實際問題與二次函數(shù)拱橋問題的數(shù)學教學

1、實際問題與實際問題與二次函數(shù)二次函數(shù)（拱橋問題）（拱橋問題）一、根據(jù)已知函數(shù)的表達式解一、根據(jù)已知函數(shù)的表達式解決實際問題：決實際問題：活動一：一拋物線型拱橋，建立了如圖所示的直活動一：一拋物線型拱橋，建立了如圖所示的直角坐標系后，拋物線的表達式為：角坐標系后，拋物線的表達式為：y=-1/25x2+16(1)拱橋的跨度是多少？拱橋的跨度是多少？(2) 拱橋最高點離水面幾米？拱橋最高點離水面幾米？(3) 一貨船高為一貨船高為12米，貨船寬至少小于多少米時，米，貨船寬至少小于多少米時，才能安全通過？才能安全通過？xyoABC解解：（：（1） 令令-1/25x2+16=0，解得，解得X1=20,X2

2、=-20,A（-20，0） B（20，0）AB=40，即拱橋的跨，即拱橋的跨度為度為40米。米。（2）令）令x=0，得，得y=16，即拱橋最高點離地面即拱橋最高點離地面16米米（3）令-1/25x2+16=12,解得解得X1=-10，X2 =10,x1-x2=20.即貨船寬應小于即貨船寬應小于20米時，貨船才能安全米時，貨船才能安全通過。通過。-1010二、根據(jù)實際問題建立函數(shù)的表二、根據(jù)實際問題建立函數(shù)的表達式解決實際問題達式解決實際問題一座拱橋的示意圖如圖，當水面寬一座拱橋的示意圖如圖，當水面寬4m4m時，橋洞頂部離水時，橋洞頂部離水面面2m2m。已知橋洞的拱形是拋物線，（。已知橋洞的拱形

3、是拋物線，（1 1）求該拋物線的）求該拋物線的函數(shù)解析式。（函數(shù)解析式。（2 2）若水面下降若水面下降1米，水面寬增加多少米？米，水面寬增加多少米？ 探究活動:M M2m2mA AB B4m4m首先要建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼凳紫纫⑦m當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼的阏J為首先要做的工作是什么你認為首先要做的工作是什么?ABMxyo 解法一解法一：（：（1）以水面）以水面AB所在的直線為所在的直線為x軸，以軸，以AB的垂直平分線為的垂直平分線為y軸建立平面直軸建立平面直角坐標系。角坐標系。設拋物線的解析式為：設拋物線的解析式為：y=ax2+c(a0)拋物線過（拋物線過（2，0），（），（0，2）點）點4a+

4、c=0 a=-0.5 即解析式為：即解析式為：y=-0.5x2+2c=2 c=2 （2）水面下降）水面下降1米，即當米，即當y=-1時時 -0.5x2+2=-1 解得解得x1=-6 x2=6CD=x1-x2=26水面寬增加水面寬增加 CD-AB=（26-4）米）米CD1m(-2,0)(2,0)(0,2)平面直角坐標系建立的不同，所得的拋物線的解析平面直角坐標系建立的不同，所得的拋物線的解析式相同嗎？式相同嗎？最終的解題結果一樣最終的解題結果一樣哪一種取法求得的函數(shù)解析式最簡單？哪一種取法求得的函數(shù)解析式最簡單？解法二解法二：（：（1)以拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為以拋物線的頂點為原點

5、，以拋物線的對稱軸為y軸建立直角坐標系。設二次函數(shù)的解析式為軸建立直角坐標系。設二次函數(shù)的解析式為y=ax2(a0）拋物線經(jīng)過點（拋物線經(jīng)過點（2，-2），可得，），可得，拋物線的解析式為：拋物線的解析式為：2CD（2）水面下降）水面下降1米，即當米，即當y=-3時時 -0.5x2=-3 解得解得x1=-6 x2=6CD=x1-x2=26水面寬增加水面寬增加AB-CD=（26-4）米）米1m(X1,-3)(X2,-3)解三解三 如圖所示如圖所示,以拋物線和水面的兩個交點的連線為以拋物線和水面的兩個交點的連線為x軸，以其中軸，以其中的一個交點的一個交點(如左邊的點如左邊的點)為原點，建立平面直角

6、坐標系為原點，建立平面直角坐標系.可設這條拋物線所表示可設這條拋物線所表示的二次函數(shù)的解析式為的二次函數(shù)的解析式為:2)2x(ay2 拋物線過點拋物線過點(0,0)2)2(a02 5 .0a 這條拋物線所表示的二這條拋物線所表示的二次函數(shù)為次函數(shù)為:2)2x(5 . 0y2 當水面下降當水面下降1m時時,水面的水面的縱坐標為縱坐標為y=-1,這時有這時有:2)2x(5 . 012 62x,62x21 m62xx12 當水面下降當水面下降1m時時,水面寬水面寬度增加了度增加了m)462( 此時此時,拋物線的頂點為拋物線的頂點為(2,2)這時水面的寬度為這時水面的寬度為:返回返回 例例:某工廠大門

7、是一拋物線形的水泥建筑物某工廠大門是一拋物線形的水泥建筑物,大門底部寬大門底部寬AB=4m,頂部頂部C離地面的高度為離地面的高度為4.4m,現(xiàn)有載滿貨物的汽車現(xiàn)有載滿貨物的汽車欲通過大門欲通過大門,貨物頂部距地面貨物頂部距地面2.7m,裝貨寬度為裝貨寬度為2.4m.這輛汽這輛汽車能否順利通過大門車能否順利通過大門?若能若能,請你通過計算加以說明請你通過計算加以說明;若不能若不能,請簡要說明理由請簡要說明理由.解：如圖，以解：如圖，以AB所在的直線為所在的直線為x軸，軸，以以AB的垂直平分線為的垂直平分線為y軸，建立平面軸，建立平面直角坐標系直角坐標系.AB=4A(-2,0) B(2,0)C(0

8、,4.4)設拋物線所表示的二次函數(shù)為設拋物線所表示的二次函數(shù)為4 . 4axy2 拋物線過拋物線過A(-2,0)04 . 4a4 1 . 1a 拋物線所表示的二次函數(shù)為拋物線所表示的二次函數(shù)為4 . 4x1 . 1y2 7 . 2816. 24 . 42 . 11 . 1y2 . 1x2 時時，當當汽車能順利經(jīng)過大門汽車能順利經(jīng)過大門.小結小結一般步驟一般步驟: (1).建立適當?shù)闹苯窍到⑦m當?shù)闹苯窍?并將已知條件轉化為點的并將已知條件轉化為點的坐標坐標, (2).合理地設出所求的函數(shù)的表達式合理地設出所求的函數(shù)的表達式,并代入已知并代入已知條件或點的坐標條件或點的坐標,求出關系式求出關系式

9、, (3).利用關系式求解實際問題利用關系式求解實際問題.活動四：試一試活動四：試一試如圖所示，有一座拋物線型拱橋，在正常水位如圖所示，有一座拋物線型拱橋，在正常水位ABAB時，水面寬時，水面寬2020米，水位上升米，水位上升3 3米，就達到警戒米，就達到警戒線線CD,CD,這時水面寬為這時水面寬為1010米。米。（1 1）求拋物線型拱橋的解析式。）求拋物線型拱橋的解析式。（2 2）若洪水到來時，水位以每小時米的速度上）若洪水到來時，水位以每小時米的速度上升，從警戒線開始，升，從警戒線開始，在持續(xù)多少小時才能達在持續(xù)多少小時才能達到拱橋頂？到拱橋頂？（3 3）若正常水位時，有一艘）若正常水位時，有一艘寬寬8 8米，高米的小船米，高米的小船能否安全通過這座橋？能否安全通過這座橋？A AB B20m20mCD練一練： 如圖是某公園一圓形噴水池，水流在各方向沿形狀相同的拋物線落下。建立如圖所示的坐標系，如果噴頭所在處A（0，1.25），水流路線最高處B（1，2.25），求該拋物線的解析式。如果不考慮其他因素，那么水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不致落到池外。 y= (x-1)2實際問題抽象轉化數(shù)學問題數(shù)學問題運用數(shù)學知識問題的解決問題的解決談談你的學習體會談談你的學習體會解題步驟：解題步驟：1、分析題意，把實際問題轉化為數(shù)學問題，畫出圖形。、分析題意，把實