數(shù)學(xué)奧林匹克專題講座 第16講 枚舉歸納與猜想

1、數(shù)學(xué)奧林匹克專題講座 第16講 枚舉、歸納與猜想一、枚舉法枚舉法起源于原始的計(jì)數(shù)方法，即數(shù)數(shù)。關(guān)于這方面的例子，我們在第11講中已介紹過，現(xiàn)在我們從另一角度來利用枚舉法解題。當(dāng)我們面臨的問題存在大量的可能的答案（或中間過程），而暫時(shí)又無法用邏輯方法排除這些可能答案中的大部分時(shí)，就不得不采用逐一檢驗(yàn)這些答案的策略，也就是利用枚舉法來解題。采用枚舉法解題時(shí)，重要的是應(yīng)做到既不重復(fù)又不遺漏，這就好比工廠里的質(zhì)量檢驗(yàn)員的責(zé)任是把不合格產(chǎn)品挑出來，不讓它出廠，于是要對(duì)所有的產(chǎn)品逐一檢驗(yàn)，不能有漏檢產(chǎn)品。例1 一個(gè)小于400的三位數(shù)，它是平方數(shù)，它的前兩個(gè)數(shù)字組成的兩位數(shù)還是平方數(shù)，其個(gè)位數(shù)也是一個(gè)平方數(shù)

2、。求這個(gè)三位數(shù)。解：這道題共提出三個(gè)條件：（1）一個(gè)小于400的三位數(shù)是平方數(shù)；（2）這個(gè)三位數(shù)的前兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)還是平方數(shù)；（3）這個(gè)三位數(shù)的個(gè)位數(shù)也是一個(gè)平方數(shù)。我們先找出滿足第一個(gè)條件的三位數(shù)：100，121，144，169，196，225， 256， 289， 324， 361。再考慮第二個(gè)條件，從中選出符合條件者：169，256，361。最后考慮第三個(gè)條件，排除不合格的256，于是找到答案是169和361。說明：這里我們采用了枚舉與篩選并用的策略，即依據(jù)題中限定的條件，面對(duì)枚舉出的情況逐步排除不符合條件的三位數(shù)，確定滿足條件的三位數(shù)，從而找到問題的答案。例2哥德巴赫猜想是說：每

3、個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和。問：168是哪兩個(gè)兩位數(shù)的質(zhì)數(shù)之和，并且其中一個(gè)的個(gè)位數(shù)是1？解：168表示成兩個(gè)兩位質(zhì)數(shù)之和，兩個(gè)質(zhì)數(shù)都大于68。個(gè)位是1且大于68的兩位數(shù)有71，81，91，其中只有71是質(zhì)數(shù)，所以一個(gè)質(zhì)數(shù)是71，另一個(gè)質(zhì)數(shù)是168-71=97。說明：解此題要求同學(xué)們記住100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)。如果去掉題目中“其中一個(gè)的個(gè)位數(shù)是1”的條件，那么上述答案不變，仍是唯一的解答。如果取消位數(shù)的限制，那么還有168=5+163，168=11+157，168=17+151，哥德巴赫猜想是1742年提出來的，至今已有250多年的歷史了，它是數(shù)論中最有名的問題，中外許多著名的數(shù)學(xué)家都研

4、究過，包括我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授。例 3有30枚貳分硬幣和8枚伍分硬幣，用這些硬幣不能構(gòu)成的1分到1元之間的幣值有多少種？解：注意到所有的38枚硬幣的總幣值恰好是100分（即1元），于是除了50分與100分外，其他98種幣值可以兩兩配對(duì)，即（1，99），（2，98），（3，97），（49，51）。每一對(duì)幣值中有一個(gè)可用若干枚貳分和伍分硬幣構(gòu)成，則另一個(gè)也可以，顯然50分和100分的幣值是可以構(gòu)成的，因此只需要討論幣值為1分、2分、3分49分這49種情況。1分和3分的幣值顯然不能構(gòu)成。2分、4分、6分48分這24種偶數(shù)幣值都可以用若干枚貳分硬幣構(gòu)成，因?yàn)橘E分硬幣的總數(shù)為30個(gè)。5分、7分、9分

5、49分這23種奇數(shù)幣值，只需分別在4分、6分、8分48分幣值的構(gòu)成方法上，用1枚伍分硬幣換去兩枚貳分硬幣即可，比如37分幣值，由于36分幣值可用18枚貳分硬幣構(gòu)成，用1枚伍分硬幣換下2枚貳分硬幣，所得的硬幣值即為37分。綜合以上分析，不能用若干枚貳分和伍分硬幣構(gòu)成的1分到1元之間的幣值只有四種，即1分、3分、97分、99分。例4一個(gè)兩位數(shù)被7除余1，如果交換它的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的位置，所得到的兩位數(shù)被7除也余1，那么這樣的兩位數(shù)有多少個(gè)？都是幾？兩式相減，得9（a-b）=7（n-m）。于是7|9（a-b）。因?yàn)椋?，9）=1，所以7|a-b，得到a-b=0，或a-b=7。（1）當(dāng)a-b=0，

6、即a=b時(shí)，在兩位數(shù)11，22，33，44，55，66，77，88，99中逐一檢驗(yàn)，只有22，99符合被7除余1的條件。（2）當(dāng)a-b=7，即a=b7時(shí)，b=1，或b=2。在81，92這二個(gè)數(shù)中，只有92符合被7除余1的條件。因?yàn)閍，b交換位置也是解，所以符合條件的兩位數(shù)共有四個(gè)，它們是22，29，92及99。說明：這里我們把題中限定的條件放寬，分成兩類，枚舉出每一類的兩位數(shù)，逐一檢驗(yàn)排除不符合條件的兩位數(shù)，確定符合條件的兩位數(shù)，從而找到問題的答案。此題也可以枚舉出被7除余1的所有兩位數(shù)：15，22，29，36，43，50，57，64，71，78，85，92，99，再根據(jù)題意逐一篩選。例5把1

7、，2，3，4，5，6分別填入左下圖所示的表格內(nèi)，使得每行相鄰的兩個(gè)數(shù)左邊的小于右邊的，每列的兩數(shù)上面的小于下面的。問：有幾種填法？解：如右上圖，由已知可得a最小，f最大，即a=1，f=6。根據(jù)b與d的大小，可分兩種情況討論。當(dāng)bd時(shí)，有b=2，c=3或4或5，可得下列3種填法：當(dāng)bd時(shí)，有b=3，d=2，c=4或5，可得下列2種填法：綜上所述，一共有5種填法。例6今有101枚硬幣，其中有100枚同樣的真幣和1枚偽幣，偽幣與真幣的重量不同，現(xiàn)需弄清楚偽幣比真幣輕，還是比真幣重，但只有一架沒有砝碼的天平。試問，怎樣利用這架天平稱兩次，來達(dá)到目的？解：在天平兩端各放50枚硬幣。如果天平平衡，那么所剩

8、一枚為偽幣，于是取一枚偽幣和一枚真幣分放在天平兩端，即可判明真幣與偽幣誰輕誰重。如果天平不平衡，那么取下重端的50枚硬幣，并將輕端的50枚硬幣分放兩端各25枚，若此時(shí)天平平衡，則說明偽幣在取下的50枚硬幣中，即偽幣比真幣重；若此時(shí)天平仍不平衡，則說明偽幣在較輕的50枚硬幣中，即偽幣比真幣輕。在上述解答過程中，我們面臨著“平衡”或“不平衡”兩種可能的狀態(tài)，對(duì)這兩種狀態(tài)，逐一檢驗(yàn)，即得到問題的結(jié)論。由上述例題可以看出運(yùn)用枚舉法的關(guān)鍵在于：（1）如何將整體分解成各個(gè)特殊情況，也就是要注意分類的方法，分類必須適合于一一列舉和研究，同時(shí)分類必須不重也不漏。（2）善于對(duì)列舉的結(jié)果進(jìn)行綜合考察（包括篩選），

9、并導(dǎo)出結(jié)論。二、歸納與猜想“猜想”是一種重要的思維方法，對(duì)于確定證明方向，發(fā)現(xiàn)新定理，都有重大意義。最著名的例子就是哥德巴赫猜想，1742年曾任中學(xué)教師的哥德巴赫和大數(shù)學(xué)家歐拉通過觀察實(shí)例：6=33，8=35，10=37，12=57，14=311，16=313，18=711，提出如下猜想：“任何大于或等于6的偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和?！边@就是聞名于世的哥德巴赫猜想，至今還沒有給以邏輯證明，所以仍是一個(gè)猜想。二百多年以來，她像一顆璀璨奪目的明珠，吸引了無數(shù)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者為之奮斗。通過觀察若干具體實(shí)例，發(fā)現(xiàn)存在于它們之中的某種似乎帶規(guī)律性的東西，我們相信它具有普遍意義，對(duì)更多更一般的實(shí)

10、例同樣適用，從而把它當(dāng)做一般規(guī)律或結(jié)論，這種發(fā)現(xiàn)規(guī)律或結(jié)論的方法就是歸納法。當(dāng)然，歸納出來的規(guī)律或結(jié)論一般來說還只是一種猜想，它是否正確，還有待于進(jìn)一步證明。例如，我們可能碰巧看到182764=100，改變一下形式：13233343=102=（1234）2。這個(gè)形式很規(guī)則，這是偶然的，還是確有這樣的規(guī)律？不妨再試驗(yàn)一下：1323=9=32=（12）2，132333=36=62=（123）2。再多一些數(shù)試驗(yàn)一下：1323334353=225=152=（12345）2。于是猜想：又如，求凸n邊形內(nèi)角和。觀察分析：三角形內(nèi)角和為180°；四邊形可分為2個(gè)三角形，故內(nèi)角和為2×18

11、0°；五邊形可分為3個(gè)三角形，故內(nèi)角和為3×180°；歸納猜想：凸n邊形的內(nèi)角和為（n-2）×180°。例7下面各列數(shù)都依照一定規(guī)律排列，在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：（1）1，5，9，13，17，（）；（4）32，31，16，26，（），（），4，16，2，11。分析與解：要在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，必須正確地判斷出每列數(shù)所依照的規(guī)律，為此必須進(jìn)行仔細(xì)的觀察和揣摩。（1）考察相鄰兩數(shù)的差：5-1=4， 9-5=4，13-9=4， 17-13=4?？梢?，相鄰兩數(shù)之差都是4。按此規(guī)律，括號(hào)里的數(shù)減去17等于4，所以應(yīng)填入括號(hào)里的數(shù)是174=21。（2）像（1

12、）那樣考慮難以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，改變一下角度，把各數(shù)改寫為可以發(fā)現(xiàn)：（3）為探究規(guī)律，作適當(dāng)變形：這樣一來，分子部分呈現(xiàn)規(guī)律：自3起，依次遞增2，故括號(hào)內(nèi)的數(shù)的分子為13。再看分母部分：4，8，14，22，32。相鄰兩數(shù)之差得4，6，8，10?？梢娎ㄌ?hào)內(nèi)的數(shù)的分母應(yīng)為3212=44。（4）分成兩列數(shù)：奇數(shù)位的數(shù)為32，16，（），4，2?？梢娗懊胬ㄌ?hào)中應(yīng)填入8；偶數(shù)位的數(shù)為31，26，（），16，11。括號(hào)中的數(shù)應(yīng)填入21。所以，兩括號(hào)內(nèi)依次填入8，21。說明：從上面例子可以看到，觀察時(shí)不可把眼光停留在某一點(diǎn)上固定不變，而要注意根據(jù)問題特點(diǎn)不斷調(diào)整自己觀察的角度，以利于觀察出有一定隱蔽性的內(nèi)在規(guī)律。例

13、8下面是七個(gè)分?jǐn)?shù)：先約分，請你再劃去一個(gè)與眾不同的數(shù)，然后按照一定的規(guī)律將余下的六個(gè)數(shù)排列起來，并按你的規(guī)律接下去寫出第七個(gè)數(shù)。分析：約分是容易的，除其中一個(gè)數(shù)外，另外六個(gè)數(shù)必有聯(lián)系。解：已給分?jǐn)?shù)經(jīng)約分后是說明：這個(gè)題目里給出了解題的操作指示，即化簡、按規(guī)律分類、排序、添加新數(shù)，做起來感覺很順利、輕松。做完題后體會(huì)一下命題者的用意，他是想讓學(xué)生了解和學(xué)會(huì)怎樣歸納和猜測。在許多問題中，各元素從表面上看沒什么聯(lián)系，也看不出什么規(guī)律，這就需要我們像做約分那樣透過表面看本質(zhì)，扒掉“披在元素身上花花綠綠的外衣”，從而發(fā)現(xiàn)彼此間的共性和聯(lián)系。這個(gè)題的命題者給出了一個(gè)做歸納和猜測的示范，應(yīng)引起讀者重視。例9

14、將正方形紙片如下圖所示由下往上對(duì)折，再由左向右對(duì)折，稱為完成一次操作。按上述規(guī)則完成五次操作以后，剪去所得小正方形的左下角。問：當(dāng)展開這張正方形紙片后，一共有多少個(gè)小洞孔？解：一次操作后，層數(shù)由1變?yōu)?，若剪去所得小正方形左下角，展開后只有1個(gè)小洞孔，恰是大正方形的中心。連續(xù)兩次操作后，折紙層數(shù)為42，剪去所得小正方形左下角，展開后大正方形留有42-1=41=4（個(gè)）小洞孔。連續(xù)三次操作后，折紙層數(shù)為43，剪去所得小正方形左下角，展開后大正方形上留有43-1=42=16（個(gè)）小洞孔。按上述規(guī)律不難斷定：連續(xù)五次操作后，折紙層數(shù)為45，剪去所得小正方形左下角，展開后大正方形紙片上共留有小洞孔45

15、-1=44=256（個(gè)）。例10將自然數(shù)排成如下的螺旋狀：第一個(gè)拐彎處的數(shù)是2，第二個(gè)拐彎處的數(shù)是3，第20個(gè)及第25個(gè)拐彎處的數(shù)各是多少？解：由圖可知，前幾個(gè)拐彎處的數(shù)依次是2，3，5，7，10，13，17，21，26，這是一個(gè)數(shù)列，題目要求找出它的第20項(xiàng)和第25項(xiàng)各是多少，因此要找出這個(gè)數(shù)列的規(guī)律。把數(shù)列的后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)，得一新數(shù)列：1，2，2，3，3，4，4，5，5，把原數(shù)列的第一項(xiàng)2添在新數(shù)列的前面，得到2，1，2，2，3，3，4，4，5，5，于是，原數(shù)列的第n項(xiàng)an就等于上面數(shù)列的前n項(xiàng)和，即a1=2=1+1=2，a2=2+1=1+（1+1）=3，a3=2+1+2=1+（1+1+

16、2）=5，a4=2+1+2+2=1+（1+1+2+2）=7， 所以，第20個(gè)拐彎處的數(shù)是：a20=1+（1+1+2+2+3+3+4+4+10+10）=12×（1210）=111。第25個(gè)拐彎處的數(shù)是：a25=1+（1+1+2+2+12+12+13）=1112×（1112）13=170。說明：（1）這個(gè)數(shù)列的一般項(xiàng)可以寫成第2n（偶數(shù)）項(xiàng)為a2n=12×（12n）=1nn2；第（2n+1）（奇數(shù)）項(xiàng)為a2n1=12×（12n）（n1）=22nn2。（2）尋找數(shù)列排列的規(guī)律，常用兩種方法：一是考察數(shù)列的“項(xiàng)”與它所在的位置即“項(xiàng)數(shù)”之間的關(guān)系，一般的數(shù)列寫作

17、a1，a2，a3，an，這里an是數(shù)列的“項(xiàng)”，n是“項(xiàng)數(shù)”。若能找到“項(xiàng)”與“項(xiàng)數(shù)”的關(guān)系，則知道了項(xiàng)數(shù)n，也就知道了項(xiàng)an。另一方法是研究相鄰兩項(xiàng)或幾項(xiàng)的關(guān)系，這樣，知道了最初的幾項(xiàng)后，后面的項(xiàng)就可利用關(guān)系順次寫出來。例11給出一個(gè)“三角形”的數(shù)表如下：此表構(gòu)成的規(guī)則是：第一行是0，1，2，999，以后下一行的數(shù)是上一行相鄰兩數(shù)的和。問：第四行的數(shù)中能被999整除的數(shù)是什么？解：首先找出第四行數(shù)的構(gòu)成規(guī)律。通過觀察、分析，可以看出：第四行的任一個(gè)數(shù)都和第一行中相應(yīng)的四個(gè)相鄰的數(shù)有關(guān)，具體關(guān)系可以從下表看出：如果用an表示第四行的第n個(gè)數(shù)，那么an=8n+4。現(xiàn)在要找出an=8n+4=999

18、k的an，顯然k應(yīng)是4的倍數(shù)。注意到第四行中最大的數(shù)是7980999×8，所以k=4。由此求出第四行中能被999整除的數(shù)是999×4=3996，它是第四行的第（3996-4）÷8=499（項(xiàng)），即a499=3996。說明：本題通過觀察、歸納找出第四行的構(gòu)成規(guī)律，即第n個(gè)數(shù)的通項(xiàng)公式。當(dāng)然通項(xiàng)公式也可以直接通過觀察第四行各數(shù)的排列規(guī)律來發(fā)現(xiàn)，即把第四行的前后幾個(gè)數(shù)算出來：12，20，28，36，7980。觀察分析發(fā)現(xiàn)：后一個(gè)數(shù)都比前一個(gè)數(shù)多8，從而歸納出通項(xiàng)公式為：an=8n+4。例12在平面上有n條直線，任何兩條都不平行，并且任何三條都不交于同一點(diǎn)，這些直線能把平

19、面分成幾部分？解：設(shè)n條直線分平面為Sn部分，先實(shí)驗(yàn)觀察特例有如下結(jié)果： n與Sn之間的關(guān)系不太明顯，但Sn-Sn-1有如下關(guān)系： 觀察上表發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n2時(shí)，有Sn-Sn-1=n。因?yàn)樵冢╪-1）條直線后添加第n條直線被原（n-1）條直線截得的n段中的任何一段都將它所在的原平面一分為二，相應(yīng)地增加n部分，所以Sn=Sn-1+n，即Sn-Sn-1=n。從而S2-S1=2，S3-S2=3，S4-S3=4，Sn-Sn-1=n。將上面各式相加，得到Sn-S1=2+3+n，Sn=S1+2+3+n=2+2+3+n=1+（1+2+n）說明：Sn也可由如下觀察發(fā)現(xiàn)。由上表知：S1=1+1，S2=1+1+2，S3

20、=1+1+2+3，S4=1+1+2+3+4，依此類推，便可猜想到  練習(xí)16 1.用數(shù)字1，3，4，5，7，8，9組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，得到的數(shù)從小到大排成一列。問：第119個(gè)數(shù)是幾？2.同時(shí)滿足下列條件的分?jǐn)?shù)共有多少個(gè)？（2）分子和分母都是質(zhì)數(shù)；（3）分母是兩位數(shù)。請列舉出所有滿足條件的分?jǐn)?shù)。3.用一個(gè)三位數(shù)乘945，使所得的乘積為平方數(shù)，這樣的數(shù)共有幾個(gè)？最大的與最小的各是多少？4.A，B，C三人中，一部分是總說真話的老實(shí)人，另一部分是總說假話的騙子。A說：“若C是老實(shí)人，則B是騙子。”C說：“A和我不都是老實(shí)人，也不全是騙子?！眴枺篈，B，C三人中，誰是老實(shí)人？誰是騙子？5

21、.現(xiàn)有如下一系列圖形：當(dāng)時(shí)n=1時(shí)，長方形ABCD分為2個(gè)直角三角形，這些三角形共有5條邊（重復(fù)的只算一條，下同）。當(dāng)n=2時(shí)，長方形ABCD分為8個(gè)直角三角形，這些三角形共有16條邊。當(dāng)n=3時(shí)，長方形ABCD分為18個(gè)直角三角形，這些三角形共有33條邊。按如上規(guī)律請你回答：當(dāng)n=100時(shí)，長方形ABCD應(yīng)分為多少個(gè)直角三角形？這些三角形共有多少條邊？6.（1）下面的（a）（b）（c）（d）為四個(gè)平面圖。數(shù)一數(shù)，每個(gè)平面圖各有多少頂點(diǎn)？多少條邊？它們分別圍成了多少個(gè)區(qū)域？請將結(jié)果填入下表（按填好的樣子做）。（2）觀察上表，推斷一個(gè)平面圖的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)之間有什么關(guān)系。（3）現(xiàn)已知某個(gè)平

22、面圖有999個(gè)頂點(diǎn)，且圍成了999個(gè)區(qū)域，試根據(jù)以上關(guān)系確定這個(gè)圖有多少條邊。7.有一列數(shù)1，3，4，7，11，18，（從第三個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)恰好是它前面相鄰兩個(gè)數(shù)的和）。（1）第999個(gè)數(shù)被6除余幾？（2）把以上數(shù)列按下述方法分組：（1），（3，4），（7，11，18），（第n組含有n個(gè)數(shù)）第999組的各數(shù)之和被6除余數(shù)是幾？8.把1999這999個(gè)自然數(shù)按順時(shí)針的方向依次排列在一個(gè)圓圈上（如下圖）。從1開始按順時(shí)針的方向，保留1，擦去2；保留3，擦去4這樣每隔一個(gè)數(shù)擦去一個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)圈擦下去。問：最后剩下一個(gè)數(shù)時(shí)，剩下的是哪個(gè)數(shù)？練習(xí)16 1.1985。解：按從小到大無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)順序，前

23、兩位數(shù)是13的有20個(gè)；前兩位數(shù)是14的有20個(gè)；前兩位數(shù)是19的有20個(gè)。即為1987，那么第119個(gè)數(shù)就是1985。提示：由（1）知分子是大于1，且小于20（因?yàn)榉帜甘莾晌粩?shù)）的質(zhì)數(shù)。然后就分子為2，3，5，7，11，13，17，19逐一枚舉，推出共有13個(gè)分?jǐn)?shù)滿足要求。3.945，105。解：因?yàn)?45=33×5×7，要使它乘上一個(gè)數(shù)后成為平方數(shù)，必須使乘積中各質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)成為偶數(shù)，所以，所乘的數(shù)必須是 3×5×7=105與另一平方數(shù)的乘積。因?yàn)?05×12=105，105×22=620，105×32=945，所以，與

24、945相乘得到平方數(shù)的三位數(shù)共有3個(gè)，最大的是945，最小的是105。4.B，C是老實(shí)人，A是騙子。解：假設(shè)C是騙子，那么，從C的說法斷定A與C一樣是騙子。這樣，不管B是不是騙子，A的說法沒錯(cuò)，應(yīng)是老實(shí)人，產(chǎn)生矛盾。因此C是老實(shí)人。由C的說法斷定A與C不一樣，是騙子。再由A的說法，斷定B不是騙子，是老實(shí)人。5.20000個(gè)，30200條。解：n=1時(shí)，直角三角形有2×12個(gè)，邊數(shù)=2×1×（1+1）+12=5；n=2時(shí)，直角三角形有2×22個(gè)，邊數(shù)=2×2×（2+1）22=16；n=3時(shí)，直角三角形有2×32個(gè)，邊數(shù)=2&#

25、215;3×（3+1）+32=33。對(duì)一般的n，共分為2×n2個(gè)直角三角形，邊數(shù)=2n（n+1）+n2。所以n=100時(shí)，共分為2×1002=20000（個(gè)）直角三角形，共有2×100×（100+1）+1002=30200（條）邊。6.（1）填表如下：（2）由該表可以看出，所給四個(gè)平面圖的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)及區(qū)域數(shù)之間有下述關(guān)系：4+3-6=1，8+5-12=1，6+4-9=1，10+6-15=1。所以，我們可以推斷：任何平面圖的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)及區(qū)域數(shù)之間，都有下述關(guān)系：頂點(diǎn)數(shù)+區(qū)域數(shù)-邊數(shù)=1。（3）由上面所給的關(guān)系，可知所求平面圖的邊數(shù)。邊數(shù)=頂點(diǎn)數(shù)+區(qū)域數(shù)-1=99