彈塑性力學(xué)-第2章 應(yīng)力狀態(tài)

1、第二章 應(yīng)力狀態(tài)第二章 應(yīng)力狀態(tài)理論2.1 應(yīng)力和應(yīng)力張量在外力作用下，物體將產(chǎn)生應(yīng)力和變形，即物體中諸元素之間的相對(duì)位置發(fā)生變化，由于這種變化，便產(chǎn)生了企圖恢復(fù)其初始狀態(tài)的附加相互作用力。用以描述物體在受力后任何部位的內(nèi)力和變形的力學(xué)量是應(yīng)力和應(yīng)變。本章將討論應(yīng)力矢量和某一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。為了說(shuō)明應(yīng)力的概念，假想把受組平衡力系作用的物體用一平面A分成A和B兩部分(圖2.1)。如將B部分移去，則B對(duì)A的作用應(yīng)代之以B部分對(duì)A部分的作用力。這種力在B移去以前是物體內(nèi)A與B之間在截面C的內(nèi)力，且為分布力。如從C面上點(diǎn)P處取出一包括P點(diǎn)在內(nèi)的微小面積元素S，而S上的內(nèi)力矢量為F，則內(nèi)力的平均集度為F

2、S，如令S無(wú)限縮小而趨于點(diǎn)P，則在內(nèi)力連續(xù)分布的條件下FS趨于一定的極限o，即S0limFS=這個(gè)極限矢量就是物體在過(guò)c面上點(diǎn)P處的應(yīng)力。由于S為標(biāo)量，故，的方向與F的極限方向一致。內(nèi)力矢量F可分解為所在平面的外法線方向和切線方向兩個(gè)分量Fn和Fs。同樣，應(yīng)力可分解為所在平面的外法線方向和切線方向兩個(gè)分量。沿應(yīng)力所在平面的外法線方向n的應(yīng)力分量稱為正應(yīng)力，記為n，沿切線方向的應(yīng)力分量稱為切應(yīng)力，記為 圖2.1 應(yīng)力矢量n。此處腳注n標(biāo)明其所在面的外法線方向，由此， S面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為在上面的討論中，過(guò)點(diǎn)P的平面C是任選的。顯然，過(guò)點(diǎn)P可以做無(wú)窮多個(gè)這樣的平面C，也就是說(shuō)，過(guò)點(diǎn)P有無(wú)窮

3、多個(gè)連續(xù)變化的n方向。不同面上的應(yīng)力是不同的。這樣，就產(chǎn)生了如何描繪一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)的問(wèn)題。為了研究點(diǎn)P處的應(yīng)力狀態(tài)，在點(diǎn)P處沿坐標(biāo)軸x，y，z方向取一個(gè)微小的平行六面體(圖2.2)，其六個(gè)面的外法線方向分別與三個(gè)坐標(biāo)軸的正負(fù)方向重合，其邊長(zhǎng)分別為x，y，z。假定應(yīng)力在各面上均勻分布，于是各面上的應(yīng)力便可用作用在各面中心點(diǎn)的一個(gè)應(yīng)力矢量來(lái)表示，每個(gè)面上的應(yīng)力矢量又可分解關(guān)一個(gè)正應(yīng)力和兩個(gè)切應(yīng)力分量，如圖2.2所示。以后，對(duì)正應(yīng)力只用一個(gè)字母的下標(biāo)標(biāo)記，對(duì)切應(yīng)力則用兩個(gè)字母標(biāo)記*其中第一個(gè)字母表示應(yīng)力所在面的外法線方向；第二個(gè)字母表示應(yīng)力分量的指向。正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定為：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。

4、切應(yīng)力的正17第二章 應(yīng)力狀態(tài)負(fù)早規(guī)定分為兩種情況：當(dāng)其所在面的外法線與坐標(biāo)軸的正方向一致時(shí)，則以沿坐標(biāo)軸正方向的切應(yīng)力為正反之為負(fù)；當(dāng)所在面的外法線與坐標(biāo)袖的負(fù)方向一致時(shí)，則以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向的切應(yīng)力為正，反之為負(fù)。圖2.2中的各應(yīng)力分量均為正。應(yīng)力及其分量的單位為Pa。圖2.2 應(yīng)力表示法由圖2.2可知，當(dāng)微小的平行六面體趨于無(wú)窮小時(shí)，六面體上的應(yīng)力就代表一點(diǎn)處的應(yīng)力。因此，一點(diǎn)處的應(yīng)力分量共有9個(gè)，其中有3個(gè)正應(yīng)力分量、6個(gè)切應(yīng)力分量，由切應(yīng)力互等定理可知，實(shí)際上獨(dú)立的切應(yīng)力分量只有3個(gè)。把這9個(gè)應(yīng)力分量按一定規(guī)則排列，令其中每一行為過(guò)一點(diǎn)的一個(gè)面上的3個(gè)應(yīng)力分量，即得如下應(yīng)力張量，在數(shù)學(xué)

5、上稱之為二階張量。ijx=yxzxxyyxzzy yzz其中 i，j=(x，y，z)，當(dāng)i，j任取x，y，z時(shí)，則得到相應(yīng)的應(yīng)力分量，但xx，yy，zz分別簡(jiǎn)寫為x，y，z。應(yīng)當(dāng)指出，物體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，一般并不是相同的，即非均勻分布的，因此各點(diǎn)的應(yīng)力分量是坐標(biāo)z，y，z的函數(shù)。所以，應(yīng)力張量ij與給定點(diǎn)的空間位置有關(guān)，同時(shí)應(yīng)力張量是針對(duì)物體中的某一確定點(diǎn)而言的，今后將會(huì)看到，應(yīng)力張量完全確定了一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。張量符號(hào)與下標(biāo)記號(hào)法使冗長(zhǎng)的彈塑性力學(xué)公式變得簡(jiǎn)明醒目，在文獻(xiàn)中已被廣泛應(yīng)用，今后將逐漸熟悉這種標(biāo)記法。2.2 二維應(yīng)力狀態(tài)與平面問(wèn)題的平衡微分方程式上節(jié)中討論應(yīng)力概念時(shí)，是從三維受

6、力物體出發(fā)的，其中點(diǎn)P是從一個(gè)三維空間中取出來(lái)約點(diǎn)。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，首先討論平面問(wèn)題。掌提了平面問(wèn)題以后再討18第二章 應(yīng)力狀態(tài)論空間問(wèn)題就比較容易了。當(dāng)受載物體所受的面力和體力以及其應(yīng)力都與某個(gè)坐標(biāo)軸(例如z軸)無(wú)關(guān)。平面問(wèn)題又分為平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題。1. 平面應(yīng)力問(wèn)題如果考慮如圖2.3所示物體是一個(gè)很薄的平板，荷載只作用在板邊，且平行于板面，即 xy平面，z方向的體力分量Z及面力分量Fz均 為零，則板面上(z=±/2處)應(yīng)力分量為 (z)=0z=±2(zx)z=±2=(zy)z=±2=0因板的厚度很小，外荷載又沿厚度均勻分布， 所以可以近似地認(rèn)為

7、應(yīng)力沿厚度均勻分布。由此， 在垂直于z軸的任一微小面積上均有z=0， zx=zy=0 圖2.3 平面應(yīng)力問(wèn)題 根據(jù)切應(yīng)力互等定理，即應(yīng)力張量的對(duì)稱性，必然有yx=xz=0。因而對(duì)于平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力張量為 ij也可寫為x= ijyxx=yx0xyy00 0xyy如果z方向的尺寸為有限量，仍假設(shè)z=0，zx=zy=0，且認(rèn)為x，和xy(yx)為沿厚度的平均值，則這類問(wèn)題稱為廣義平面應(yīng)力問(wèn)題。2. 平面應(yīng)變問(wèn)題y如果物體縱軸方向(oz坐標(biāo)方向)的尺寸很長(zhǎng)，外荷載及體力為沿z軸均勻分布地作用在垂直于oz方向，如圖2.4所示的水壩是這類問(wèn)題的典型例子。忽略端部效應(yīng)，則因外載沿z軸方向?yàn)橐怀?shù)，因而可以

8、認(rèn)為，沿縱軸方向各點(diǎn)的位移與所在z方向的位置無(wú)關(guān)，即z方向各點(diǎn)的位移均相同。令u、v、w分別表示一點(diǎn)在x、y、z坐標(biāo)方向的位移分量，則有w為常數(shù)。等于常數(shù)的位移w并不伴隨產(chǎn)生任一xy平面的翹曲變形，故研究應(yīng)力、應(yīng)變問(wèn)題時(shí)，可取w=0。此外，由于物體的變形只在xy平面內(nèi)產(chǎn)生，19圖2.4 平面應(yīng)變問(wèn)題第二章 應(yīng)力狀態(tài)因此w與z無(wú)關(guān)。故對(duì)于平面應(yīng)變狀態(tài)有u=u(x,y)v=v(x,y)w=0由對(duì)稱條件可知，在xy平面內(nèi)xz(zx)和yz(zy) 恒等于零，但因z方向?qū)ψ冃蔚募s束，故z一般并不為零，所以其應(yīng)力張量為ijx=yx0xyy00 z實(shí)際上z并不是獨(dú)立變量，它可通過(guò)x和y求得，因此不管是平面

9、應(yīng)變問(wèn)題還是平面應(yīng)力問(wèn)題，獨(dú)立的應(yīng)力分量?jī)H有3個(gè)，即x、y和xy(=yx)，對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題的求解，可不考慮z。三. 平衡微分方程物體在外力作用下處于平衡狀態(tài)時(shí)，由各點(diǎn)應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系所導(dǎo)出的方程稱為平衡微分方程。如圖2.5a)所示的平面應(yīng)力問(wèn)題，除面力外，在這個(gè)微單元體上還有體力的作用單位體積的體力在二個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為X,Y而固體的質(zhì)量密度為。自彈性體內(nèi)任一點(diǎn)P處附近截取一單元體，a) b)圖2.5 平面應(yīng)力狀態(tài)微元體的應(yīng)力它在x，y方向的尺寸分別為dx和dy。為了計(jì)算方便，在z方向取單位長(zhǎng)度，如圖2.5b)所示。該單元體受有其相鄰部分對(duì)它作用的應(yīng)力和單元體的體力。由于在一般情

10、況下應(yīng)力分量是位置坐標(biāo)的函數(shù)，因此在單元體左、右或上、下兩對(duì)面上的應(yīng)力不相等，而具有一微小的增量。若作用于ab上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力分別為x，則作用于cd面上的正應(yīng)力應(yīng)隨之變化。該變化可根據(jù)Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)，即20第二章 應(yīng)力狀態(tài)xcd=xab+xxabdx+yxabdy+0(dx,dy)22由于ab,cd線元上的應(yīng)力分量均可用相應(yīng)線元中點(diǎn)處的應(yīng)力分量表示，以及略去二階以上的微量后，由上式得cd邊上的正應(yīng)力為 x+xxdx同理，如ab邊上的切應(yīng)力為xy，ad邊上的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為y，yx可得cd邊上的切應(yīng)力及bc邊的應(yīng)力分量可類推分別得xy+xyxyyxydxydyyxdy+y微單元體在面

11、力及體力作用下處于平衡，必須滿足靜力平衡的三個(gè)方程式。如果考慮到質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，而按照牛頓第二定律，方程式的右邊還應(yīng)包括這個(gè)微單元體的質(zhì)量與加速度在該坐標(biāo)軸上的投影的乘積(即慣性力的投影)。對(duì)于所研究的一點(diǎn)P。，設(shè)其位移在坐標(biāo)鈾x,y上的投影分別為u,v，加速度的投影可分別寫為：ut22,vt22若彈性體處于平衡狀態(tài)，則取自物體內(nèi)的單元體也必處于平衡狀態(tài)。因而，根據(jù)Fx=0(=ut2dxdy)，有2(x+xxdx)dy-xdy+(yx+yxy)dx-yxdx+Xdxdy=0(=utdxdy)將上式化簡(jiǎn)，并等式兩邊同除以dxdy，可得xx+xyy2+X=0(=ut22) (2.2-1a)由平衡方程式F

12、y=0=vt2)，可類似導(dǎo)得21第二章 應(yīng)力狀態(tài)yxx+yy+Y=0(=vt22) (2.2-1b)根據(jù)平衡方程ma=0得(yyxydydx)dx2-(xxdydx)2dy22+(xy+dx2xyxdx)dydx+dx2ut22dxdydy2-(+yxydy)dxdy-vtdxdy+Ydxdy-Xdxdydy2=0略去三階微量的項(xiàng)，得xy=yx這就是前面曾提到的切應(yīng)力互等定理。下面不再區(qū)分xy和yx。式(2.2-1)為平面應(yīng)力問(wèn)題的平衡微分方程式，它表明了應(yīng)力分量的變化與已知體力分量之間的關(guān)系；當(dāng)改為括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)，就代表運(yùn)動(dòng)方程式，又稱為柯西 (Chuchy)平衡運(yùn)動(dòng)微分方程。式(2.2-1)是

13、以平面應(yīng)力為例導(dǎo)出的，對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，在圖2.5(b)所示的單元體上，一般在前、后兩個(gè)面上還作用有正應(yīng)力z，但由于它們自成平衡，不影響方程的建立，因而，式(2.2-1)對(duì)兩種平面問(wèn)題都適用。在建立上述方程時(shí)，我們是按照1.2節(jié)的小變形中假?zèng)]，用物體變形以前的尺寸，而沒(méi)有用變形后平衡狀態(tài)下的尺寸。在以后建立任何平衡力程式時(shí)，都將作同樣的處理，不再加以說(shuō)明。對(duì)于三維應(yīng)力狀態(tài)的情況，可從受力物體中取出一微小六面體單元，可類似平面問(wèn)題導(dǎo)出xz=zx ， yz=zy 以及2u+X=0(=)2xyzt2yxyyzv+Y=0(=) (2.2-2) 2xyzt2zyzxzw+Z=0(=)2xyztxxyxz

14、式(2.2-2)為三維情況下的平衡微分方程。如果采用張量符號(hào)和下標(biāo)記號(hào)法，切應(yīng)力互等定理可縮寫為ij=ji (i,j=x,y,z)由此可知，應(yīng)力張量為一對(duì)稱張量，一共有6個(gè)獨(dú)立元素22第二章 應(yīng)力狀態(tài)ij平衡方程也可縮寫為x=(對(duì)稱)xyyxzyzzij,j+Gi=0 (2.2-3) 其中ij,j表示ij(i,j=x,y,z)對(duì)j(=x,y,z)取偏導(dǎo)數(shù)，而Gi當(dāng)i=x,y,z時(shí)，則分別代表X,Y,Z。因此，ij,j=0，則代表=0xyzyxyyz+=0 (2.2-4) xyzzyzxz+=0xyzx+xy+xz式(2.2-4)即是不計(jì)體力時(shí)們?nèi)S平衡微分方程式。2.3 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)所謂一點(diǎn)

15、的應(yīng)力狀態(tài)是指受力變形物體內(nèi)一點(diǎn)的不同截面上的應(yīng)力變化的狀況?，F(xiàn)以平面問(wèn)題為例說(shuō)明一點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)。在受力物體中取一個(gè)如圖2.6所示的微小三角形單元，其中AC，AB與坐標(biāo)軸x,y重合，而BC的外法線與zz軸成角。取坐標(biāo)x',y'，使BC的外法線方向與x'方向重合(如圖2.6)。如果x,y,xy已知，則BC面上的正應(yīng)力x，和切應(yīng)力xy可用已知量表示。因角的任意性，'''若BC面趨于點(diǎn)A時(shí)，則可認(rèn)為求得了描繪過(guò)點(diǎn)4處的應(yīng)力狀態(tài)的表達(dá)式。實(shí)際上，這里所討論的問(wèn)題是一點(diǎn)處不同方向的面上的應(yīng) 力的轉(zhuǎn)換，即BC面無(wú)限趨于點(diǎn)A時(shí)，該面上的應(yīng)力如何 用與原坐標(biāo)相平

16、行的面上的應(yīng)力來(lái)表示。在這種問(wèn)題的分 析中，可不必引入應(yīng)力增量和體力，因?yàn)樗鼈兣c應(yīng)力相比 屬于小量。假定BC的面積為1，則AB和AC的面積分別為cos與sin。于是，由力在坐標(biāo)x,y的平衡條件 圖2.6 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)23第二章 應(yīng)力狀態(tài)Fx=0和Fy=0，px=xcos+xysinpy=xycos+ysin可得(a)式中px,py為BC面上單位面積的力p在坐標(biāo)軸x,y方向上的分力(圖2.6)。將px,py投影到x',y'坐標(biāo)軸方向，有x''=pxcos+pysin'xy=pxcos-pysin(b)將式(b)代入式(a)，并注意到 2cos2=1+co

17、s2，2sin2=1-cos2，cos-sin=cos222和2sincos=sin2，可得x+2y'x=+x-2yycos2+xysin2 (2.3-1a)xy=-''x-2sin2+xycos2 (2.3-1b)將式(2.3-1a)中的換成+=2，則得yx+2y'-x-2ycos2-xysin2 (2.3-1c)如果BC面趨近于A點(diǎn)，且已知A點(diǎn)的應(yīng)力分量x,y,xy時(shí)，則由式(2.3-1)可求得過(guò)該點(diǎn)任意方向的平面上的應(yīng)力分量。因此，對(duì)于平面問(wèn)題，式(2.3-1)描述了該點(diǎn)的應(yīng)力分布規(guī)律，即描述了該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。對(duì)于三向應(yīng)力狀態(tài)，可以采用類似于二維應(yīng)力狀態(tài)分

18、析的方法。現(xiàn)在研究從受力物體中取出的任一無(wú)窮小的四面體(圖2.7)。斜面ABC的法線N與坐標(biāo)軸間的夾角的方向余弦分別是l、m、n。四 面體棱邊的長(zhǎng)度分別dx、dy和dz。設(shè)斜 面的面積為1，則三角形OBC、OAC、OAB的面積分別為1cos(N,x)=l1cos(N,y)=m 1cos(N,z)=n如果ABC面上單位面積上的力為p，沿坐標(biāo) 軸方向的分量px,py,pz可由傲小四面體單元24圖2.7 四面體的應(yīng)力分布第二章 應(yīng)力狀態(tài)的平衡條件得到px=xl+xym+xznpy=yxl+ym+yzn (2.3-2) pz=zxl+zym+zn式(2.3-2)是與坐標(biāo)軸呈任意傾斜面止單位面積上的面力

19、，該式也可按下標(biāo)記號(hào)法和求和約定縮寫為pi=ijnj (i,j=x,y,z) (2.3-3) 式中nj為斜面ABC外法線n與(j=x,y,z)軸間夾角的方向余弦l、m、n。 為了分析一點(diǎn)處應(yīng)力的某些特征，現(xiàn)將坐標(biāo)系oxyz變換到新坐標(biāo)系ox'y'z'，且新坐標(biāo)系的ox'軸與圖2.7中的法線方向n重合，新舊坐標(biāo)系間的方向余弦 如表cos(x,x)=l1，cos(x，y)=m1，cos(x，z)=n1，'''2.1所示，則x'方向的正應(yīng)力x'為'x=pxl1+pym1+pzn1表 2.1 新舊坐標(biāo)系間的方向余弦將(2.

20、3-2)代入上式，并注意到l、m、n分別等于l1，m1，n1，則得 x=xl12+ym12+zn12+2(xyl1m1+yzm1n1+xzn1l1)'類似地將px,py,pz在y'，z'方向投影，可得到y(tǒng)=xl22+ym22+zn22+2(xyl2m2+yzm2n2+xzn2l2)'z=xl32+ym32+zn32+2(xyl3m3+yzm3n3+xzn3l3)'xy=xl1l2+ym1m2+zn1n2+xy(l1m2+l2m1)+yz(m1n2+m2n1)+zx(l1n2+l2n1)''yz=xl2l3+ym2m3+zn2n3+xy(l

21、2m3+l3m2)+yz(m2n3+m3n2)+zx(l2n3+l3n2)''25第二章 應(yīng)力狀態(tài)zx=xl3l1+ym3m1+zn3n1+xy(l3m1+l1m3)+yz(m3n1+m1n3)+zx(l3n1+l1n3)''采用張量的方法，可將以上各式統(tǒng)一表示為ij=liiljjij (2.3-4)''''式(2.3-4)則是ij在坐標(biāo)變換時(shí)所遵循的法則。凡是一組9個(gè)量ij，在坐標(biāo)變換時(shí)遵從式(2.3-4)的法則就稱為二階張量。.4邊界條件當(dāng)物體處于平衡狀態(tài)時(shí)，除物體內(nèi)部各點(diǎn)要滿足平衡微分方程式(2.2-4)外，還應(yīng)滿走解條件。

22、定解條件一般包括初始條件、邊界條件或其它能確定唯一解答的補(bǔ)充條件。對(duì)于彈塑性靜力學(xué)問(wèn)題，定解條件主要是邊界條件，所以彈塑性力學(xué)問(wèn)題也就是數(shù)學(xué)物理方程中的邊值問(wèn)題。其它如約束條件、位移單值條件等也是常遇到的定解條件。在彈塑性力學(xué)中，給定面力的邊界，用S表示，結(jié)定位移的過(guò)界，用Su表示，如圖2.8所示。本節(jié)主要討論彈塑性力學(xué)平面問(wèn)題的邊界條件。a) b) 圖2.8 平面問(wèn)題邊界條件1. 位移邊界條件所謂位移邊界條件，就是在給定位移的邊界上，物體的位移分量必須等于邊界上的已知位移。設(shè)平面彈塑性體在Su邊界上給定x、y方向上的位移分別為u和v；，它們是邊界坐標(biāo)的已知函數(shù)；而位移分量u、v則是坐標(biāo)的待求

23、函數(shù)。當(dāng)把它們代入Su邊界的坐標(biāo)時(shí)，則必等于該點(diǎn)所給定的位移，即u=u， v=v 在Su (2.4-1) 對(duì)于三維問(wèn)題，在Su邊界的位移邊界條件為_(kāi)ui=ui (2.4-2) 此處i=(x,y,z)，且對(duì)應(yīng)于u、v、w。26第二章 應(yīng)力狀態(tài)2. 應(yīng)力邊界條件彈塑性體在外力作用下，處于平衡狀態(tài)的條件，除物體內(nèi)部各點(diǎn)的應(yīng)力分量應(yīng)滿足平衡方程式(2.2-4)外，物體邊界上各點(diǎn)也必須都是平衡的。由后者將導(dǎo)出應(yīng)力邊界條件。所謂應(yīng)力邊界條件就是在給定面力S的邊界上應(yīng)力分量與面力分量之間的關(guān)系。實(shí)質(zhì)上，它是彈塑性體內(nèi)部各點(diǎn)的平衡條件在其邊界上的延續(xù)。因此，應(yīng)力邊界條件就是物體邊界上點(diǎn)的平衡條件。設(shè)平面彈性體

24、在S上給定面力X、Y，它們是邊界坐標(biāo)的已知函數(shù)；而應(yīng)力分量x、y、z則是坐標(biāo)的待求函數(shù)。它們之間的關(guān)系可由邊界上微元體的平衡條件求出。不失一般性，在物體的邊界上取一微元體(一般取為三角形微元，因?yàn)樗梢悦枋鋈我馇€邊界)如圖2.8b)所示，它在平面問(wèn)題中顯然是三角板(平面應(yīng)力)或三棱柱(平面應(yīng)變)。若令微元體邊界面外法線N與x軸和y軸夾角的方向余弦分別為cos(N,x)=l，cos(N,y)=m_；斜邊長(zhǎng)為ds，兩直角邊長(zhǎng)分別為dx和dy，微元體_的厚度仍取為1，則由圖2.18b)，根據(jù)力的平衡條件有 (2.4-3)xyl+ym=Y_xl+xym=X如當(dāng)邊界平行于x軸時(shí)，有l(wèi)=0,m=

25、7;1。這時(shí)，式(2.2-7)則為_(kāi)y=±Y， xy=±X (在S邊界上) (a)而當(dāng)邊界平行y軸時(shí)，有l(wèi)=±1,m=0。這時(shí)，式(2.2-7)則為x=±X, xy=±Y (在S邊界上) (b) 由此可見(jiàn)，當(dāng)物體的邊界線與某一坐標(biāo)軸平行(或垂直)時(shí)，應(yīng)力邊界條件變得十分簡(jiǎn)單，即應(yīng)力分量的邊界值就等于對(duì)應(yīng)的面力分量，應(yīng)力分量的符號(hào)取決于邊界面的外法線方向。當(dāng)邊界面的外法線方向與坐標(biāo)正向一致時(shí)，等式右邊取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)。但應(yīng)注意，面力本身還有正負(fù)號(hào)。其規(guī)定與應(yīng)力符號(hào)法則相同。對(duì)于三維問(wèn)題，由力的平衡條件可得_xl+xym+xzn=Xxyl+ym+

26、yzn=Y (2.4-4)_xzl+yzm+zn=Z27第二章 應(yīng)力狀態(tài)需要指出的是：在垂直x軸的邊界面上，應(yīng)力邊界條件中不出現(xiàn)y，而在垂直y軸的邊界上不出現(xiàn)x。當(dāng)作用在邊界面上的面力不連續(xù)時(shí)，應(yīng)分段或展開(kāi)成級(jí)數(shù)寫出其邊界條件；沒(méi)有給定位移的自由邊界，實(shí)際上是給定面力為零的應(yīng)力邊界，不能遺漏。 3.混合邊界條件在一般情況下，若用S表示整個(gè)物體的表面積，則往往在其中一部分面積S上給出了面力，而在另一部分面積Su上給定的是位移。如圖2.9所示懸臂梁，固定端部分屬于Su部分，它給定位移而末給定外力；其余邊界均屬S部分，它的外力已給定 (包括外力等于零的部分)。顯然，在Su上各點(diǎn)應(yīng)滿足位 移邊界條件式

27、(2.4-1)，在S上各點(diǎn)應(yīng)滿足 應(yīng)力邊界條件式(2.4-3)。對(duì)于混合邊界條件，可以分別給在邊界 面的不同區(qū)域上，也可以給在同一區(qū)域的不 同方向上。也即，對(duì)于邊界上的一個(gè)點(diǎn)，在 某一確定方向上，必須且只能給出Su和S中的一種，既不能同時(shí)給定，也不能同時(shí)不給 圖2.9 受均布載荷懸臂梁 定；而同點(diǎn)在兩個(gè)互相垂直方向止，可以是 其中一個(gè)為S ，另一個(gè)為Su。例21 如圖2.9所示的一矩形截面懸臂梁，跨度為l，梁上表面作用均勻載荷q。試寫出該問(wèn)題的邊界條件。并檢查材料力學(xué)的應(yīng)力公式是否滿足力的邊界條件。 解：由材料力學(xué)所得的應(yīng)力分量為 x=-1) 梁的上表面y=h23qxy2Iz， y=0, xy

28、=-qxSIzz(a)處_X=0， Y=-q而 l=cos(N,x)=0, m=cos(N,y)=-1 代入力的邊界條件(2.4-3)，則解得yx=0， y=-q由上式可知，因?yàn)椴牧狭W(xué)作了縱向纖維無(wú)擠壓的假設(shè)，無(wú)法算出y的分布規(guī)律。因此，材料力學(xué)的應(yīng)力計(jì)算公式(a)結(jié)果并不滿足上表面y=-q的邊界條件。2) 梁的下表面y=-h2_處_X=0， Y=028_第二章 應(yīng)力狀態(tài)而 l=cos(N,x)=-1， m=cos(N,y)=0代入式(2.4-3)后解得yx=0， y=0由上式可見(jiàn)，材料力學(xué)的應(yīng)力計(jì)算公式(a)的結(jié)果滿足該邊界的力邊界條件，其中y=0是由材料力學(xué)的假設(shè)得出的。3) x=0的自

29、由端處X=0， Y=0又 l=cos(N,x)=-1， m=cos(N,y)=0代入式(2.4-3)后解得xy=0， y=0因此，在該邊材料力學(xué)的應(yīng)力計(jì)算公式(a)的結(jié)果也滿足該邊界的力邊界條件。 4) x=l的固定端處因?yàn)楣潭ǘ说耐饬Ψ植紱](méi)有具體給定我們只能求出該端面上的合力和合力矩的大小。且固定端限制了梁的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，所以該截面的位移邊界條件是很重要的。位移邊界條件可表示為u=0， v=0， _ux=0 或 vy=0 (在x=l，y=0處)有關(guān)這方面的內(nèi)容和處理方法將在后面的章節(jié)中詳細(xì)介紹。2.5 主應(yīng)力、主切應(yīng)力和八面體應(yīng)力在受力物體內(nèi)一點(diǎn)任意方向的微小面元上，一般都有正應(yīng)又和切應(yīng)力，不

30、同方向的面元上這些應(yīng)力有不同的數(shù)值。當(dāng)此微小面元轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，它的法線方向N隨之改變，面元上的正應(yīng)力和切應(yīng)力的方向和它們的值也都要發(fā)生變化。在外法線方向不斷改變過(guò)程中，必然會(huì)出現(xiàn)面元上只有正應(yīng)力，而切應(yīng)力等于零的情況。把這時(shí)面元的法線方向N稱為主應(yīng)力方向(主方向)，相應(yīng)的正應(yīng)力N稱為主應(yīng)力，它所在的面稱為主平面。以下將說(shuō)明，物體中任一點(diǎn)都有3個(gè)主應(yīng)力和相應(yīng)的3個(gè)主方向。1. 主應(yīng)力在圖2.7中，如令px,py,pz為ABC面上單位面積面力的三個(gè)分量，則有22+pz (a) p2=px2+py29第二章 應(yīng)力狀態(tài)將面元ABC上單位面積的三個(gè)分量px,py,pz投影到面元的法線方向N，即得面元ABC的正

31、應(yīng)力為N=pxl+pym+pzn (b)將(2.3-2)式代入(b)式，并經(jīng)整理后則得N=xl2+ym2+zn2+2(xylm+yzmn+zxnl) (2.5-1) 式(2.5-1)即為任意法線方向N的斜面上正應(yīng)力的表達(dá)式。該面上的切應(yīng)力為222 N=p-N (2.5-2)將式(a)和式(2.5-1)代入上式(2.5-2)，可得法線方向?yàn)镹的斜面上的切應(yīng)力。 注意到l2+m2+n2=1 (2.5-3) 因而三個(gè)方向余弦并不是獨(dú)立的?，F(xiàn)以N和n看成是l和m的、m為獨(dú)立變量，函數(shù)，并求(2.5-1)式的極值。因此，其一階偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)滿足 即xl+xym+zxn+(zxl+yzm+zn)nl=0xyl+

32、ym+yzn+(zxl+zym+zn)nm=0 (c)lN=0，Nm=0由式(2.5-3)可求得n對(duì)l和m的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)為nl=-ln， nm=-mn (d) 將(d)式代入(c)式，并注意到(2.3-2)式，可得 pxl=pym=pzn 令其比值為N，則有px=Nlpy=Nm (e) pz=Nn式(e)說(shuō)明，在正應(yīng)力取極值的斜平面上，全應(yīng)力投影與斜平面的方向余弦成正比，比值N當(dāng)然是正應(yīng)力，正應(yīng)力投影就是斜平面上全部應(yīng)力的投影，而切應(yīng)力不存在，因此主應(yīng)力(主平面)確實(shí)存在。 將 (2.3-2) 式代入(e)式，經(jīng)整理后得30第二章 應(yīng)力狀態(tài))l+xym+xzn=0xyl+(y-N)m+yzn=0

33、 (2.5-4)xzl+yzm+(z-N)n=0(x-N或用張量符號(hào)寫為(ij-ijN)lj=0 (2.5-5) 此處ij為Ktonecker-，定義為 ij1=0i=jij在(2.5-4)式中，共有4個(gè)未知數(shù)，即l、m、n和N，但由(2.5-3)式知，l、m、n這3個(gè)方向余弦不可能同時(shí)為零，因此，(2.5-4)可看成是關(guān)于l、m、n的線性齊次方程組，而且應(yīng)有非零解存在，由線性齊次方程組有非零解的條件可得到x-NxyyxzNxyxz-yzN=0yzz-展開(kāi)上式得32-I1N+I2N-I3=0 (2.5-6) N其中 I1=x+y+z222+yz+xz) I2=xy+yz+zx-(xyxxyyy

34、zxzyzzI3=xyxz=xyz+2xyyzxz-(x2yz+yxz+zxy)22方程式(2.5-6)是一關(guān)于N的三次方程，它至少有一個(gè)實(shí)根。令其為3=z，該上yz=xz=0。這樣式(2.5-6)中剩下的應(yīng)力分量只有x,y,xy，可由平面應(yīng)力狀態(tài)理論求得其余兩主應(yīng)力1、2以及它們作用的方向。這就簡(jiǎn)單地證明了，在物體內(nèi)的任意一點(diǎn)，一定存在三個(gè)互相垂直的應(yīng)力主平面，以及對(duì)應(yīng)的三個(gè)主應(yīng)力，它們的方向稱為應(yīng)力主方向。 因?yàn)橹鲬?yīng)力1，2，3是方程(2.5-6)的根，按大小排列為1>2>3，它們分別位于三個(gè)互相垂直的主平面，且在主平面上切應(yīng)力為零，所以式(2.5-6)也可改寫為31第二章 應(yīng)

35、力狀態(tài)3N-(1+2+3)2N+(12+23+31)N-123=0由代數(shù)學(xué)可知，為保證此方程和式(2.5-6)的解相同，其系數(shù)應(yīng)相同，出此可得三個(gè)系數(shù)為I1=x+y+z=1+2+3222I2=xy+yz+zx-(xy+yz+xz)=12+23+31xxyyyzxzyzzI3=xy=xyz+2xyyzxz-(x2yz+yxz+zxy)=12322xz由于在一定的應(yīng)力狀態(tài)下，物體內(nèi)任一點(diǎn)的主應(yīng)力不會(huì)隨坐標(biāo)系的改變而改變，所以式(2.5-6)所給出的系數(shù)I1，I2，I3分別稱為第一、第三、第三應(yīng)力張量不變量，簡(jiǎn)稱應(yīng)力不變量。以主應(yīng)力1，2，3的方向?yàn)樽鴺?biāo)軸(分別記為1、2、3)的幾何空間，稱為主向空

36、間。在主向空間，(2.5-1)和(2.5-2)式則為N=1l2+2m2+3n2 (2.5-7) N=12l2+22m2+32n2-(1l2+2m2+3n2)2 (2.5-8) 2. 主切應(yīng)力當(dāng)在主向空間討論切應(yīng)力N的變化時(shí)，(2.5-2)式可寫為22222222222=1l+2m+3n-(1l+2m+3n) (2.5-9) N由(2.5-3)可知n2=1-l2-m2 將n2用上式代替后，(2.5-9)式可得2222222222=(1-3)l+(2-3)m+3-(1-3)l+(2-3)m+3 N22為了求出N的極值，取N對(duì)l和m的偏導(dǎo)數(shù)，并令它等于零，這時(shí)有122l(1-3)l+(2-3)m-(

37、1-3)=02 (f)122m(1-3)l+(2-3)m-(2-3)=0232第二章 應(yīng)力狀態(tài)滿足上式的解有以下四種情況：(1)l=0、m=0，由(2.5-3)式可得n=±，由(2.5-7)式得N=0，這是一主平面。(2)l0、m=0，由式(f)的第一式得 (1-3)(1-2l2)=0 因(1-3)0，故 l=±1212由式(2.5-3)可知 n=±該解表示通過(guò)2，并平分1、3所夾再的平面，如圖2.10a)所示。a) b) c) 圖2.10 主切應(yīng)力平面 用同樣的方法可得 (3)l=0，m=n=±1212(4) n=0，l=m=±解(3)代表通

38、過(guò)1，并平分2、3所夾角的平面，見(jiàn)圖2.10b)；而解(4)代表通過(guò)2并平分1、3所夾角的平面，見(jiàn)圖1.10c)?，F(xiàn)將所有的解列于表2.2中。表2.2 切應(yīng)力有極值的平面方位33第二章 應(yīng)力狀態(tài)將以上所得到的l、m、n值代入式(2.5-9)中，可以得到所求方向的切應(yīng)力的極值，這時(shí)有23=±23-1=± (2.5-10)21-2=±22-33112稱23、31、12為主切應(yīng)力，這些主切應(yīng)力所在的面如圖1.10所示，依據(jù)主應(yīng)力大小的排列次序，則最大切應(yīng)力max=12滿足下式所列條件1-32。且上式可知，顯然23、31、23+31+12=0注意，在主切應(yīng)力所在平面正應(yīng)力并不為零，它們分別為1+222+321+32，。3. 八面體應(yīng)力當(dāng)變形物體受載較大時(shí)，可能產(chǎn)生塑性變形。在塑性理論中，除要用到最大切應(yīng)力外，還要用到正八面體的切應(yīng)力?，F(xiàn)在主向空間取一如圖2.11a)所示的傾斜面，且該傾斜面的法線N與三個(gè)坐標(biāo)軸呈等傾斜，即具方尚余弦為l=m=n根據(jù)(2.5-3