620（名）中年級人數是：高年級的人數是：600-320=280（人）答略。例3 某人騎一輛自行車從甲地去乙地，每小時行15千米；從乙地回到甲地，每小時行10千米。求此人騎自行車往返甲、乙兩地的平均速度。（適于六年級程度）解：題中缺少“甲、乙兩地的距離”的具體數量。我們可以任意設一個數為甲、乙兩地的路程。如設3