實(shí)數(shù)與向量的積

1、5. 2實(shí)數(shù)與向量的積要點(diǎn)透視:1根據(jù)平面向量基本定理，就可以用兩個(gè)不共線的向量來表示一個(gè)向量， 找到它們之間的關(guān)系，這也被稱為向量的線性運(yùn)算.2. 在證明三點(diǎn)共線或三線共點(diǎn)時(shí)，同樣可用向量的線性運(yùn)算加法計(jì)算.3. 在解具體問題時(shí)，適當(dāng)?shù)剡x取基底向量，使其他向量能夠用基底向量來 表示，這樣幾何問題就能轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算問題.活題解析：例1. （2003年江蘇卷）0是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè) 點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA：F（BAC），入 0, + 8），貝U P的軌跡一定通|AB| |AC|過厶ABC的（）A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心要點(diǎn)精析：將P滿足的關(guān)系式改寫為乩0A（益

2、爲(wèi)）.即AP與/ A的平分線共線，故選B.是=例2.則如圖所示，以O(shè)點(diǎn)為起點(diǎn)的三個(gè)向量，的終點(diǎn)A， B， C在同一直線的充要條件是= a+B,（ a 英L, a+ f=1）.要點(diǎn)精析：A，B，C三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)構(gòu)成的向量均可用， 來表示，再利用向量共線的充要條件進(jìn)行證明.證明：（1）必要性若，旦，C在同一直線上，則存在實(shí)數(shù)入，使得AC二，AB， 所以 OCOA=h（OBOA），即一=X-），整理=（1為+入，令 1 啟 a,B,有=a+ B,且 a+ 3=1 .(2)充分性若=a 3 g+ 3=1，則=(1 3+ 3, = 3,即 OC -OA 二-(OB -OA)，所以 AC AB ( L)，

3、所以A，B，C在同一直線上.思維延伸：證三點(diǎn)共線，可轉(zhuǎn)化為證這三點(diǎn)中每?jī)牲c(diǎn)組成的某兩個(gè)向量共線.例3 .如圖所示， PQ過 OAB的重心 G，4 TT TTW 、11OA 二 a, OB = b OP 二 ma,OQ 二 nb，求證：3.m要點(diǎn)精析：因?yàn)镚是厶OAB的重心，貝U OG可用，表示，用P，Q，G三點(diǎn)共線，可找出m, n之間的關(guān)系. 證明：連OG并延長(zhǎng)至M，則M為AB的中點(diǎn)，因?yàn)镚 OAB的重心，2 11二 OG OM =一（OA OB） =（+），3 33又 PG =OG -OP =（+） m=（一m）+l,同理3331m =331 ， 二（n）31 111 即（3 m）+3=耳+

4、（3 n），QG=3+（1 -n），因?yàn)閜G，qG共線，所以吐龐，131 1所以 m+ n=3mn,所以 一 一 = 3m n思維延伸：本題利用向量共線的條件為二入從而找到突破點(diǎn)，能加深學(xué)生對(duì)共線向量的理解.練習(xí)題成立的充要條件是（） a=入（2>0）D. 2=或=（2>0）一、選擇題一 1+1=11+11 （工）A. = 2 （入 L） B.C. =2 （2<0）C.等腰梯形D 不等腰梯形 =0成立的充要條件是（）B.2= p=D. 2=l=0 已知 BC =3BD，貝U AD1 T TA. （AC 2AB）B. （AB 2AC）331 T T'/ AIA）2. 若

5、 e , 2 共線，且 AB =3 , CD 二一5e2，且 |AD|=|BC|,則四邊形 ABCD 是（）A.平行四邊形B.菱形r f3. 入 AB + BC +A.丨初=|C./+（j+=0等于（）4. 在 ABC 中，13 '1 T TC. 一（AC 3AB）D. - （AC 2AB）4 T4 TT T T TA. 1B. 1 C. ±16.設(shè)，是不共線向量，線的充要條件是（）5. 設(shè)兩非零向量ei， 2不共線，且kei +e>與q+ke2共線，則k的值是（）,D.AB =+k，AC =m+ （k，m L）,J則 A，B，C 三點(diǎn)共A. k+ m= 0B. k=

6、mC. km+ 1= 0D. km= 1二、填空題：T ! T*7.$知平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)E,設(shè)AB AB = © , AD=q，則用 e1 , e2表示ED ED的表達(dá)式為.28. e , 62 是兩不共線的向量，且 AB =2q + ke2 , =e + 362 , CD =2e e2 ,若A, B, D三點(diǎn)共線，則k=.39. 給出下列命題：若，共線且|=|,則（一）/（+）;已知=2, =3,則=一；耳 T耳 叫 耳 叫2若=e 啓 =3e +洱且e工，則|=3|;在 ABC中，AD是BC邊上的 中線，貝U AB=2AD，其中正確的序-10. 設(shè)e , e2是兩

7、個(gè)不共線的向量，則向量=e + kq （k L）與向量=e2 2共線的充要條件是三、解答題11證明 ABC的三條中線交于一點(diǎn).12.如圖所示，已知梯形 ABCD中，AD/BC, E,F分別是 AD與BC邊上的中點(diǎn),BC3AD， =,BC = ,試以，為基底向量表示EF, DF, CD .13如圖所示，在 ABC中，Ai, A2, A3， An是BC邊上的n個(gè)等3點(diǎn)一滿 |BAi|=AiA2|=A2A3|=|AnC|，若 AB =, AC =, 用，表示向 AA .14已知線段AB和點(diǎn)0,求證：1 ）若M是線段AB的中點(diǎn)，則10M (0A 0B);2 T TT T T(2)若 AP=tAB (t

8、 L)，則 0P = (1-t)0A tOB .d在平面直角坐標(biāo)系中，已知平行四邊形ABCD,0是原點(diǎn)，且=,0B = , 0C = , 0D =d , E在衛(wèi)A上,且BE: EA= 1: 3, F 在 BD 上,且 BF: FD=1: 4,用， 分別表示0E,0F,EF,EC，并判斷E, F, C三點(diǎn)是否共線.【521. D導(dǎo)解：|a + b| = |a| + |fr|即為sb共線或a為02. C 導(dǎo)解:喬與03共線.fi|AD| = |BC|.所以四邊形AB CD是菱形.3. B導(dǎo)解，將四個(gè)選項(xiàng)分別代入可排除A.C.D.> 1 > 1 >4. A 導(dǎo)解:AD=AB+BD=

9、AB+yBC=y(3AB4-BC) = y(2AB+AC).5. C 導(dǎo)解+e2與& +見共線即Ari +“工入(的+層2) 所以T=>*所以上=±1& D 導(dǎo)解：A.B.C 三點(diǎn)共線則 AB = AACB|a + = A(ma + b) 所以丄傳= 1.m7. 5+*力 導(dǎo)解:ED=*BD=*(B4+AD)1 1 1=三(一 AB+AD) = 三+石內(nèi).& 一8 導(dǎo)解:茹=茲一囪=©4厲又喬入茹&= 一&9. 導(dǎo)解:的結(jié)論應(yīng)為的結(jié)論應(yīng)為|b|=3|a|正 確的序號(hào)是a).10. *=y 導(dǎo)解：這是較常見的一類題型關(guān)軽足根據(jù)向懾

10、共 線的充要條件用好持定系數(shù)A.m = Aft,即一ea+*e2 = - 2A<| +入"則一=2A.jt入.得4*寺也可由'心 的對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例即三=*即上11. 證明：首先令A(yù)C=a.BC=b為棊底向最有喬=a b我一寺b.E? 寺a + b.再令A(yù)D與BE相交于G并假定AG=kAD9BG=pBE則有.AG=A a-yb,BG=所以入=1 一號(hào)且一£=“一】由此可得“="=?所以花=手瓦6再令A(yù)D與CF相交于點(diǎn)G .同理可得芯=yAD,因此G與Gt點(diǎn)重合也就是AD.BE.CF相交于同一點(diǎn).12解：因?yàn)锳D/BC且AD = #BC所以 AD-=yB

11、C=y,AE-yAD=-|-fr,因?yàn)?BF-yBC«yb-所以芯 BA-BF=a-b. 所以 EF= EA+AF= AEFA = ba.DF= DE+ EF= EA + EF= 一 AE+ EF= b-a.6CD一(DF+FC)-(DF+BF)13.解，因?yàn)锳-A-AwA.將BC分成5+1尊分,所以茁 I = AX=.=aJ=BC-所以武=»&&又因?yàn)?BC=BA+AC= AB+AC= o+cBA.=j? (ca).n + l所以 XZ=X5+5Z=a + -47(c-a)G=】.23F)n +114解：本題中無論OA.OB是否共線加法的三角形法則都適 用下面僅就O在線段AB外的情形給岀證明.M 14«BB(】)如圖(A),OA4-AM=OM,OB+BM=OM< 所以 OA + OBAM+BM=2OM.因?yàn)镸是AB的中點(diǎn).所以所以 AM+BMO于是 OA + OB-2OM,1- A *故 OM=y(OA+OB).(2)如圖(B) 因?yàn)閱?/喬所以O(shè)P = OA + AP-OA + rAB=QA+K($-OA)=QA4-r