泰勒級數(shù)展開

1、數(shù)學(xué)物理方法陳尚達(dá)材料與光電物理學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法第三章第三章 冪級數(shù)展開冪級數(shù)展開1、復(fù)數(shù)項級數(shù)2、冪級數(shù)3、泰勒級數(shù)展開4、解析延拓5、洛朗級數(shù)展開6、孤立奇點的分類數(shù)學(xué)物理方法3.3 3.3 泰勒級數(shù)展開泰勒級數(shù)展開 通過對冪級數(shù)的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道一個通過對冪級數(shù)的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道一個冪級數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓的內(nèi)部是一個解冪級數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓的內(nèi)部是一個解析函數(shù)。現(xiàn)在我們來研究與此相反的問題，就析函數(shù)?，F(xiàn)在我們來研究與此相反的問題，就是：任何一個解析函數(shù)是否能用冪級數(shù)來表示？是：任何一個解析函數(shù)是否能用冪級數(shù)來表示？這個問題不但有理論意義，而且很有實用價值這個問題不但有理論意義

2、，而且很有實用價值.數(shù)學(xué)物理方法3.3.1泰勒級數(shù)數(shù)學(xué)物理方法 0z z R C 數(shù)學(xué)物理方法0zz0z001zzz000001111()()1zzzzzzzz01, (| 1)1nnzzz其中其中z在在C的內(nèi)部的內(nèi)部,，而，而在在C上取值上取值, C取逆時針正方向取逆時針正方向. 故故從而從而因為因為根據(jù)數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)物理方法3.3.2 將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法例例3.3.1 在 的鄰域上把 展開。00z ( )zf ze解：函數(shù) 的各階導(dǎo)數(shù) 而( )zf ze( )( )kzfze( )( )0()(0)1kkfzf故 在 領(lǐng)域上的泰勒級數(shù)寫為(

3、)zf ze00z 2311!2!3!zzzze 易求收斂半徑無限大數(shù)學(xué)物理方法例例3.3.2 在 的鄰域把 和 展開。00z 1( )sinf zz2( )cosfzz1( )cosfzz1( )sinfzz (3)1( )cosfzz (4)1( )sinfzz解： 函數(shù) 的前四階導(dǎo)數(shù)分別為1( )sinf zz由上可見其四階導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)本身，因此其高階導(dǎo)數(shù)是前四階導(dǎo)數(shù)的重復(fù)。且在 有00z 1(0)1f1(0)0f(3)1(0)1f (4)1(0)0f故有357sin1!3!5!7!zzzzz 數(shù)學(xué)物理方法同樣的方法，可求得 在 鄰域上的泰勒級數(shù)cosz00z 246cos12!4!6!

4、zzzz 容易求得上面兩個泰勒級數(shù)的收斂半徑為無限大。即 Z在全復(fù)平面上取值只要有限，上面兩個級數(shù)就收斂。數(shù)學(xué)物理方法例例3.3.3 在 的鄰域把 展開。01z ( )lnf zz解：多值函數(shù) 的支點在 現(xiàn)在展開中心 并非支點，在它的鄰域上，各個單值互相獨立，可以比照單值函數(shù)的方法展開，先計算系數(shù) ( )lnf zz0,zz 01z 1( )fzz21!( )fzz (3)32!( )fzz( )lnf zz(1)1f( )1!fz (3)( )2!fz (1)ln12fni 于是可寫成 在鄰域上的泰勒級數(shù)01z 數(shù)學(xué)物理方法2323411!2!lnln1(1)(1)(1)1!2!3!(1)(

5、1)(1)2(1)234zzzzzzzniz可以求得上式的收斂半徑為1。因此23(1)(1)ln2(1)(1)23zzznizz上式n0的那一個單值分支叫作 的主值主值。ln z數(shù)學(xué)物理方法例例3.3.3 在 的鄰域把 展開（m不是正整數(shù)）。00z ( )(1)mf zz解：先計算展開系數(shù)( )(1)mf zz1( )(1)mfzmz2( )(1)(1)mfzm mz(3)3( )(1)(2)(1)mfzm mmz(0)1mf(0)1mfm(0)(1)1mfm m(3)(0)(1)(2)1mfm mm23(1)(1)1111!2!(1)(2)13!mmmmmmm mzzzm mmz數(shù)學(xué)物理方法

6、23(1)(1)(2)(1)1 1,(1)1!2!3!mmmm mm mmzzzzz易求其收斂半徑為1，故式中221()mi nmi nmee在許多的單值分支中，n0那一支即 的那一個叫作 的主值。上式也就是指數(shù)為非整數(shù)的二項式二項式定理定理。11m(1)mz數(shù)學(xué)物理方法二、當(dāng) 較復(fù)雜時，求 比較麻煩。根據(jù)泰勒展式的唯一性，因此通常用間接展開法間接展開法，即利用基本展開公式及冪級數(shù)的代數(shù)運算、代換、逐項求導(dǎo)或逐項積分等將函數(shù)展開成冪級數(shù)，基本展開公式如下：( )f z( )0()nfz數(shù)學(xué)物理方法解：利用 有0,;!nznzezn 00352121011( )()sin()()22!( 1)3

7、!5!(21)!( 1)(21)!nniziznnmmmmmizizzeeiinnzzzzmzm 數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)物理方法000101ln(1)d( 1)d1( 1), 11zznnnnnnzzzzzzzn數(shù)學(xué)物理方法211(1)1zz 0( 1)nnnz 110( 1), 1nnnnzz數(shù)學(xué)物理方法010111111( 1)122212(1)1( 1), (12)2nnnnnnnzzzz 1( )111zf zzz 解：11(1)2z 數(shù)學(xué)物理方法解：12( )(1)(2)12zf zzzzz 00011( /2)11/21(1)2nnnnnnnzzzzz數(shù)學(xué)物理方法作業(yè)作業(yè)P52（2），

8、（3）， （5），（6），（8）補(bǔ)充：（1）將 在 領(lǐng)域展開。shz00z 數(shù)學(xué)物理方法補(bǔ)充補(bǔ)充 泰勒展開的方法（參見陸全康教材）泰勒展開的方法（參見陸全康教材）1、替換法、替換法解解：令1z即 3312(1)zz 利用0(1)mmkkkza z得到330(1)()kkka 數(shù)學(xué)物理方法12( )(1)(2)12zf zzzzz 解：第二式中令 即可2zt數(shù)學(xué)物理方法2、加減法002422011( )()cos()()22!1( 1)2!4!(2 )!( 1)(2 )!nniziznnmmmmmizizzeennzzzmzm 數(shù)學(xué)物理方法3、多項式乘或除解：20( 1)cos, .(2 )!nnnzzzn 0,;!nznzezn 將上面兩式直接相乘即可。數(shù)學(xué)物理方法解：利用357sin1!3!5!7!zzzzz 246cos12!4!6!zzzz 則sintancoszzz數(shù)學(xué)物理方法352463572315122472061205040zzzzzzzzzz357224720zzzz 3573573307203672zzzzzz數(shù)學(xué)物理方法4、化